Monet klassisen mekaniikan liikeongelmat voidaan ratkaista käyttämällä hiukkasen tai koko mekaanisen järjestelmän liikemäärän käsitettä. Katsotaanpa tarkemmin liikemäärän käsitettä ja näytämme myös, kuinka saatua tietoa voidaan käyttää fyysisten ongelmien ratkaisemiseen.
Liikkeen pääominaisuus
1600-luvulla Isaac Newton käytti liikemäärän käsitettä tutkiessaan taivaankappaleiden liikettä avaruudessa (aurinkokuntamme planeettojen pyörimistä). Rehellisesti sanottuna huomautamme, että muutama vuosikymmen aiemmin Galileo Galilei oli jo käyttänyt samanlaista ominaisuutta kuvaillessaan liikkuvia kappaleita. Kuitenkin vain Newton kykeni integroimaan sen ytimekkäästi hänen kehittämäänsä klassiseen taivaankappaleiden liiketeoriaan.
Kaikki tietävät, että yksi tärkeimmistä suureista, jotka kuvaavat kehon koordinaattien muutosnopeutta avaruudessa, on nopeus. Jos se kerrotaan liikkuvan kohteen massalla, niin saadaan mainittu liikkeen määrä, eli seuraava kaava pätee:
p¯=mv¯
Kuten näet, p¯ onvektorisuure, jonka suunta on sama kuin nopeuden v¯ suunta. Se mitataan kgm/s.
P¯:n fyysinen merkitys voidaan ymmärtää seuraavalla yksinkertaisella esimerkillä: kuorma-auto ajaa samalla nopeudella ja kärpänen lentää, on selvää, että ihminen ei voi pysäyttää kuorma-autoa, mutta kärpänen pystyy se ilman ongelmia. Eli liikkeen määrä on suoraan verrannollinen nopeuden lisäksi myös kehon massaan (riippuu inertiaominaisuuksista).
Materiaalisen pisteen tai hiukkasen liike
Kun tarkastellaan monia liikeongelmia, liikkuvan kohteen koolla ja muodolla ei useinkaan ole merkittävää roolia niiden ratkaisussa. Tässä tapauksessa otetaan käyttöön yksi yleisimmistä approksimaatioista - kappaletta pidetään hiukkasena tai materiaalipisteenä. Se on mittaton esine, jonka koko massa on keskittynyt kehon keskelle. Tämä kätevä likiarvo pätee, kun kehon mitat ovat paljon pienempiä kuin sen kulkemat etäisyydet. Elävä esimerkki on auton liikkuminen kaupunkien välillä, planeettamme pyöriminen kiertoradalla.
Siten tarkasteltavan hiukkasen tilalle on ominaista sen massa ja liikkeen nopeus (huomaa, että nopeus voi riippua ajasta, eli ei ole vakio).
Mikä on hiukkasen liikemäärä?
Usein nämä sanat tarkoittavat aineellisen pisteen liikkeen määrää, eli arvoa p¯. Tämä ei ole täysin oikein. Katsotaanpa tätä asiaa tarkemmin, tätä varten kirjoitamme ylös Isaac Newtonin toisen lain, joka on jo hyväksytty koulun 7. luokalla, meillä on:
F¯=ma¯
Tieden, että kiihtyvyys on v¯:n muutosnopeus ajassa, voimme kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:
F¯=mdv¯/dt=> F¯dt=mdv¯
Jos vaikuttava voima ei muutu ajan myötä, väli Δt on yhtä suuri kuin:
F¯Δt=mΔv¯=Δp¯
Tämän yhtälön vasenta puolta (F¯Δt) kutsutaan voiman liikemääräksi, oikeaa puolta (Δp¯) kutsutaan liikemäärän muutokseksi. Koska kyseessä on aineellisen pisteen liikkeen tapaus, tätä lauseketta voidaan kutsua hiukkasen liikemäärän kaavaksi. Se näyttää kuinka paljon sen kokonaisliikemäärä muuttuu ajan Δt aikana vastaavan voimapulssin vaikutuksesta.
Voiman hetki
Kun on käsitelty m-massaisen hiukkasen liikemäärän käsitettä lineaarista liikettä varten, siirrytään tarkastelemaan samanlaista ympyräliikkeen ominaisuutta. Jos materiaalipiste, jolla on liikemäärä p¯, pyörii O-akselin ympäri etäisyydellä r¯ siitä, niin voidaan kirjoittaa seuraava lauseke:
L¯=r¯p¯
Tämä lauseke edustaa hiukkasen kulmamomenttia, joka, kuten p¯, on vektorisuure (L¯ on suunnattu oikean käden säännön mukaan kohtisuoraan segmenteille r¯ ja p¯ rakennettuun tasoon nähden).
Jos liikemäärä p¯ luonnehtii kappaleen lineaarisen siirtymän intensiteettiä, niin L¯:llä on samanlainen fysikaalinen merkitys vain ympyräradalle (kierto ympäriakseli).
Yllä kirjoitettua hiukkasen kulmamomentin kaavaa tässä muodossa ei käytetä ongelmien ratkaisemiseen. Yksinkertaisten matemaattisten muunnosten avulla pääset seuraavaan lausekkeeseen:
L¯=Iω¯
Missä ω¯ on kulmanopeus, I on hitausmomentti. Tämä merkintä on samanlainen kuin hiukkasen lineaarisen liikemäärän merkintä (analogia ω¯:n ja v¯:n sekä I:n ja m:n välillä).
Säilytyslait p¯:lle ja L¯
Artikkelin kolmannessa kappaleessa esiteltiin ulkoisen voiman impulssin käsite. Jos tällaiset voimat eivät vaikuta järjestelmään (se on suljettu ja siinä esiintyy vain sisäisiä voimia), järjestelmään kuuluvien hiukkasten kokonaisliikemäärä pysyy vakiona, eli:
p¯=jatkuva
Huomaa, että sisäisen vuorovaikutuksen seurauksena jokainen liikemäärän koordinaatti säilyy:
px=jatkuva; py=jatkuva; pz=const
Yleensä tätä lakia käytetään ratkaisemaan ongelmia, jotka liittyvät jäykkien kappaleiden, kuten pallojen, törmäykseen. On tärkeää tietää, että riippumatta törmäyksen luonteesta (ehdottomasti elastinen tai plastinen), liikkeen kokonaismäärä pysyy aina samana ennen törmäystä ja sen jälkeen.
Piirretään täydellinen analogia pisteen lineaarisen liikkeen kanssa, ja kirjoitetaan liikemäärän säilymislaki seuraavasti:
L¯=vakio. tai I1ω1¯=I2ω2 ¯
Toisin sanoen kaikki sisäiset muutokset järjestelmän hitausmomentissa johtavat suhteelliseen muutokseen sen kulmanopeudessakierto.
Ehkä yksi yleisimmistä tämän lain osoittavista ilmiöistä on luistelijan pyöriminen jäällä, kun hän ryhmittelee kehonsa eri tavoin ja muuttaa kulmanopeuttaan.
Kahden tahmean pallon törmäysongelma
Katsotaanpa esimerkkiä toisiaan kohti liikkuvien hiukkasten lineaarisen liikemäärän säilymisen ongelman ratkaisemisesta. Olkoon nämä hiukkaset palloja, joissa on tahmea pinta (tässä tapauksessa palloa voidaan pitää materiaalipisteenä, koska sen mitat eivät vaikuta ongelman ratkaisuun). Joten yksi pallo liikkuu X-akselin positiivista suuntaa pitkin nopeudella 5 m/s, sen massa on 3 kg. Toinen pallo liikkuu X-akselin negatiivista suuntaa pitkin, sen nopeus on 2 m/s ja massa 5 kg. On tarpeen määrittää, mihin suuntaan ja millä nopeudella järjestelmä liikkuu, kun pallot törmäävät toisiinsa ja tarttuvat toisiinsa.
Järjestelmän liikemäärä ennen törmäystä määräytyy kunkin pallon liikemäärän eron perusteella (ero otetaan, koska kappaleet on suunnattu eri suuntiin). Törmäyksen jälkeen liikemäärä p¯ ilmaistaan vain yhdellä hiukkasella, jonka massa on m1 + m2. Koska pallot liikkuvat vain X-akselia pitkin, meillä on lauseke:
m1v1 - m2v 2=(m1+m2)u
Missä tuntematon nopeus on kaavasta:
u=(m1v1 -m2v2)/(m1+m2)
Korvaamalla ehdon tiedot, saadaan vastaus: u=0, 625 m/s. Positiivinen nopeusarvo osoittaa, että järjestelmä liikkuu X-akselin suuntaan törmäyksen jälkeen, ei sitä vastaan.
