Pyynnön "Fermatin lause – lyhyt todiste" suosiosta päätellen tämä matemaattinen ongelma kiinnostaa todella monia. Tämän lauseen esitti ensimmäisen kerran Pierre de Fermat vuonna 1637 aritmeettisen kopion reunalla, jossa hän väitti, että hänellä oli ratkaisu, joka oli liian suuri mahtumaan reunaan.
Ensimmäinen onnistunut todistus julkaistiin vuonna 1995 – se oli Andrew Wilesin täydellinen todistus Fermat'n lauseesta. Sitä on kuvattu "järkeväksi edistykseksi" ja se johti Wilesin saamaan Abel-palkinnon vuonna 2016. Vaikka Fermatin lauseen todistus kuvattiin suhteellisen lyhyesti, se osoitti myös suuren osan modulaarisuuslauseesta ja avasi uusia lähestymistapoja lukuisiin muihin ongelmiin ja tehokkaita menetelmiä modulaarisuuden nostamiseksi. Nämä saavutukset ovat vieneet matematiikkaa 100 vuotta tulevaisuuteen. Fermatin pienen lauseen todiste tänään ei oleon jotain poikkeavaa.
Ratkaisematon ongelma kiihdytti algebrallisen lukuteorian kehitystä 1800-luvulla ja etsimään todisteita modulaarisuuslauseesta 1900-luvulla. Tämä on yksi matematiikan historian merkittävimmistä teoreemoista, ja Fermatin viimeisen lauseen täydelliseen jakotodistukseen asti se oli Guinnessin ennätysten kirjassa "vaikeimpana matemaattisena ongelmana", jonka yksi piirre on, että sillä on eniten epäonnistuneita todisteita.
Historiallista taustaa
Pytagoraan yhtälö x2 + y2=z2 sisältää äärettömän määrän positiivisia kokonaislukuratkaisut x:lle, y:lle ja z:lle. Näitä ratkaisuja kutsutaan Pythagoraan kolminaisuuksiksi. Noin 1637 Fermat kirjoitti kirjan reunaan, että yleisemmällä yhtälöllä a + b =cei ole ratkaisuja luonnollisissa lukuissa, jos n on kokonaisluku, joka on suurempi kuin 2. Vaikka Fermat itse väitti löytäneensä ratkaisun ongelmaansa, hän ei jättänyt mitään yksityiskohtia sen todistuksesta. Fermatin lauseen alkeistodistus, jonka sen luoja väitti, oli pikemminkin hänen kerskaileva keksintönsä. Suuren ranskalaisen matemaatikon kirja löydettiin 30 vuotta hänen kuolemansa jälkeen. Tämä yhtälö, jota kutsutaan Fermatin viimeiseksi lauseeksi, jäi ratkaisematta matematiikassa kolme ja puoli vuosisataa.
Lauseesta tuli lopulta yksi matematiikan merkittävimmistä ratkaisemattomista ongelmista. Yritykset todistaa tämä aiheuttivat lukuteorian merkittävän kehityksen ja sen myötäAikanaan Fermatin viimeinen lause tuli tunnetuksi ratkaisemattomana matematiikan ongelmana.
Lyhyt todisteiden historia
Jos n=4, kuten Fermat itse on osoittanut, riittää todistamaan lause niille indekseille n, jotka ovat alkulukuja. Seuraavien kahden vuosisadan aikana (1637-1839) olettamus todistettiin vain alkuluvuille 3, 5 ja 7, vaikka Sophie Germain päivitti ja osoitti lähestymistavan, joka soveltui koko alkulukuluokkaan. 1800-luvun puolivälissä Ernst Kummer laajensi tätä ja todisti lauseen kaikille säännöllisille alkuluvuille, jolloin epäsäännölliset alkuluvut analysoitiin yksitellen. Kummerin työhön perustuen ja pitkälle kehitettyä tietokonetutkimusta muut matemaatikot pystyivät laajentamaan lauseen ratkaisua tavoitteenaan kattaa kaikki pääeksponentit neljään miljoonaan asti, mutta todisteita kaikille eksponenteille ei vieläkään ollut saatavilla (eli matemaatikot yleensä pidettiin lauseen ratkaisuna mahdotonta, erittäin vaikeaa tai saavuttamatonta nykytiedolla).
Shimuran ja Taniyaman työ
Vuonna 1955 japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama epäilivät, että elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen, kahden hyvin erilaisen matematiikan haaran, välillä oli yhteys. Se tunnettiin tuolloin Taniyama-Shimura-Weyl-oletuksena ja (lopulta) modulaarisuuslauseena, ja se oli olemassa yksinään ilman näkyvää yhteyttä Fermatin viimeiseen lauseeseen. Sitä itsessään pidettiin laaj alti tärkeänä matemaattisena lauseena, mutta sitä pidettiin (kuten Fermatin lauseen) mahdoton todistaa. SiinäSamaan aikaan Fermatin viimeisen lauseen todistus (jakamalla ja soveltamalla monimutkaisia matemaattisia kaavoja) suoritettiin vasta puoli vuosisataa myöhemmin.
Vuonna 1984 Gerhard Frey huomasi ilmeisen yhteyden näiden kahden aiemmin toisiinsa liittymättömän ja ratkaisemattoman ongelman välillä. Ken Ribet julkaisi vuonna 1986 täydellisen vahvistuksen siitä, että nämä kaksi lausetta olivat läheisesti yhteydessä toisiinsa. Hän perustui Jean-Pierre Serran osittaiseen todisteeseen, joka todisti kaikki paitsi yhden osan, joka tunnetaan nimellä "epsilon-hypoteesi". Yksinkertaisesti sanottuna nämä Freyn, Serran ja Riben teokset osoittivat, että jos modulaarisuuslause voitaisiin todistaa ainakin semistable-luokan elliptisten käyrien os alta, niin myös Fermatin viimeisen lauseen todistus löydettäisiin ennemmin tai myöhemmin. Mitä tahansa ratkaisua, joka voi olla ristiriidassa Fermatin viimeisen lauseen kanssa, voidaan käyttää myös modulaarisuuslauseen kanssa ristiriidassa. Siksi, jos modulaarisuuslause osoittautui oikeaksi, niin määritelmän mukaan ei voi olla ratkaisua, joka on ristiriidassa Fermatin viimeisen lauseen kanssa, mikä tarkoittaa, että se olisi pitänyt todistaa pian.
Vaikka molemmat lauseet olivat vaikeita matematiikan ongelmia, joita pidettiin ratkaisemattomina, kahden japanilaisen työ oli ensimmäinen ehdotus siitä, kuinka Fermatin viimeistä lausetta voitaisiin laajentaa ja todistaa kaikille luvuille, ei vain joihinkin. Tärkeää tutkimusaiheen valinneille tutkijoille oli se, että toisin kuin Fermatin viimeisessä lauseessa, modulaarisuuslause oli tärkein aktiivinen tutkimusalue, jolletodisteita kehitettiin, ei vain historiallista omituisuutta, joten hänen työhönsä käytetty aika saattoi olla perusteltua ammatillisesta näkökulmasta. Yleinen yksimielisyys oli kuitenkin, että Taniyama-Shimura-oletuksen ratkaiseminen osoittautui sopimattomaksi.
Farmin viimeinen lause: Wilesin todiste
Saatuaan tietää, että Ribet oli osoittanut Freyn teorian oikeaksi, englantilainen matemaatikko Andrew Wiles, joka on ollut kiinnostunut Fermatin viimeisestä lauseesta lapsuudesta asti ja jolla on kokemusta elliptisten käyrien ja viereisten alueiden kanssa työskentelystä, päätti yrittää todistaa Taniyama-Shimura Oletus keinona todistaa Fermatin viimeinen lause. Vuonna 1993, kuusi vuotta tavoitteensa ilmoittamisen jälkeen, työskennellessään salaa lauseen ratkaisemisen ongelman parissa, Wiles onnistui todistamaan asiaan liittyvän olettamuksen, joka puolestaan auttaisi häntä todistamaan Fermatin viimeisen lauseen. Wilesin asiakirja oli kooltaan ja laajuudeltaan v altava.
Virhe löydettiin hänen alkuperäisen paperinsa yhdestä osasta vertaisarvioinnin aikana, ja se vaati vielä vuoden yhteistyötä Richard Taylorin kanssa lauseen ratkaisemiseksi yhdessä. Tämän seurauksena Wilesin viimeinen todistus Fermatin viimeisestä lauseesta ei odottanut kauan. Vuonna 1995 se julkaistiin paljon pienemmässä mittakaavassa kuin Wilesin edellinen matemaattinen työ, mikä osoittaa, että hän ei erehtynyt aiemmissa päätelmissään lauseen todistamisen mahdollisuudesta. Wilesin saavutus julkistettiin laajasti suositussa lehdistössä ja suosituksi kirjoissa ja televisio-ohjelmissa. Taniyama-Shimura-Weilin arvelun muut osat, jotka on nyt todistettu jaModulaarisuuslauseena tunnetut matemaatikot, jotka rakensivat Wilesin työhön vuosina 1996–2001, todistivat myöhemmin. Wilesille on myönnetty kunnianosoitus ja hän on saanut lukuisia palkintoja, mukaan lukien vuoden 2016 Abel-palkinnon.
Wilesin todistus Fermatin viimeisestä lauseesta on erityinen tapaus ratkaista elliptisten käyrien modulaarisuuslause. Tämä on kuitenkin tunnetuin tapaus tällaisesta laajamittaisesta matemaattisesta operaatiosta. Riben lauseen ratkaisemisen ohella brittiläinen matemaatikko sai myös todisteen Fermatin viimeisestä lauseesta. Nykyaikaiset matemaatikot pitivät Fermatin viimeistä lausetta ja modulaarisuuslausetta lähes yleisesti todistamattomina, mutta Andrew Wiles pystyi todistamaan tiedemaailmalle, että jopa tutkijat voivat olla väärässä.
Wyles ilmoitti löydöstään ensimmäisen kerran keskiviikkona 23. kesäkuuta 1993 Cambridgen luennossa nimeltä "Modulaariset muodot, elliptiset käyrät ja Galois'n esitykset". Syyskuussa 1993 kuitenkin havaittiin, että hänen laskelmissaan oli virhe. Vuotta myöhemmin, 19. syyskuuta 1994, niin kuin hän kutsui "työelämänsä tärkeimmäksi hetkeksi", Wiles törmäsi paljastukseen, jonka ansiosta hän pystyi korjaamaan ongelman ratkaisun siihen pisteeseen, että se voisi tyydyttää matemaattisen yhteisö.
Työkuvaus
Andrew Wilesin todistus Fermatin lauseesta käyttää monia algebrallisen geometrian ja lukuteorian menetelmiä, ja sillä on monia seurauksia näissämatematiikan alueita. Hän käyttää myös modernin algebrallisen geometrian standardirakenteita, kuten kaaviokategoriaa ja Iwasawa-teoriaa, sekä muita 1900-luvun menetelmiä, jotka eivät olleet Pierre de Fermat'n käytettävissä.
Kaksi todisteita sisältävää artikkelia ovat 129 sivua pitkiä ja ne on kirjoitettu seitsemän vuoden aikana. John Coates kuvaili tätä löytöä yhdeksi lukuteorian suurimmista saavutuksista, ja John Conway kutsui sitä 1900-luvun suureksi matemaattiseksi saavutukseksi. Wiles, todistaakseen Fermatin viimeisen lauseen todistamalla modulaarisuuslauseen puoliperäisten elliptisten käyrien erikoistapaukselle, kehitti tehokkaita menetelmiä modulaarisuuden nostamiseen ja avasi uusia lähestymistapoja lukuisiin muihin ongelmiin. Fermatin viimeisen lauseen ratkaisemisesta hänet valittiin ritariksi ja hän sai muita palkintoja. Kun tiedettiin, että Wiles oli voittanut Abel-palkinnon, Norjan tiedeakatemia kuvaili hänen saavutustaan "ihanaksi ja alkeelliseksi todisteeksi Fermatin viimeisestä lauseesta".
Kuinka se oli
Yksi ihmisistä, jotka tarkastelivat Wilesin alkuperäistä käsikirjoitusta ja ratkaisua lauseeseen, oli Nick Katz. Katsauksensa aikana hän esitti britille useita selventäviä kysymyksiä, jotka saivat Wilesin myöntämään, että hänen työssään on selvästi aukko. Todistuksen eräässä kriittisessä osassa tehtiin virhe, joka antoi arvion tietyn ryhmän järjestyksestä: Kolyvaginin ja Flachin menetelmän laajentamiseen käytetty Euler-järjestelmä oli epätäydellinen. Virhe ei kuitenkaan tehnyt hänen työstään hyödytöntä - jokainen Wilesin työ oli itsessään erittäin merkittävä ja innovatiivinen, kuten monetkehitystyöt ja menetelmät, jotka hän loi työnsä aikana ja jotka vaikuttivat vain yhteen osaan käsikirjoituksesta. Tässä vuonna 1993 julkaistussa alkuperäisessä teoksessa ei kuitenkaan ollut todistetta Fermatin viimeisestä lauseesta.
Wyles käytti lähes vuoden yrittäessään löytää uudelleen ratkaisun lauseeseen ensin yksin ja sitten yhteistyössä entisen oppilaansa Richard Taylorin kanssa, mutta kaikki näytti olevan turhaa. Vuoden 1993 loppuun mennessä oli levinnyt huhuja, että Wilesin todiste oli epäonnistunut testauksessa, mutta epäonnistumisen vakavuutta ei tiedetty. Matemaatikot alkoivat painostaa Wilesiä paljastamaan hänen työnsä yksityiskohdat, oli se sitten tehty tai ei, jotta laajempi matemaatikoiden yhteisö voisi tutkia ja käyttää mitä tahansa, mitä hän pystyi saavuttamaan. Sen sijaan, että Wiles olisi korjannut nopeasti virheensä, hän löysi vain lisää vaikeita puolia Fermatin viimeisen lauseen todistuksessa ja tajusi lopulta kuinka vaikeaa se oli.
Wyles toteaa, että syyskuun 19. päivän aamuna 1994 hän oli luovuttamassa ja luovuttamassa, ja hän oli melkein suostunut epäonnistumaan. Hän oli valmis julkaisemaan keskeneräiset työnsä, jotta muut voisivat rakentaa sen pohjalle ja löytää missä hän oli väärässä. Englantilainen matemaatikko päätti antaa itselleen viimeisen mahdollisuuden ja analysoi lauseen viimeisen kerran yrittääkseen ymmärtää tärkeimmät syyt, miksi hänen lähestymistapansa ei toiminut, kun hän yhtäkkiä tajusi, että Kolyvagin-Flac-lähestymistapa ei toimisi ennen kuin hänsisällyttää myös Iwasawan teorian todistusprosessiin, jolloin se toimii.
Wiles pyysi 6. lokakuuta kolmea kollegaansa (mukaan lukien F altins) arvioimaan uutta työtään, ja 24. lokakuuta 1994 hän toimitti kaksi käsikirjoitusta - "Modulaariset elliptiset käyrät ja Fermatin viimeinen lause" ja "Teoreettiset ominaisuudet joidenkin Hecke-algebroiden rengas", joista toisen Wiles kirjoitti yhdessä Taylorin kanssa ja osoitti, että tietyt ehdot täyttyivät pääartikkelin korjatun vaiheen perustelemiseksi.
Nämä kaksi artikkelia tarkistettiin ja julkaistiin lopulta kokotekstipainoksessa toukokuussa 1995 Annals of Mathematicsissa. Andrew'n uudet laskelmat analysoitiin laajasti ja lopulta hyväksyttiin tiedeyhteisössä. Näissä kirjoissa vahvistettiin modulaarisuuslause puoliperäisille elliptisille käyrälle - viimeinen askel kohti Fermatin viimeisen lauseen todistamista, 358 vuotta sen luomisen jälkeen.
Suurin ongelman historia
Tämän lauseen ratkaisemista on pidetty matematiikan suurimmana ongelmana vuosisatojen ajan. Vuosina 1816 ja 1850 Ranskan tiedeakatemia tarjosi palkinnon Fermat'n viimeisen lauseen yleisestä todistuksesta. Vuonna 1857 Akatemia myönsi Kummerille 3 000 frangia ja kultamitalin ideaalisten lukujen tutkimuksesta, vaikka hän ei hakenut palkintoa. Brysselin akatemia tarjosi hänelle toisen palkinnon vuonna 1883.
Wolfskell-palkinto
Vuonna 1908 saksalainen teollisuusmies ja amatöörimatemaatikko Paul Wolfskel testamentti 100 000 kultamarkkaa (suuri summa tuohon aikaan)Göttingenin tiedeakatemia, niin että tästä rahasta tulee palkinto Fermatin viimeisen lauseen täydellisestä todistuksesta. Akatemia julkaisi 27. kesäkuuta 1908 yhdeksän palkintosääntöä. Nämä säännöt vaativat muun muassa, että todiste julkaistaan vertaisarvioidussa lehdessä. Palkinto myönnettiin vasta kaksi vuotta julkaisun jälkeen. Kilpailun oli määrä päättyä 13. syyskuuta 2007 - noin vuosisata sen alkamisen jälkeen. 27. kesäkuuta 1997 Wiles sai Wolfschelin palkintorahat ja sitten vielä 50 000 dollaria. Maaliskuussa 2016 hän sai 600 000 euroa Norjan hallitukselta osana Abel-palkintoa "hämmästyttävästä todistuksesta Fermatin viimeisestä lauseesta puolisopivien elliptisten käyrien modulaarisuusoletuksen avulla, mikä avaa uuden aikakauden lukuteoriassa". Se oli nöyrän englantilaisen maailmanvoitto.
Ennen Wilesin todistetta Fermatin lause, kuten aiemmin mainittiin, pidettiin täysin ratkaisemattomana vuosisatojen ajan. Wolfskell-komitealle esitettiin eri aikoina tuhansia virheellisiä todisteita, joiden arvo oli noin 10 jalkaa (3 metriä) kirjeenvaihtoa. Vain ensimmäisenä palkinnon olemassaolovuonna (1907-1908) jätettiin 621 hakemusta lauseen ratkaisemiseksi, vaikka 1970-luvulle mennessä niiden määrä oli laskenut noin 3-4 hakemukseen kuukaudessa. Wolfschelin arvioijan F. Schlichtingin mukaan suurin osa todisteista perustui kouluissa opetettuihin alkeellisiin menetelmiin ja esiteltiin usein "ihmisinä, joilla on tekninen tausta mutta epäonnistunut ura". Matematiikan historioitsija Howard Avesin mukaan viimeinenFermatin lause on tehnyt eräänlaisen ennätyksen - tämä on lause, jossa on eniten vääriä todisteita.
Maatilan laakerit menivät japanilaisille
Kuten aiemmin mainittiin, noin vuoden 1955 tienoilla japanilaiset matemaatikot Goro Shimura ja Yutaka Taniyama löysivät mahdollisen yhteyden kahden näennäisesti täysin erilaisen matematiikan haaran - elliptisten käyrien ja modulaaristen muotojen - välillä. Tuloksena oleva modulaarisuuslause (tunnetaan silloin Taniyama-Shimura-oletuksena) sanoo, että jokainen elliptinen käyrä on modulaarinen, mikä tarkoittaa, että se voidaan yhdistää ainutlaatuiseen modulaariseen muotoon.
Teoria hylättiin alun perin epätodennäköisenä tai erittäin spekulatiivisena, mutta se otettiin vakavammin, kun lukuteoreetikko André Weil löysi todisteita japanilaisten johtopäätösten tueksi. Tämän seurauksena hypoteesia on usein kutsuttu Taniyama-Shimura-Weil-hypoteesiksi. Hänestä tuli osa Langlands-ohjelmaa, joka on luettelo tärkeistä hypoteeseista, jotka on todistettava tulevaisuudessa.
Vakavan tarkastelun jälkeenkin nykyajan matemaatikot ovat tunnustaneet arvelun erittäin vaikeaksi tai ehkä mahdottomaksi todistaa. Nyt tämä tietty lause odottaa Andrew Wilesiä, joka voisi yllättää koko maailman ratkaisullaan.
Fermatin lause: Perelmanin todistus
Suositusta myytistä huolimatta venäläisellä matemaatikko Grigory Perelmanilla ei kaikesta neroksestaan huolimatta ole mitään tekemistä Fermatin lauseen kanssa. Mikä ei kuitenkaan vähennä sitä millään tavalla.lukuisia panoksia tiedeyhteisölle.
