Pythagoras väitti, että numero on maailman taustalla peruselementtien ohella. Platon uskoi, että numero yhdistää ilmiön ja noumenonin auttaen tunnistamaan, mittaamaan ja tekemään johtopäätöksiä. Aritmetiikka tulee sanasta "aritmos" - numero, alkujen alku matematiikassa. Se voi kuvata mitä tahansa objektia - alkeisomenasta abstrakteihin tiloihin.
Tarpeet kehitystekijänä
Yhteiskunnan muodostumisen alkuvaiheessa ihmisten tarpeet rajoittuivat tarpeeseen pitää laskua - yksi säkki viljaa, kaksi säkkiä viljaa jne. Tähän riitti luonnolliset luvut, joiden joukko on ääretön positiivinen kokonaislukujen sarja N.
Myöhemmin matematiikan kehittyessä tieteenä tarvittiin erillinen kokonaislukukenttä Z - se sisältää negatiiviset arvot ja nollan. Sen esiintyminen kotitaloustasolla johtui siitä, että ensisijaisessa kirjanpidossa se oli tarpeen korjata jotenkinvelat ja tappiot. Tieteellisellä tasolla negatiiviset luvut ovat tehneet mahdolliseksi ratkaista yksinkertaisimmat lineaariset yhtälöt. Muun muassa triviaalisen koordinaattijärjestelmän kuva on nyt mahdollista, koska referenssipiste on ilmaantunut.
Seuraava askel oli tarve ottaa käyttöön murtoluvut, koska tiede ei pysähtynyt, ja yhä useammat löydöt vaativat teoreettista perustaa uudelle kasvuvauhdille. Näin rationaalilukujen kenttä ilmestyi Q.
Lopuksi rationaalisuus lakkasi tyydyttämästä pyyntöjä, koska kaikki uudet johtopäätökset vaativat perusteluja. Siellä ilmestyi reaalilukujen R kenttä, Eukleideen teokset tiettyjen suureiden yhteensopimattomuudesta niiden irrationaalisuudesta johtuen. Toisin sanoen antiikin kreikkalaiset matemaatikot asettivat luvun paitsi vakioksi, myös abstraktiksi suureksi, jolle on ominaista suhteettoman suuren suhde. Reaalilukujen ilmaantumisesta johtuen suuret "pi" ja "e" "näkivät valon", joita ilman moderni matematiikka ei voisi toteutua.
Viimeinen innovaatio oli kompleksiluku C. Se vastasi useisiin kysymyksiin ja kumosi aiemmin esitetyt väitteet. Algebran nopean kehityksen ansiosta lopputulos oli ennustettavissa - reaalilukujen avulla monien ongelmien ratkaiseminen oli mahdotonta. Esimerkiksi kompleksilukujen ansiosta merkkijonojen ja kaaoksen teoria erottui joukosta ja hydrodynamiikan yhtälöt laajenivat.
Joukkoteoria. Kantori
Äärettömyyden käsite ainaaiheutti kiistaa, koska sitä ei voitu todistaa eikä kumota. Matematiikan kontekstissa, joka toimi tiukasti todennetuilla oletuksilla, tämä näkyi selkeimmin, varsinkin kun teologisella aspektilla oli edelleen painoarvoa tieteessä.
Matemaatikon Georg Kantorin työn ansiosta kaikki loksahti kuitenkin paikoilleen ajan myötä. Hän osoitti, että äärettömiä joukkoja on ääretön määrä ja että kenttä R on suurempi kuin kenttä N, vaikka niillä molemmilla ei ole loppua. 1800-luvun puolivälissä hänen ajatuksiaan kutsuttiin äänekkäästi hölynpölyksi ja rikokseksi klassisia, horjumattomia kanoneja vastaan, mutta aika laittoi kaiken paikoilleen.
Kentän perusominaisuudet R
Reaaliluvuilla ei ole vain samoja ominaisuuksia kuin niihin sisältyvillä osajoukoilla, vaan niitä täydennetään myös muilla elementtien mittakaavan vuoksi:
- Nolla on olemassa ja kuuluu kenttään R. c + 0=c mille tahansa c:lle R:stä.
- Nolla on olemassa ja kuuluu kenttään R. c x 0=0 mille tahansa c:lle R:stä.
- Suhde c: d arvolle d ≠ 0 on olemassa ja pätee mille tahansa c, d:lle arvosta R.
- Kenttä R on järjestetty, eli jos c ≦ d, d ≦ c, niin c=d mille tahansa c, d:lle arvosta R.
- Lisäys kentässä R on kommutatiivista, eli c + d=d + c mille tahansa c:lle, d:lle R:stä.
- Kertokerto kentässä R on kommutatiivista, eli c x d=d x c mille tahansa c, d arvosta R.
- Lisäys kentässä R on assosiatiivinen, eli (c + d) + f=c + (d + f) mille tahansa c:lle, d:lle, f:lle R:stä.
- Kertokerta kentässä R on assosiatiivinen, eli (c x d) x f=c x (d x f) mille tahansa c, d, f:lle R:stä.
- Jokaisella kentän R numerolla on vastakohta, jolloin c + (-c)=0, missä c, -c on arvosta R.
- Jokaiselle kentän R luvulle on sen käänteinen, niin että c x c-1 =1, missä c, c-1 alkaen R.
- Yksikkö on olemassa ja kuuluu R:lle, joten c x 1=c mille tahansa c:lle R:stä.
- Jakaumalaki on voimassa, joten c x (d + f)=c x d + c x f, mille tahansa c, d, f:lle R.
- Kentässä R nolla ei ole yhtä kuin yksi.
- Kenttä R on transitiivinen: jos c ≦ d, d ≦ f, niin c ≦ f mille tahansa c, d, f:lle arvosta R.
- Kentässä R järjestys ja yhteenlasku liittyvät toisiinsa: jos c ≦ d, niin c + f ≦ d + f mille tahansa c, d, f:lle R:stä.
- Kentässä R järjestys ja kertolasku liittyvät toisiinsa: jos 0 ≦ c, 0 ≦ d, niin 0 ≦ c x d mille tahansa c, d:lle R:stä.
- Sekä negatiiviset että positiiviset reaaliluvut ovat jatkuvia, eli mille tahansa c:lle, d:lle R:stä on f arvosta R, jolloin c ≦ f ≦ d.
Moduuli kentässä R
Todelliset luvut sisältävät moduulin.
Merkitään |f| mille tahansa f:lle R:stä. |f|=f jos 0 ≦ f ja |f|=-f jos 0 > f. Jos moduulia pidetään geometrisena suureena, se on kuljettu matka - sillä ei ole väliä, "siirtitkö" nollan miinukseen vai eteenpäin plussaan.
Kompleksi- ja reaaliluvut. Mitä yhtäläisyyksiä ja mitä eroja on?
Yleensä kompleksi- ja reaaliluvut ovat yksi ja sama, paitsi seimaginaariyksikkö i, jonka neliö on -1. Kenttien R ja C elementit voidaan esittää seuraavalla kaavalla:
c=d + f x i, missä d, f kuuluvat kenttään R ja i on imaginaariyksikkö
Jotta c saadaan R:stä tässä tapauksessa, f asetetaan yksinkertaisesti nollaksi, eli vain luvun reaaliosa jää jäljelle. Koska kompleksilukukentällä on samat ominaisuudet kuin reaalilukujen kentällä, f x i=0, jos f=0.
Käytännön eroista, esimerkiksi R-kentässä, toisen asteen yhtälöä ei ratkaista, jos diskriminantti on negatiivinen, kun taas C-kenttä ei aseta tällaista rajoitusta imaginaarisen yksikön i käyttöönoton vuoksi.
Tulokset
Matematiikan perustana olevien aksioomien ja postulaattien "tiilet" eivät muutu. Tiedon lisääntymisen ja uusien teorioiden käyttöönoton vuoksi joihinkin niistä laitetaan seuraavat "tiilet", joista voi tulevaisuudessa tulla seuraavan askeleen perusta. Esimerkiksi luonnolliset luvut, vaikka ne ovat osajoukko reaalikentässä R, eivät menetä merkitystään. Niihin perustuu kaikki alkeinen aritmetiikka, josta ihmisen maailmantuntemus alkaa.
Käytännön näkökulmasta todelliset luvut näyttävät suor alta viiv alta. Siinä voit valita suunnan, määrittää lähtökohdan ja askeleen. Suora koostuu äärettömästä määrästä pisteitä, joista jokainen vastaa yhtä reaalilukua riippumatta siitä, onko se rationaalinen vai ei. Kuvauksesta käy selvästi ilmi, että kyseessä on käsite, jolle sekä matematiikka yleensä että matemaattinen analyysi yleensä rakentuvat.erityisesti.
