Matematiikan yhtälöiden ratkaisemisella on erityinen paikka. Tätä prosessia edeltää useita tunteja teorian opiskelu, jonka aikana opiskelija oppii ratkaisemaan yhtälöitä, määrittämään niiden muodon ja viemään taidon täyteen automatismiin. Juurien etsiminen ei kuitenkaan aina ole järkevää, koska niitä ei ehkä yksinkertaisesti ole olemassa. On olemassa erityisiä menetelmiä juurien löytämiseen. Tässä artikkelissa analysoimme päätoiminnot, niiden laajuudet sekä tapaukset, joissa niiden juuret puuttuvat.
Millä yhtälöllä ei ole juuria?
Yhtälöllä ei ole juuria, jos ei ole sellaisia todellisia argumentteja x, joille yhtälö on identtisesti tosi. Ei-asiantuntijalle tämä muotoilu, kuten useimmat matemaattiset lauseet ja kaavat, näyttää hyvin epämääräiseltä ja abstraktilta, mutta tämä on teoriassa. Käytännössä kaikki on erittäin yksinkertaista. Esimerkiksi: yhtälöllä 0x=-53 ei ole ratkaisua, koska ei ole sellaista lukua x, jonka tulo nollalla antaisi jotain muuta kuin nolla.
Nyt tarkastellaan yksinkertaisimpia yhtälötyyppejä.
1. Lineaarinen yhtälö
Yhtälöä kutsutaan lineaariseksi, jos sen oikea ja vasen osa esitetään lineaarisina funktioina: ax + b=cx + d tai yleistetyssä muodossa kx + b=0. Missä a, b, c, d tunnetaan numeroita, ja x on tuntematon suure. Millä yhtälöllä ei ole juuria? Esimerkkejä lineaarisista yhtälöistä on esitetty alla olevassa kuvassa.
Periaatteessa lineaariset yhtälöt ratkaistaan yksinkertaisesti siirtämällä numeroosa toiseen osaan ja x:n sisältö toiseen. Osoittautuu yhtälö muotoa mx \u003d n, jossa m ja n ovat numeroita ja x on tuntematon. x:n löytämiseksi riittää jakaa molemmat osat m:llä. Sitten x=n/m. Periaatteessa lineaarisilla yhtälöillä on vain yksi juuri, mutta on tapauksia, joissa juuria on joko äärettömästi tai ei ollenkaan. Kun m=0 ja n=0, yhtälö saa muotoa 0x=0. Ehdottomasti mikä tahansa luku on ratkaisu tällaiseen yhtälöön.
Mutta millä yhtälöllä ei ole juuria?
Kun m=0 ja n=0, yhtälöllä ei ole juuria reaalilukujoukosta. 0x=-1; 0x=200 - näillä yhtälöillä ei ole juuria.
2. Toisen asteen yhtälö
Asennon yhtälö on yhtälö, jonka muoto on ax2 + bx + c=0, kun a=0. Yleisin tapa ratkaista toisen asteen yhtälö on ratkaista se diskriminantin kautta. Kaava toisen asteen yhtälön diskriminantin löytämiseksi: D=b2 - 4ac. Sitten on kaksi juuria x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kun D > 0 yhtälöllä on kaksi juuria, kun D=0 - yksi juuri. Mutta millä toisen asteen yhtälöllä ei ole juuria?Helpoin tapa tarkkailla toisen asteen yhtälön juurien lukumäärää on funktion kaaviosta, joka on paraabeli. Numerossa > 0 oksat suunnataan ylöspäin, < 0:ssa oksat lasketaan alas. Jos diskriminantti on negatiivinen, tällaisella toisen asteen yhtälöllä ei ole juuria reaalilukujen joukossa.
Voit myös määrittää visuaalisesti juurien määrän laskematta erottajaa. Tätä varten sinun on löydettävä paraabelin yläosa ja määritettävä, mihin suuntaan oksat on suunnattu. Voit määrittää kärjen x-koordinaatin kaavalla: x0 =-b / 2a. Tässä tapauksessa kärjen y-koordinaatti löydetään yksinkertaisesti korvaamalla x0 alkuperäiseen yhtälöön.
Asennon yhtälöllä x2 – 8x + 72=0 ei ole juuria, koska sillä on negatiivinen diskriminantti D=(–8)2 - 4172=-224. Tämä tarkoittaa, että paraabeli ei kosketa x-akselia ja funktio ei koskaan ota arvoa 0, joten yhtälöllä ei ole todellisia juuria.
3. Trigonometriset yhtälöt
Trigonometrisiä funktioita tarkastellaan trigonometrisellä ympyrällä, mutta ne voidaan esittää myös suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Tässä artikkelissa tarkastellaan kahta trigonometristä perusfunktiota ja niiden yhtälöitä: sinx ja cosx. Koska nämä funktiot muodostavat trigonometrisen ympyrän, jonka säde on 1, |sinx| ja |cosx| ei voi olla suurempi kuin 1. Joten millä sinx-yhtälöllä ei ole juuria? Tarkastellaan kuvassa olevaa sinx-funktion kuvaajaaalla.
Näemme, että funktio on symmetrinen ja sen toistojakso on 2pi. Tämän perusteella voidaan sanoa, että tämän funktion maksimiarvo voi olla 1 ja pienin -1. Esimerkiksi lausekkeella cosx=5 ei ole juuria, koska sen modulo on suurempi kuin yksi.
Tämä on yksinkertaisin esimerkki trigonometrisista yhtälöistä. Itse asiassa heidän ratkaisunsa voi viedä useita sivuja, joiden lopussa huomaa, että käytit väärää kaavaa ja sinun on aloitettava kaikki alusta. Joskus jopa oikealla juurien löytämisellä voit unohtaa ottaa huomioon ODZ:n rajoitukset, minkä vuoksi vastauksessa näkyy ylimääräinen juuri tai väli ja koko vastaus muuttuu virheelliseksi. Siksi noudata tarkasti kaikkia rajoituksia, koska kaikki juuret eivät sovi tehtävän laajuuteen.
4. Yhtälöjärjestelmät
Yhtälöjärjestelmä on yhtälösarja yhdistettynä kihara- tai hakasulkeisiin. Kiharat a altosulkeet tarkoittavat kaikkien yhtälöiden yhteistä toteutusta. Eli jos ainakin yhdellä yhtälöistä ei ole juuria tai se on ristiriidassa toisen kanssa, koko järjestelmällä ei ole ratkaisua. Hakasulkeet tarkoittavat sanaa "tai". Tämä tarkoittaa, että jos ainakin yhdellä järjestelmän yhtälöistä on ratkaisu, niin koko järjestelmällä on ratkaisu.
Hakasulkeilla varustetun järjestelmän vastaus on yksittäisten yhtälöiden kaikkien juurien kokonaisuus. Ja järjestelmillä, joissa on kiharat henkselit, on vain yhteiset juuret. Yhtälöjärjestelmät voivat sisältää täysin erilaisia funktioita, joten tämä monimutkaisuus ei ole sitävoit heti kertoa millä yhtälöllä ei ole juuria.
Yleistys ja vinkkejä yhtälön juurien löytämiseen
Tehtäväkirjoissa ja oppikirjoissa on erilaisia yhtälöitä: niitä, joilla on juuret, ja niitä, joilla niitä ei ole. Ensinnäkin, jos et löydä juuria, älä ajattele, ettei niitä ole ollenkaan. Olet ehkä tehnyt virheen jossain, joten tarkista ratkaisusi.
Olemme käsitelleet alkeellisimmat yhtälöt ja niiden tyypit. Nyt voit kertoa millä yhtälöllä ei ole juuria. Useimmissa tapauksissa tämä ei ole ollenkaan vaikeaa. Menestyäksesi yhtälöiden ratkaisemisessa tarvitaan vain huomiota ja keskittymistä. Harjoittele enemmän, se auttaa sinua navigoimaan materiaalissa paljon paremmin ja nopeammin.
Joten yhtälöllä ei ole juuria, jos:
- lineaarisessa yhtälössä mx=n arvo m=0 ja n=0;
- neliöyhtälössä, jos diskriminantti on pienempi kuin nolla;
- trigonometrisessa yhtälössä muotoa cosx=m / sinx=n, jos |m| > 0, |n| > 0;
- yhtälöjärjestelmässä, jossa on kiharat hakasulkeet, jos vähintään yhdellä yhtälöllä ei ole juuria, ja hakasulkeilla, jos kaikilla yhtälöillä ei ole juuria.
