Bertrandin paradoksi on ongelma todennäköisyysteorian klassisessa tulkinnassa. Joseph esitteli sen teoksessaan Calcul des probabilités (1889) esimerkkinä siitä, että todennäköisyyksiä ei voida määritellä tarkasti, jos mekanismi tai menetelmä tuottaa satunnaismuuttujan.
Ongelmailmoitus
Bertrandin paradoksi on seuraava.
Mieti ensin tasasivuista kolmiota, joka on piirretty ympyrään. Tässä tapauksessa halkaisija valitaan satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä se on pidempi kuin kolmion sivu?
Bertrand esitti kolme argumenttia, jotka kaikki näyttävät olevan oikeita, mutta antavat erilaisia tuloksia.
Satunnainen päätepistemenetelmä
Sinun on valittava kaksi paikkaa ympyrästä ja piirrettävä ne yhdistävä kaari. Laskennassa otetaan huomioon Bertrandin todennäköisyysparadoksi. On tarpeen kuvitella, että kolmiota kierretään niin, että sen kärki on yhden jänteen päätepisteen kanssa. Kannattaa maksaaHuomaa, että jos toinen osa on kaarella kahden paikan välillä, ympyrä on pidempi kuin kolmion sivu. Kaaren pituus on kolmasosa ympyrästä, joten todennäköisyys, että satunnainen jänne on pidempi, on 1/3.
Valintatapa
On tarpeen valita ympyrän säde ja piste siinä. Sen jälkeen sinun on rakennettava jänne tämän paikan läpi kohtisuoraan halkaisijaan nähden. Todennäköisyysteorian Bertrandin harkitun paradoksin laskemiseksi täytyy kuvitella, että kolmiota kierretään niin, että sivu on kohtisuorassa säteeseen nähden. Jännitys on pidempi kuin jalka, jos valittu piste on lähempänä ympyrän keskustaa. Ja tässä tapauksessa kolmion sivu puolittaa säteen. Siksi todennäköisyys, että sointu on pidempi kuin piirretyn kuvion sivu, on 1/2.
Satunnaiset soinnut
Keskipistemenetelmä. On tarpeen valita paikka ympyrällä ja luoda sointu tietyllä keskikohdalla. Akseli on pidempi kuin piirretyn kolmion reuna, jos valittu paikka on samankeskisen ympyrän sisällä, jonka säde on 1/2. Pienemmän ympyrän pinta-ala on neljännes suuremmasta kuvasta. Siksi satunnaisen sointeen todennäköisyys on pidempi kuin piirretyn kolmion sivu ja on yhtä suuri kuin 1/4.
Kuten edellä esitettiin, valintamenetelmät eroavat painosta, jonka ne antavat tietyille jänteille, jotka ovat halkaisijoita. Menetelmässä 1 jokainen sointu voidaan valita täsmälleen yhdellä tavalla, olipa kyseessä halkaisija vai ei.
Menetelmässä 2 jokainen suora voidaan valita kahdella tavalla. Kun taas mikä tahansa muu sointu valitaanvain yksi mahdollisuuksista.
Menetelmässä 3 jokaisessa keskipistevalinnassa on yksi parametri. Paitsi ympyrän keskipiste, joka on kaikkien halkaisijoiden keskipiste. Nämä ongelmat voidaan välttää "järjestämällä" kaikki kysymykset jättämään parametrit pois vaikuttamatta tuloksena oleviin todennäköisyyksiin.
Valitut menetelmät voidaan myös visualisoida seuraavasti. Paine, joka ei ole halkaisija, tunnistetaan yksilöllisesti sen keskipisteestä. Jokainen kolmesta yllä esitetystä valintamenetelmästä tuottaa erilaisen keskipisteen jakautumisen. Vaihtoehdot 1 ja 2 tarjoavat kaksi erilaista epäyhtenäistä osiota, kun taas menetelmä 3 antaa tasaisen jakautumisen.
Klassinen paradoksi Bertrandin ongelman ratkaisemisessa riippuu menetelmästä, jolla sointu valitaan "satunnaisesti". Osoittautuu, että jos satunnaisvalinnan menetelmä määritellään etukäteen, ongelmalla on hyvin määritelty ratkaisu. Tämä johtuu siitä, että jokaisella yksittäisellä menetelmällä on oma sointujakauma. Bertrandin esittämät kolme tuomiota vastaavat erilaisia valintatapoja, ja lisätietojen puuttuessa ei ole mitään syytä suosia toisiaan. Näin ollen esitetyllä ongelmalla ei ole yhtä ratkaisua.
Esimerkki yleisen vastauksen tekemisestä ainutlaatuiseksi on määrittää, että sointeen päätepisteet ovat tasaisin välein 0:n ja c:n välillä, missä c on ympyrän ympyrä. Tämä jakauma on sama kuin Bertrandin ensimmäisessä argumentissa ja tuloksena oleva ainutlaatuinen todennäköisyys on 1/3.
Tämä Bertrand Russellin paradoksi ja muut klassisen ainutlaatuisuudetmahdollisuuksien tulkinnat oikeuttavat tiukemmat sanamuodot. Mukaan lukien todennäköisyystaajuus ja subjektivistinen Bayesin teoria.
Mikä on Bertrandin paradoksin taustalla
Vuoden 1973 artikkelissaan "The Well-posed Problem" Edwin Jaynes tarjosi ainutlaatuisen ratkaisunsa. Hän huomautti, että Bertrandin paradoksi perustuu oletukseen, joka perustuu "maksimaalisen tietämättömyyden" periaatteeseen. Tämä tarkoittaa, että sinun ei tule käyttää mitään tietoja, joita ei ole annettu ongelmalausekkeessa. Jaynes huomautti, että Bertrandin ongelma ei määritä ympyrän sijaintia tai kokoa. Ja väitti, että siksi minkä tahansa lopullisen ja objektiivisen päätöksen on oltava "välinpitämätön" koosta ja sijainnista.
Kuvaustarkoituksessa
Oletaen, että kaikki soinnukset asettuvat satunnaisesti 2 cm:n ympyrään, sinun täytyy nyt heitellä sitä pilleillä kaukaa.
Sitten sinun on otettava toinen ympyrä, jonka halkaisija on pienempi (esimerkiksi 1 senttimetri), joka sopii suurempaan kuvioon. Tällöin sointujen jakautumisen tällä pienemmällä ympyrällä tulisi olla sama kuin maksimiympyrässä. Jos myös toinen luku liikkuu ensimmäisen sisällä, todennäköisyys ei periaatteessa saisi muuttua. On erittäin helppo nähdä, että menetelmässä 3 tapahtuu seuraava muutos: sointujen jakautuminen pienellä punaisella ympyrällä on laadullisesti erilainen kuin suuren ympyrän jakauma.
Sama pätee menetelmälle 1. Vaikka se on vaikeampi nähdä graafisessa näkymässä.
Menetelmä 2 on ainoajoka osoittautuu sekä mittakaavaksi että käännösinvariantiksi.
Menetelmä 3 näyttää olevan yksinkertaisesti laajennettavissa.
Tapa 1 ei ole kumpaakaan.
Janes ei kuitenkaan käyttänyt invariantteja helposti hyväksyäkseen tai hylätäkseen näitä menetelmiä. Tämä jättäisi mahdollisuuden, että on olemassa toinen kuvaamaton menetelmä, joka sopisi sen järkevän merkityksen puoliin. Jaynes sovelsi integraaliyhtälöitä, jotka kuvaavat invariansseja. Todennäköisyysjakauman suoraan määrittäminen. Hänen tehtävässään integraaliyhtälöillä on todellakin ainutlaatuinen ratkaisu, ja juuri tätä kutsuttiin edellä toiseksi satunnaissädemenetelmäksi.
Alon Drory väittää vuoden 2015 artikkelissa, että Jaynesin periaate voi tuottaa myös kaksi muuta Bertrand-ratkaisua. Kirjoittaja vakuuttaa, että yllä olevien invarianssin ominaisuuksien matemaattinen toteutus ei ole ainutlaatuinen, vaan riippuu perussatunnaisvalintamenettelystä, jota henkilö päättää käyttää. Hän osoittaa, että jokainen kolmesta Bertrand-ratkaisusta voidaan saada käyttämällä rotaatio-, skaalaus- ja translaatioinvarianssia. Samalla päätellen, että Jaynes-periaate on yhtä tulkinnanvarainen kuin välinpitämättömyyden muoto itse.
Fyysiset kokeet
Menetelmä 2 on ainoa ratkaisu, joka tyydyttää tietyissä fysiologisissa käsitteissä, kuten tilastollisessa mekaniikassa ja kaasurakenteessa, esiintyvät muunnosinvariantit. Myös ehdotuksessaJanesin kokeilu heittää pillejä pienestä ympyrästä.
Voidaan kuitenkin suunnitella muita käytännön kokeita, jotka antavat vastauksia muilla menetelmillä. Esimerkiksi saadaksesi ratkaisun ensimmäiseen satunnaiseen päätepistemenetelmään liittämällä laskurin alueen keskelle. Ja anna kahden itsenäisen kierron tulosten korostaa sointujen lopulliset paikat. Kolmannen menetelmän ratkaisuun pääsemiseksi voidaan peittää ympyrä esimerkiksi melassilla ja merkitä keskijänteeksi ensimmäinen kohta, johon kärpänen laskeutuu. Useat pohtijat ovat tehneet tutkimuksia tehdäkseen erilaisia johtopäätöksiä ja vahvistaneet tulokset empiirisesti.
Viimeisimmät tapahtumat
Vuoden 2007 artikkelissaan "Bertrandin paradoksi ja välinpitämättömyyden periaate" Nicholas Shackel väittää, että yli vuosisataa myöhemmin ongelma on edelleen ratkaisematta. Hän jatkaa välinpitämättömyyden periaatteen kumoamista. Lisäksi vuoden 2013 artikkelissaan "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical" Darrell R. Robottom osoittaa, että kaikilla ehdotetuilla päätöksillä ei ole mitään tekemistä hänen oman kysymyksensä kanssa. Joten kävi ilmi, että paradoksi olisi paljon vaikeampi ratkaista kuin aiemmin luultiin.
Shackel korostaa, että tähän mennessä monet tiedemiehet ja tieteestä kaukana olevat ihmiset ovat yrittäneet ratkaista Bertrandin paradoksia. Se selviää edelleen kahden eri lähestymistavan avulla.
Ne, joissa ei-ekvivalenttien tehtävien eroa otettiin huomioon, ja ne, joissa ongelmaa pidettiin aina oikeana. Shackel lainaa Louisia kirjoissaanMarinoff (tyypillisenä erilaistumisstrategian eksponentina) ja Edwin Jaynes (hyvin harkitun teorian kirjoittajana).
Viimeisimmässä työssään Solving a Complex Problem Diederik Aerts ja Massimiliano Sassoli de Bianchi kuitenkin uskovat, että Bertrand-paradoksin ratkaisemiseksi lähtökohtia on etsittävä sekastrategiassa. Näiden kirjoittajien mukaan ensimmäinen askel on korjata ongelma ilmoittamalla selkeästi satunnaistettavan kokonaisuuden luonne. Ja vasta sen jälkeen, kun tämä on tehty, kaikkia ongelmia voidaan pitää oikeana. Näin Janes ajattelee.
Joten suurimman tietämättömyyden periaatetta voidaan käyttää ratkaisemaan se. Tätä tarkoitusta varten, ja koska ongelma ei täsmennä, kuinka sointu tulisi valita, periaatetta ei sovelleta eri mahdollisuuksien tasolla, vaan paljon syvemmällä.
Osien valinta
Tämä ongelman osa edellyttää meta-keskiarvon laskemista kaikilla mahdollisilla tavoilla, joita kirjoittajat kutsuvat universaaliksi keskiarvoksi. Tämän ratkaisemiseksi he käyttävät diskretisointimenetelmää. Inspiroitunut siitä, mitä tehdään Wiener-prosessien todennäköisyyslain määrittelyssä. Niiden tulos on yhdenmukainen Jaynesin numeerisen seurauksen kanssa, vaikka heidän hyvin esitetty ongelmansa eroaa alkuperäisen kirjoittajan ongelmasta.
Taloudessa ja kaupassa Bertrand-paradoksi, joka on nimetty sen luojan Joseph Bertrandin mukaan, kuvaa tilannetta, jossa kaksi pelaajaa (yritystä) saavuttaa Nash-tasapainon. Kun molemmat yritykset asettavat hinnan, joka on yhtä suuri kuin rajakustannukset(MS).
Bertrandin paradoksi perustuu oletukseen. Se johtuu siitä, että Cournot-kilpailun k altaisissa malleissa yritysten lukumäärän kasvu liittyy hintojen lähentymiseen rajakustannuksiin. Näissä vaihtoehtoisissa malleissa Bertrandin paradoksi on pienten yritysten oligopolissa, jotka tienaavat positiivisia voittoja veloittamalla kustannuksia korkeampia hintoja.
Aluksi on syytä olettaa, että kaksi yritystä A ja B myyvät homogeenista tuotetta, joilla kummallakin on samat tuotanto- ja jakelukustannukset. Tästä seuraa, että ostajat valitsevat tuotteen vain hinnan perusteella. Tämä tarkoittaa, että kysyntä on äärettömän hintajoustoa. A ja B eivät aseta korkeampaa hintaa kuin muut, koska se aiheuttaisi koko Bertrand-paradoksin romahtamisen. Yksi markkinatoimijoista antaa periksi kilpailijalleen. Jos he asettavat saman hinnan, yritykset jakavat voiton.
Toisa alta, jos jokin yritys laskee hintaaan edes hieman, se saa koko markkinan ja huomattavasti korkeamman tuoton. Koska A ja B tietävät tämän, he yrittävät kumpikin alittaa kilpailijansa, kunnes tuote myydään ilman taloudellista voittoa.
Viimeaikaiset työt ovat osoittaneet, että Bertrandin sekastrategiaparadoksissa voi olla lisätasapainoa positiivisilla taloudellisilla voitoilla edellyttäen, että monopolisumma on ääretön. Lopullisen voiton tapauksessa osoitettiin, että positiivinen nousu hintakilpailussa on mahdotonta sekatasapainossa ja jopa yleisemmässä tapauksessavastaavat järjestelmät.
Itse asiassa, Bertrandin paradoksi taloustieteessä näkyy harvoin käytännössä, koska todelliset tuotteet eroavat lähes aina jollain muulla tavalla kuin hinnalla (esimerkiksi etiketistä maksamalla liikaa). Yrityksillä on rajoituksia tuotanto- ja jakelukyvylleen. Tästä syystä kahdella yrityksellä on harvoin samat kustannukset.
Bertrandin tulos on paradoksaalinen, koska jos yritysten lukumäärä kasvaa yhdestä kahteen, hinta putoaa monopolista kilpailukykyiseksi ja pysyy samalla tasolla kuin sen jälkeen kasvavien yritysten määrä. Tämä ei ole kovin realistista, koska todellisuudessa markkinoilla, joilla on vähän markkinavoimaa olevia yrityksiä, on tapana veloittaa rajakustannusten yläpuolella olevia hintoja. Empiirinen analyysi osoittaa, että useimmat teollisuudenalat, joilla on kaksi kilpailijaa, tuottavat positiivisia voittoja.
Nykyajan maailmassa tiedemiehet yrittävät löytää paradoksiin ratkaisuja, jotka vastaavat paremmin Cournot'n kilpailumallia. Kun kaksi yritystä markkinoilla tekee positiivisia voittoja, jotka ovat jonnekin täydellisen kilpailun ja monopolitason välillä.
Joitakin syitä, miksi Bertrandin paradoksi ei liity suoraan taloustieteeseen:
- Kapasiteettirajoitukset. Joskus yrityksillä ei ole riittävästi kapasiteettia vastatakseen kaikkeen kysyntään. Tämän asian esitti ensimmäisenä Francis Edgeworth, ja siitä syntyi Bertrand-Edgeworth-malli.
- Kokonaislukuhinnat. MC:n yläpuolella olevia hintoja ei oteta huomioon, koska yksi yritys voi alittaa toisen satunnaisesti.pieni määrä. Jos hinnat ovat erillisiä (esimerkiksi niiden on otettava kokonaislukuja), yrityksen on alittava toinen vähintään yhdellä ruplalla. Tämä tarkoittaa, että pikkuvaluutan arvo on MC:n yläpuolella. Jos toinen yritys asettaa sille hinnan korkeammaksi, toinen yritys voi laskea sitä ja valloittaa koko markkinat, Bertrandin paradoksi on juuri tässä. Se ei tuota hänelle voittoa. Tämä yritys haluaa mieluummin jakaa myynnin 50/50 toisen yrityksen kanssa ja saada puhtaasti positiivista tuloa.
- Tuotteiden erottelu. Jos eri yritysten tuotteet eroavat toisistaan, kuluttajat eivät välttämättä vaihda kokonaan halvempiin tuotteisiin.
- Dynaaminen kilpailu. Toistuva vuorovaikutus tai toistuva hintakilpailu voi johtaa arvon tasapainoon.
- Lisää kohteita suuremmalla summalla. Tämä seuraa toistuvasta vuorovaikutuksesta. Jos joku yritys asettaa hintansa hieman korkeammalle, se saa silti suunnilleen saman määrän ostoja, mutta enemmän voittoa per tuote. Siksi toinen yritys lisää merkintää jne. (Vain uusinnoissa, muuten dynamiikka menee toiseen suuntaan).
Oligopoli
Jos kaksi yritystä pääsevät sopimukseen hinnasta, on niiden pitkän aikavälin etujen mukaista pitää sopimus voimassa: arvon alennuksen tulot ovat alle kaksi kertaa sopimuksen noudattamisesta saatavat tulot ja kestävät vain siihen asti, kunnes toinen yritys leikkaa hintaaan. omat hinnat.
Teoriatodennäköisyydet (kuten muukin matematiikka) on itse asiassa uusi keksintö. Ja kehitys ei ole ollut sujuvaa. Ensimmäiset yritykset formalisoida todennäköisyyslaskentaa teki markiisi de Laplace, joka ehdotti, että käsite määritellään lopputulokseen johtaneiden tapahtumien lukumäärän suhteeksi.
Tässä on tietysti järkeä vain, jos kaikkien mahdollisten tapahtumien määrä on rajallinen. Ja lisäksi kaikki tapahtumat ovat yhtä todennäköisiä.
Näillä käsitteillä ei siis näyttänyt tuolloin olevan vankkaa perustaa. Yritykset laajentaa määritelmää tapaukseen, jossa on ääretön määrä tapahtumia, ovat johtaneet vielä suurempiin vaikeuksiin. Bertrandin paradoksi on yksi tällainen löytö, joka on tehnyt matemaatikot varovaisiksi koko todennäköisyyskäsitteen suhteen.
