Laaja valikoima relaatioita joukkojen esimerkissä liittyy suureen joukkoon käsitteitä, alkaen niiden määritelmistä ja päättyen paradoksien analyyttiseen analyysiin. Sarjan artikkelissa käsitellyn käsitteen monimuotoisuus on ääretön. Vaikka kaksoistyypeistä puhuttaessa tämä tarkoittaa binäärisuhteita useiden arvojen välillä. Ja myös objektien tai lausekkeiden välillä.
Binäärisuhteita merkitään pääsääntöisesti symbolilla R, eli jos xRx jollekin arvolle x kentästä R, sellaista ominaisuutta kutsutaan refleksiiviseksi, jossa x ja x ovat hyväksyttyjä ajatuskohteita, ja R toimii merkkinä yksilöiden välisestä suhteesta tai muusta suhteesta. Samanaikaisesti, jos ilmaiset xRy® tai yRx, tämä osoittaa symmetriatilan, jossa ® on implikaatiomerkki, joka on samank altainen kuin liiton "jos … sitten …". Ja lopuksi, dekoodaus kirjoitus (xRy Ùy Rz) ®xRz kertoo transitiivisesta suhteesta, ja merkki Ù on konjunktio.
Binäärisuhdetta, joka on sekä refleksiivinen, symmetrinen että transitiivinen, kutsutaan ekvivalenssisuhteeksi. Relaatio f on funktio, ja yhtälö y=z seuraa Î f:stä ja Î f:stä. Yksinkertaista binäärifunktiota voidaan käyttää helpostikahdelle yksinkertaiselle argumentille tietyssä järjestyksessä, ja vain tässä tapauksessa se antaa sille merkityksen, joka on suunnattu näille kahdelle tietyssä tapauksessa otettuun ilmaisuun.
On sanottava, että f yhdistää x:n y:hen,
jos f on funktio, jolla on alue x ja alue y. Kuitenkin, kun f ekstrapoloi x:n y:ksi ja y Í z:ksi, tämä saa f näyttää x:n z:ssä. Yksinkertainen esimerkki: jos f(x)=2x on totta mille tahansa kokonaisluvulle x, niin f:n sanotaan kuvaavan kaikkien tunnettujen kokonaislukujen etumerkillisen joukon samojen, mutta tällä kertaa parillisten kokonaislukujen joukkoon. Kuten edellä mainittiin, binäärisuhteet, jotka ovat sekä refleksiivisiä, symmetrisiä että transitiivisia, ovat ekvivalenssisuhteita.
Yllä olevan perusteella binäärirelaatioiden ekvivalenssisuhteet määritetään ominaisuuksilla:
- heijastussuhde - suhde (M ~ N);
- symmetriat - jos yhtälö on M ~ N, tulee N ~ M;
- transitiivisuus - jos kaksi yhtälöä M ~ N ja N ~ P, niin tuloksena M ~ P.
Katsotaanpa tarkemmin binäärisuhteiden ilmoitettuja ominaisuuksia. Refleksiivisyys on eräs tiettyjen yhteyksien ominaisuus, jossa jokainen tutkittavan joukon elementti on tietyssä tasa-arvossa itsensä kanssa. Esimerkiksi lukujen a=c ja a³ c välillä on refleksiivisiä yhteyksiä, koska aina a=a, c=c, a³ a, c³ c. Samanaikaisesti epäyhtälön a>c suhde on antirefleksiivinen, koska epäyhtälön a>a olemassaolo on mahdotonta. Tämän ominaisuuden aksiooma on koodattu merkillä: aRc®aRa Ù cRc, tässä symboli ® tarkoittaa sanaa "sisältää" (tai "implikoi"), ja merkki Ù - on liitto "ja" (tai konjunktio). Tästä väitteestä seuraa, että jos tuomio aRc on tosi, myös lausekkeet aRa ja cRc ovat tosia.
Symmetria sisältää suhteen olemassaolon, vaikka mentaalisia objekteja vaihdettaisiinkin, eli symmetrisellä suhteella objektien uudelleenjärjestely ei johda "binäärisuhteiden" tyyppiseen muutokseen. Esimerkiksi yhtälön a=c suhde on symmetrinen johtuen suhteen c=a ekvivalenssista; myös lause a¹c on sama, koska se vastaa yhteyttä¹a.
Transitiivinen joukko on ominaisuus, joka täyttää seuraavan vaatimuksen: y н x, z н y ® z н x, missä ® on merkki, joka korvaa sanat: "jos …, niin …". Kaava luetaan sanallisesti seuraavasti: "Jos y riippuu x:stä, z kuuluu y:lle, niin z riippuu myös x:stä".
