Matematiikka on peräisin antiikista. Hänen ansiostaan arkkitehtuuri, rakentaminen ja sotatiede antoivat uuden kehityskierroksen, matematiikan avulla saadut saavutukset johtivat edistyksen liikkeeseen. Tähän päivään asti matematiikka on edelleen tärkein tiede, joka löytyy kaikista muista aloista.
Tullakseen koulutettuja lapset ensimmäiseltä luok alta alkaen alkavat vähitellen sulautua tähän ympäristöön. On erittäin tärkeää ymmärtää matematiikkaa, koska se esiintyy tavalla tai toisella jokaiselle ihmiselle hänen elämänsä ajan. Tässä artikkelissa analysoidaan yhtä keskeisistä elementeistä - johdannaisten löytäminen ja soveltaminen. Kaikki eivät voi kuvitella kuinka laajasti tätä käsitettä käytetään. Harkitse yli kymmentä johdannaisten sovellusta tietyillä aloilla tai tieteillä.
Divannan soveltaminen funktion tutkimukseen
Johdannainen on sellainen rajafunktion lisäyksen suhde sen argumentin kasvuun, kun argumentin eksponentti pyrkii nollaan. Derivaata on välttämätön asia funktion tutkimisessa. Sitä voidaan käyttää esimerkiksi määrittämään jälkimmäisen, äärimmäisyyden, kuperuuden ja koveruuden kasvua ja vähenemistä. Differentiaalilaskenta sisältyy matematiikan yliopistojen 1. ja 2. vuoden opiskelijoiden pakolliseen opetussuunnitelmaan.
Laajuus ja funktionollat
Kaaviokuvaajan tutkimuksen ensimmäinen vaihe alkaa määrittelyalueen, harvemmissa tapauksissa arvon selvittämisellä. Määritelmäalue on asetettu abskissa-akselia pitkin, toisin sanoen nämä ovat numeerisia arvoja OX-akselilla. Usein laajuus on jo asetettu, mutta jos ei, niin x-argumentin arvo tulee arvioida. Oletetaan, että jos joillekin argumentin arvoille funktio ei ole järkevä, tämä argumentti jätetään soveltamisalan ulkopuolelle.
Funktion nollat löydetään yksinkertaisella tavalla: funktio f(x) tulee rinnastaa nollaan ja tuloksena oleva yhtälö ratkaista yhden muuttujan x suhteen. Saadut yhtälön juuret ovat funktion nollia, eli näissä x funktio on 0.
Lisää ja vähennä
Dirivaatan käyttöä monotonisuuden funktioiden tutkimiseen voidaan tarkastella kahdesta kohdasta. Monotoninen funktio on luokka, jolla on vain positiiviset derivaatan arvot tai vain negatiiviset arvot. Yksinkertaisesti sanottuna funktio vain kasvaa tai vain pienenee koko tutkittavan ajanjakson ajan:
- Kasvata parametria. Toimintof(x) kasvaa, jos f`(x):n derivaatta on suurempi kuin nolla.
- Laskeva parametri. Funktio f(x) pienenee, jos f`(x):n derivaatta on pienempi kuin nolla.
Tangentti ja k altevuus
Dirivaatan soveltaminen funktion tutkimiseen määräytyy myös funktion kaavion tangentin (kulmaan suunnatun suoran) perusteella tietyssä pisteessä. Tangentti pisteessä (x0) - suora, joka kulkee pisteen läpi ja kuuluu funktioon, jonka koordinaatit ovat (x0, f(x 0 )) ja k altevuus f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - funktion kaavion annetun pisteen tangentin yhtälö.
Dirivaatan geometrinen merkitys: funktion f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion kuvaajan muodostetun tangentin kulmakerroin annetussa pisteessä x. Kulmakerroin puolestaan on yhtä suuri kuin OX-akselin tangentin k altevuuskulman tangentti (abskissa) positiivisessa suunnassa. Tämä seuraus on olennainen funktion derivaatan soveltamisessa funktion kuvaajaan.
Äärimmäiset pisteet
Johdannan käyttäminen tutkimuksessa edellyttää korkeiden ja alempien kohtien löytämistä.
Löytääksesi ja määrittääksesi minimi- ja maksimipisteet, sinun on:
- Etsi funktion f(x) derivaatta.
- Aseta tuloksena oleva yhtälö nollaan.
- Etsi yhtälön juuret.
- Etsi korkeita ja huonoja kohtia.
Äärimmäisyyksien löytämiseksiominaisuudet:
- Etsi minimi- ja maksimipisteet käyttämällä yllä olevaa menetelmää.
- Korvaa nämä pisteet alkuperäiseen yhtälöön ja laske ymax ja ymin
Funktion maksimipiste on funktion f(x) suurin arvo välissä, toisin sanoen xmax.
Funktion minimipiste on funktion f(x) pienin arvo välissä, toisin sanoen xnimi
Ääripisteet ovat samat kuin maksimi- ja minimipisteet sekä funktion ääriarvo (ymax. ja yminimi) - funktioarvot, jotka vastaavat ääripisteitä.
Kuperuus ja koveruus
Voit määrittää kuperuuden ja koveruuden turvautumalla derivaatan käyttöön piirtämiseen:
- Villalla (a, b) tutkittu funktio f(x) on kovera, jos funktio sijaitsee kaikkien tangenttiensa alapuolella tällä välillä.
- Villalla (a, b) tutkittu funktio f(x) on konveksi, jos funktio sijaitsee kaikkien tangenttien yläpuolella tämän välin sisällä.
Pistettä, joka erottaa kuperuuden ja koveruuden, kutsutaan funktion käännepisteeksi.
Käännepisteiden löytäminen:
- Etsi toisen tyypin kriittiset pisteet (toinen johdannainen).
- Käännepisteet ovat kriittisiä pisteitä, jotka erottavat kaksi vastakkaista merkkiä.
- Laske funktion arvot funktion käännepisteissä.
Osittaiset johdannaiset
SovellusTämän tyyppisiä johdannaisia on ongelmissa, joissa käytetään useampaa kuin yhtä tuntematonta muuttujaa. Useimmiten tällaisia derivaattoja kohdataan piirrettäessä funktiograafia, tarkemmin sanottuna avaruuden pintoja, joissa kahden akselin sijasta on kolme, siis kolme suurea (kaksi muuttujaa ja yksi vakio).
Osittaisia derivaattoja laskettaessa pääsääntönä on valita yksi muuttuja ja käsitellä loput vakioina. Siksi osittaista derivaatta laskettaessa vakiosta tulee ikään kuin numeerinen arvo (monissa derivaattataulukoissa niitä merkitään C=const). Tällaisen derivaatan merkitys on funktion z=f(x, y) muutosnopeus OX- ja OY-akseleilla, eli se kuvaa konstruoidun pinnan painaumien ja pullistumien jyrkkyyttä.
Johdannainen fysiikassa
Divannan käyttö fysiikassa on laajalle levinnyttä ja tärkeää. Fyysinen merkitys: reitin derivaatta ajan suhteen on nopeus ja kiihtyvyys nopeuden derivaatta ajan suhteen. Fysikaalisesta merkityksestä voidaan vetää monia haaroja fysiikan eri haaroihin, samalla kun johdannaisen merkitys säilyy täysin.
Divataation avulla löydetään seuraavat arvot:
- Kinematiikan nopeus, jossa lasketaan kuljetun matkan derivaatta. Jos polun toinen derivaatta tai nopeuden ensimmäinen derivaatta löytyy, niin kappaleen kiihtyvyys löytyy. Lisäksi on mahdollista löytää materiaalipisteen hetkellinen nopeus, mutta tätä varten on tiedettävä inkrementti ∆t ja ∆r.
- Sähködynamiikassa:vaihtovirran hetkellisen voimakkuuden sekä sähkömagneettisen induktion EMF:n laskeminen. Laskemalla derivaatan voit löytää maksimitehon. Sähkövarauksen määrän derivaatta on virran voimakkuus johtimessa.
Johdannainen kemiassa ja biologiassa
Kemia: Johdannaista käytetään määrittämään kemiallisen reaktion nopeus. Derivaatan kemiallinen merkitys: funktio p=p(t), tässä tapauksessa p on aineen määrä, joka tulee kemialliseen reaktioon ajassa t. ∆t - ajan lisäys, ∆p - aineen määrän lisäys. ∆p:n ja ∆t:n välisen suhteen rajaa, jossa ∆t pyrkii nollaan, kutsutaan kemiallisen reaktion nopeudeksi. Kemiallisen reaktion keskiarvo on suhde ∆p/∆t. Nopeutta määritettäessä on tiedettävä tarkasti kaikki tarvittavat parametrit, olosuhteet, tiedettävä aineen ja virtausaineen aggregoitu tila. Tämä on melko suuri näkökohta kemiassa, jota käytetään laajasti eri teollisuudenaloilla ja ihmisten toiminnassa.
Biologia: johdannaisen käsitettä käytetään keskimääräisen lisääntymisnopeuden laskemiseen. Biologinen merkitys: meillä on funktio y=x(t). ∆t - ajan lisäys. Sitten saadaan joidenkin muunnosten avulla funktio y`=P(t)=x`(t) - ajan t populaation elintärkeä aktiivisuus (keskimääräinen lisääntymisnopeus). Tämän johdannaisen käytön avulla voit pitää tilastoja, seurata lisääntymisnopeutta ja niin edelleen.
Maantieteen ja taloustieteen johdannainen
Johdannaisen avulla maantieteilijät voivat päättäätehtävät, kuten populaation etsintä, seismografian arvojen laskeminen, ydingeofysikaalisten indikaattoreiden radioaktiivisuuden laskenta, interpolaation laskenta.
Taloustieteessä tärkeä osa laskelmia on differentiaalilaskenta ja derivaatan laskenta. Ensinnäkin tämä antaa meille mahdollisuuden määrittää tarvittavien taloudellisten arvojen rajat. Esimerkiksi korkein ja alhaisin työn tuottavuus, kustannukset, voitot. Pohjimmiltaan nämä arvot lasketaan funktiokaavioista, joissa ne löytävät ääripisteet, määrittävät funktion monotonisuuden halutulla alueella.
Johtopäätös
Tämän differentiaalilaskennan rooli liittyy, kuten artikkelissa todettiin, erilaisissa tieteellisissä rakenteissa. Johdannaisten käyttö on tärkeä osa tieteen ja tuotannon käytännön osaa. Meitä ei turhaan opetettu lukiossa ja yliopistossa rakentamaan monimutkaisia kaavioita, tutkimaan ja työskentelemään funktioiden parissa. Kuten näette, ilman johdannaisia ja differentiaalilaskelmia olisi mahdotonta laskea tärkeitä indikaattoreita ja määriä. Ihmiskunta on oppinut mallintamaan erilaisia prosesseja ja tutkimaan niitä, ratkaisemaan monimutkaisia matemaattisia ongelmia. Itse asiassa matematiikka on kaikkien tieteiden kuningatar, koska tämä tiede on kaikkien muiden luonnontieteiden ja teknisten tieteenalojen perusta.
