Symbolinen logiikka on tieteenala, joka tutkii oikeita päättelyn muotoja. Sillä on keskeinen rooli filosofiassa, matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Kuten filosofialla ja matematiikalla, logiikalla on muinaiset juuret. Varhaisimmat tutkielmat oikean päättelyn luonteesta kirjoitettiin yli 2000 vuotta sitten. Jotkut antiikin Kreikan tunnetuimmista filosofeista kirjoittivat säilyttämisen luonteesta yli 2300 vuotta sitten. Muinaiset kiinalaiset ajattelijat kirjoittivat loogisista paradokseista samoihin aikoihin. Vaikka logiikan juuret ulottuvat kauas, se on edelleen elinvoimainen tutkimusala.
Matemaattinen symbolinen logiikka
Pitää myös osata ymmärtää ja järkeillä, minkä vuoksi loogisiin johtopäätöksiin kiinnitettiin erityistä huomiota, kun eri elämänalueiden analysointiin ja diagnosointiin ei ollut erityistä laitteistoa. Moderni symbolinen logiikka syntyi Aristoteleen (384-322 eKr.), suuren kreikkalaisen filosofin ja yhden kaikkien aikojen vaikutusv altaisimmista ajattelijoista, työstä. Muitakin onnistumisia olikreikkalainen stoalainen filosofi Chrysippus, joka kehitti perustan sille, mitä nykyään kutsumme propositialliseksi logiikaksi.
Matemaattinen tai symbolinen logiikka kehittyi aktiivisesti vasta 1800-luvulla. Boolen, de Morganin, Schroederin teokset ilmestyivät, joissa tiedemiehet algebrasoivat Aristoteleen opetuksia, muodostaen siten perustan propositiolaskunnalle. Tätä seurasi Fregen ja Preecen työ, jossa otettiin käyttöön muuttujien ja kvantorien käsitteet, joita alettiin soveltaa logiikassa. Näin muodostui predikaattien laskeminen - väitteet aiheesta.
Logiikka merkitsi todisteita kiistattomista tosiseikoista, kun totuudelle ei ollut suoraa vahvistusta. Loogisten ilmaisujen piti vakuuttaa keskustelukumppanin totuudesta.
Loogiset kaavat rakennettiin matemaattisen todisteen periaatteelle. Joten he vakuuttivat keskustelukumppanit tarkkuudesta ja luotettavuudesta.
Kaikenlaiset argumentit kirjoitettiin kuitenkin sanoin. Ei ollut olemassa muodollisia mekanismeja, jotka loisivat loogisen päätelmälaskelman. Ihmiset alkoivat epäillä, piiloutuiko tiedemies matemaattisten laskelmien taakse, piilottaen niiden taakse arvaustensa järjettömyyden, koska jokainen voi esittää väitteensä eri puolella.
Merkityksen synty: kiinteä logiikka matematiikassa todisteena totuudesta
1700-luvun loppupuolella matemaattinen tai symbolinen logiikka nousi tieteeksi, joka sisälsi päätelmien oikeellisuuden tutkimisen. Niillä piti olla looginen loppu ja yhteys. Mutta miten se todistettiintai perustella tutkimustietoa?
Suuri saksalainen filosofi ja matemaatikko Gottfried Leibniz oli yksi ensimmäisistä, joka ymmärsi tarpeen formalisoida loogiset argumentit. Se oli Leibnizin unelma: luoda universaali, muodollinen tieteen kieli, joka pelkistäisi kaikki filosofiset kiistat yksinkertaiseksi laskelmaksi ja muokkaisi tällaisten keskustelujen perustelut tällä kielellä. Matemaattinen tai symbolinen logiikka ilmestyi kaavojen muodossa, jotka helpottavat tehtäviä ja ratkaisuja filosofisissa kysymyksissä. Kyllä, ja tästä tieteenalasta tuli tärkeämpi, koska silloin merkityksettömästä filosofisesta keskustelusta tuli pohja, johon matematiikka itse luottaa!
Meidän aikanamme perinteinen logiikka on symbolista aristotelilaista, joka on yksinkertainen ja vaatimaton. 1800-luvulla tiede kohtasi joukkojen paradoksin, mikä johti epäjohdonmukaisuuksiin Aristoteleen loogisten sekvenssien hyvin kuuluisissa ratkaisuissa. Tämä ongelma oli ratkaistava, koska tieteessä ei voi olla edes pinnallisia virheitä.
Lewis Carroll -muodollisuus - symbolinen logiikka ja sen muunnosvaiheet
Muodollinen logiikka on nyt aine, joka sisältyy kurssille. Se on kuitenkin ulkonäkönsä velkaa symboliselle, alunperin luodulle. Symbolinen logiikka on tapa esittää loogisia lausekkeita käyttämällä symboleja ja muuttujia tavallisen kielen sijaan. Tämä poistaa epäselvyyden, joka liittyy yleisiin kieliin, kuten venäjään, ja helpottaa asioita.
On olemassa monia symbolisen logiikan järjestelmiä, kuten:
- Klassinen propositionaali.
- Ensimmäisen asteen logiikka.
- Modal.
Symbolisen logiikan, sellaisena kuin Lewis Carroll ymmärtää, olisi osoitettava esitetyn kysymyksen oikeat ja väärät väitteet. Jokaisessa voi olla erilliset merkit tai ne voivat sulkea pois tiettyjen merkkien käytön. Tässä on esimerkkejä väitteistä, jotka sulkevat loogisen johtopäätösketjun:
- Kaikki ihmiset, jotka ovat identtisiä kanssani, ovat olentoja, jotka ovat olemassa.
- Kaikki sankarit, jotka ovat identtisiä Batmanin kanssa, ovat olentoja, jotka ovat olemassa.
- Joten (koska Batmania ja minua ei koskaan nähty samassa paikassa), kaikki minulle identtiset ihmiset ovat Batmanin kanssa identtisiä sankareita.
Tämä ei ole kelvollinen muotosyllogismi, mutta se on sama rakenne kuin seuraava:
- Kaikki koirat ovat nisäkkäitä.
- Kaikki kissat ovat nisäkkäitä.
- Siksi kaikki koirat ovat kissoja.
Pitäisi olla selvää, että yllä oleva logiikan symbolinen muoto ei ole pätevä. Logiikassa oikeudenmukaisuus määritellään kuitenkin tällä lauseella: jos lähtökohta olisi totta, johtopäätös olisi totta. Tämä ei selvästikään pidä paikkaansa. Sama koskee sankariesimerkkiä, jolla on sama muoto. Pätevyys koskee vain deduktiivisia argumentteja, joiden tarkoituksena on todistaa päätelmänsä varmuudella, koska deduktiivinen argumentti ei voi olla pätevä. Näitä "korjauksia" sovelletaan myös tilastoissa, kun tietovirhe on seurausta, ja modernia symbolista logiikkaa mm.yksinkertaistettujen tietojen muodollisuus auttaa monissa näistä asioista.
Induktio modernissa logiikassa
Induktiivinen argumentti on tarkoitettu vain osoittamaan sen johtopäätös suurella todennäköisyydellä tai kumoamalla. Induktiiviset argumentit ovat joko vahvoja tai heikkoja.
Induktiivisena argumenttina supersankari Batmanin esimerkki on yksinkertaisesti heikko. Batmanin olemassaolo on kyseenalaista, joten yksi väitteistä on jo suurella todennäköisyydellä väärä. Vaikka et ole koskaan nähnyt häntä samassa paikassa jonkun muun kanssa, on naurettavaa pitää tätä ilmaisua todisteena. Ymmärtääksesi logiikan olemuksen, kuvittele:
- Et ole koskaan nähty samassa paikassa kuin Guinean kotoisin olevaa.
- On epätodennäköistä, että sinä ja guinealainen olette sama henkilö.
- Kuvittele nyt, että sinä ja afrikkalainen ette ole koskaan tavanneet samassa paikassa. Ei ole uskottavaa, että sinä ja afrikkalainen olette sama henkilö. Mutta guinealaisten ja afrikkalaisten tiet kohtasivat, joten et voi olla molempia samaan aikaan. Todisteet siitä, että olet afrikkalainen tai guinealainen, ovat vähentyneet huomattavasti.
Tästä näkökulmasta käsitys symbolisesta logiikasta ei tarkoita a priori -suhdetta matematiikkaan. Logiikan tunnistaminen symboliksi vaatii vain laajan symbolien käytön edustamaan loogisia operaatioita.
Carrollin looginen teoria: sotkeutuminen tai minimalismi matemaattisessa filosofiassa
Carroll oppi epätavallisia tapojamikä pakotti hänet ratkaisemaan melko vaikeita kollegoidensa kohtaamia ongelmia. Tämä esti häntä saavuttamasta merkittävää edistystä työnsä tuloksena saamiensa loogisten merkintöjen ja järjestelmien monimutkaisuuden vuoksi. Carrollin symbolisen logiikan syy on eliminoinnin ongelma. Kuinka tehdä johtopäätös annettujen termien välistä suhdetta koskevasta premissista? Poistetaan "keskiehdot".
Tämän keskeisen logiikan ongelman ratkaisemiseksi 1800-luvun puolivälissä keksittiin symboliset, kaaviolliset ja jopa mekaaniset laitteet. Carrollin menetelmät tällaisten "loogisten sekvenssien" (kuten hän niitä kutsui) käsittelemiseksi eivät kuitenkaan aina antaneet oikeaa ratkaisua. Myöhemmin filosofi julkaisi kaksi artikkelia hypoteeseista, jotka näkyvät Mind-lehdessä: The Logical Paradox (1894) ja What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Näistä papereista keskustelivat laajasti 1800- ja 1900-luvun logiikot (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine jne.). Ensimmäistä artikkelia mainitaan usein hyvänä esimerkkinä aineellisten implikaatioiden paradokseista, kun taas toinen johtaa niin kutsuttuun päättelyparadoksiin.
Symbolien yksinkertaisuus logiikassa
Symbolinen logiikan kieli korvaa pitkiä moniselitteisiä lauseita. Kätevä, koska venäjäksi voit sanoa saman asian erilaisista olosuhteista, mikä tekee mahdolliseksi hämmentyä, ja matematiikassa symbolit korvaavat kunkin merkityksen identiteetin.
- Ensinnäkin lyhyys on tärkeää tehokkuuden kann alta. Symbolinen logiikka ei tule toimeen ilman merkkejä ja nimityksiä, muuten se jäisi vain filosofiseksi, ilman oikeutta todelliseen merkitykseen.
- Toiseksi symbolien avulla on helpompi nähdä ja muotoilla loogisia totuuksia. Kohdat 1 ja 2 rohkaisevat loogisten kaavojen "algebralliseen" manipulointiin.
- Kolmanneksi, kun logiikka ilmaisee loogisia totuuksia, symbolinen muotoilu rohkaisee tutkimaan logiikan rakennetta. Tämä liittyy edelliseen kohtaan. Siten symbolinen logiikka soveltuu logiikan matemaattiseen tutkimukseen, joka on osa matemaattisen logiikan aihetta.
- Neljänneksi, kun vastausta toistetaan, symbolien käyttö auttaa estämään tavallisen kielen epämääräisyyden (esim. useita merkityksiä). Se auttaa myös varmistamaan, että merkitys on ainutlaatuinen.
Lopuksi logiikan symbolinen kieli sallii Fregen esittämän predikaattilaskennan. Vuosien varrella itse predikaattilaskennan symbolista merkintää on jalostettu ja tehostettu, koska hyvä merkintä on tärkeää matematiikassa ja logiikassa.
Aristoteleen antiikin ontologia
Tutkijat kiinnostuivat ajattelijan työstä, kun he alkoivat käyttää Slininin menetelmiä tulkinnassaan. Kirja esittelee klassisen ja modaalisen logiikan teorioita. Tärkeä osa konseptia oli lauselogiikan kaavan pelkistys CNF:ksi symbolisessa logiikassa. Lyhenne tarkoittaa muuttujien konjunktiota tai disjunktiota.
Slinin Ya. A. ehdotti, että monimutkaiset negaatiot, jotka edellyttävät kaavojen toistuvaa pelkistystä, muuttuvat osakaavaksi. Siten hän muunsi joitain arvoja minimaalisemmiksi ja ratkaisi ongelmat lyhennetyssä versiossa. Negaatioiden kanssa työskentely rajoittui de Morganin kaavoihin. De Morganin nimeä kantavat lait ovat pari toisiinsa liittyviä lauseita, jotka mahdollistavat väitteiden ja kaavojen muuttamisen vaihtoehtoisiksi ja usein kätevämmiksi. Lait ovat seuraavat:
- Disjunktion negaatio (tai epäjohdonmukaisuus) on yhtä suuri kuin vaihtoehtojen negaatio - p tai q ei ole yhtä suuri kuin p eikä q tai symbolisesti ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- Konjunktion negaatio on yhtä suuri kuin alkuperäisten konjunkttien negaatio, eli ei (p ja q) ei ole yhtä suuri kuin ei p tai ei q tai symbolisesti ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Näiden alkutietojen ansiosta monet matemaatikot alkoivat soveltaa kaavoja monimutkaisten loogisten ongelmien ratkaisemiseen. Monet tietävät, että on luentokurssi, jossa tutkitaan toimintojen leikkausaluetta. Ja matriisitulkinta perustuu myös loogisiin kaavoihin. Mikä on logiikan ydin algebrallisessa yhteydessä? Tämä on tason lineaarinen funktio, kun voit laittaa numerotieteen ja filosofian samaan kulhoon "sieluttomana" ja kannattamattomana päättelyalueena. Vaikka E. Kant ajatteli toisin, koska hän oli matemaatikko ja filosofi. Hän huomautti, että filosofia ei ole mitään, ennen kuin toisin todistetaan. Ja todisteiden on oltava tieteellisesti perusteltuja. Ja niin tapahtui, että filosofialla alkoi olla merkitystävastaavuus lukujen ja laskelmien todellisen luonteen kanssa.
Logiikan soveltaminen tieteeseen ja todellisuuden aineelliseen maailmaan
Filosofit eivät yleensä sovella loogisen päättelyn tiedettä vain johonkin kunnianhimoiseen tutkinnon jälkeiseen hankkeeseen (yleensä korkea erikoistumisaste, kuten yhteiskuntatieteiden, psykologian tai eettisen luokittelun lisääminen). On paradoksaalista, että filosofinen tiede "synnytti" menetelmän totuuden ja valheen laskemiseen, mutta filosofit itse eivät käytä sitä. Joten kenelle näin selkeitä matemaattisia syllogismeja luodaan ja muunnetaan?
- Ohjelmoijat ja insinöörit käyttivät symbolista logiikkaa (joka ei niinkään eroa alkuperäisestä) toteuttaessaan tietokoneohjelmia ja jopa suunnittelulevyjä.
- Tietokoneiden logiikasta on tullut tarpeeksi monimutkaista käsittelemään lukuisia funktiokutsuja sekä edistämään matematiikkaa ja ratkaisemaan matemaattisia ongelmia. Suuri osa siitä perustuu tietoon matemaattisesta ongelmanratkaisusta ja todennäköisyydestä yhdistettynä eliminoinnin, laajentamisen ja pelkistettävyyden loogisiin sääntöihin.
- Tietokonekieliä ei voida helposti ymmärtää toimimaan loogisesti matematiikan tietämyksen rajoissa ja suorittamaan edes erityistoimintoja. Suuri osa tietokoneen kielestä on luultavasti patentoitua tai vain tietokoneiden ymmärtämä. Ohjelmoijat antavat nykyään usein tietokoneiden tehdä logiikkatehtäviä ja ratkaista ne.
Tällaisten edellytysten aikana monet tiedemiehet olettavat kehittyneen materiaalin luomisen ei tieteen vuoksi, vaanmedian ja tekniikan helppokäyttöisyys. Ehkä pian logiikka tunkeutuu taloustieteen, liike-elämän ja jopa "kaksikasvoiseen" kvanttiin, joka käyttäytyy sekä atomina että a altoina.
Kvanttilogiikka nykyaikaisessa matemaattisen analyysin käytännössä
Kvanttilogiikka (QL) kehitettiin yritykseksi rakentaa lauserakenne, joka mahdollistaisi mielenkiintoisten kvanttimekaniikan (QM) tapahtumien kuvaamisen. QL korvasi loogisen rakenteen, joka ei riittänyt edustamaan atomimaailmaa, vaikka se sopii klassisen fysiikan diskurssiin.
Klassisia järjestelmiä käsittelevän lausekielen matemaattinen rakenne on potenssijoukko, joka on osittain järjestetty sisällyttämisjoukon mukaan, ja operaatiopari edustaa liittoa ja disjunktiota.
Tämä algebra on yhdenmukainen sekä klassisten että relativististen ilmiöiden diskurssin kanssa, mutta on ristiriidassa teorian kanssa, joka kieltää esimerkiksi samanaikaisten totuusarvojen antamisen. QL:n perustajien ehdotus luotiin korvata klassisen logiikan Boolen rakenne heikommalle rakenteelle, joka heikentäisi konjunktion ja disjunktion distributiivisia ominaisuuksia.
Vakiintuneen symbolisen tunkeutumisen heikkeneminen: tarvitaanko totuutta todella matematiikassa eksaktitieteenä
Kvanttilogiikka alkoi kehityksensä aikana viitata paitsi perinteiseen, myös useisiin modernin tutkimuksen alueisiin, jotka yrittivät ymmärtää mekaniikkaa loogisesta näkökulmasta. Useitakvanttimekaniikan kirjallisuudessa käsiteltyjen strategioiden ja ongelmien esittelyyn. Aina kun mahdollista, tarpeettomat kaavat poistetaan, jotta käsitteet ymmärretään intuitiivisesti ennen niihin liittyvän matematiikan hankkimista tai käyttöönottoa.
Ikuinen kysymys kvanttimekaniikan tulkinnassa on, onko kvanttimekaniikan ilmiöille saatavilla pohjimmiltaan klassisia selityksiä. Kvanttilogiikalla on ollut suuri rooli tämän keskustelun muovaamisessa ja jalostamisessa, mikä on erityisesti antanut meille mahdollisuuden olla melko tarkkoja siinä, mitä tarkoitamme klassisella selityksellä. Nyt on mahdollista määrittää tarkasti, mitä teorioita voidaan pitää luotettavina ja mitkä ovat matemaattisten arvioiden looginen johtopäätös.
