Vuonna 1900 yksi viime vuosisadan suurimmista tiedemiehistä, David Hilbert, kokosi luettelon 23 ratkaisemattomasta matematiikan ongelmasta. Niiden parissa tehdyllä työllä oli v altava vaikutus tämän inhimillisen tiedon alueen kehitykseen. 100 vuotta myöhemmin Clay Mathematical Institute esitteli luettelon seitsemästä ongelmasta, jotka tunnetaan nimellä Millennium Problems. Jokaiselle heistä tarjottiin miljoonan dollarin palkinto.
Ainoa ongelma, joka esiintyi molemmissa arvoitusluetteloissa, jotka ovat kummitelleet tiedemiehiä yli vuosisadan, oli Riemannin hypoteesi. Hän odottaa edelleen päätöstään.
Lyhyt elämäkertamuistio
Georg Friedrich Bernhard Riemann syntyi vuonna 1826 Hannoverissa köyhän pastorin suureen perheeseen ja eli vain 39 vuotta. Hän onnistui julkaisemaan 10 teosta. Riemania pidettiin kuitenkin jo hänen elinaikanaan opettajansa Johann Gaussin seuraajana. 25-vuotiaana nuori tutkija puolusti väitöskirjaansa "Monimutkaisen muuttujan funktioteorian perusteet". Myöhemmin hän muotoilihänen kuuluisa hypoteesinsa.
Alkuluvut
Matematiikka ilmestyi, kun ihminen oppi laskemaan. Samaan aikaan syntyivät ensimmäiset ajatukset numeroista, joita he myöhemmin yrittivät luokitella. Joillakin niistä on havaittu olevan yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti luonnollisten lukujen joukosta, eli niistä, joita käytettiin laskettaessa (numeroitaessa) tai määriteltäessä esineiden lukumäärää, erotettiin ryhmä, joka oli jaollinen vain yhdellä ja itsellään. Niitä kutsutaan yksinkertaisiksi. Tyylikkään todisteen tällaisten lukujen joukon äärettömyyden lauseesta esitti Eukleides teoksessaan Elementit. Tällä hetkellä heidän etsintönsä jatkuu. Erityisesti suurin jo tiedossa oleva luku on 274 207 281 – 1.
Eulerin kaava
Alkulukujoukon äärettömyyden käsitteen ohella Eukleides määritti myös toisen lauseen ainoasta mahdollisesta alkutekijöiksi hajoamisesta. Sen mukaan mikä tahansa positiivinen kokonaisluku on vain yhden alkulukujoukon tulo. Vuonna 1737 suuri saksalainen matemaatikko Leonhard Euler ilmaisi Eukleideen ensimmäisen äärettömyyslauseen alla olevalla kaavalla.
Se on nimeltään zeta-funktio, jossa s on vakio ja p ottaa kaikki alkuarvot. Siitä seurasi suoraan Eukleideen lausunto laajennuksen ainutlaatuisuudesta.
Riemannin Zeta-toiminto
Eulerin kaava on lähempänä tarkasteltuna täysinyllättävää, koska se määrittelee alkulukujen ja kokonaislukujen välisen suhteen. Loppujen lopuksi äärettömän monet lausekkeet, jotka riippuvat vain alkuluvuista, kerrotaan sen vasemmalla puolella, ja kaikkiin positiivisiin kokonaislukuihin liittyvä summa sijaitsee oikealla.
Riemann meni pidemmälle kuin Euler. Löytääkseen avaimen lukujakauman ongelmaan, hän ehdotti kaavan määrittelyä sekä todellisille että kompleksisille muuttujille. Hän sai myöhemmin nimen Riemannin zeta-funktiolle. Vuonna 1859 tiedemies julkaisi artikkelin "Alkulukujen lukumäärästä, jotka eivät ylitä tiettyä arvoa", jossa hän tiivisti kaikki ideansa.
Riemann ehdotti Euler-sarjan käyttöä, joka konvergoi jokaiselle todelliselle s>1:lle. Jos samaa kaavaa käytetään kompleksille s, sarja konvergoi tämän muuttujan mille tahansa arvolle, jonka reaaliosa on suurempi kuin 1. Riemann sovelsi analyyttistä jatkomenettelyä laajentaen zetan määritelmän kaikkiin kompleksilukuihin, mutta "heitti ulos" yksikön. Se jätettiin pois, koska kohdassa s=1 zeta-funktio kasvaa äärettömään.
Käytännön järkeä
Hertyy looginen kysymys: miksi zeta-funktio, joka on keskeinen Riemannin nollahypoteesityössä, on mielenkiintoinen ja tärkeä? Kuten tiedätte, tällä hetkellä ei ole löydetty yksinkertaista mallia, joka kuvaisi alkulukujen jakautumista luonnollisten lukujen kesken. Riemann pystyi havaitsemaan, että niiden alkulukujen lukumäärä pi(x), jotka eivät ylittäneet x:ää, ilmaistaan zeta-funktion ei-triviaalien nollien jakaumana. Lisäksi Riemannin hypoteesi onvälttämätön edellytys aikaestimaattien todistamiselle joidenkin salausalgoritmien toiminnalle.
Riemannin hypoteesi
Yksi tämän matemaattisen ongelman ensimmäisistä formulaatioista, jota ei ole todistettu tähän päivään mennessä, kuulostaa tältä: ei-triviaalit 0 zeta-funktiot ovat kompleksilukuja, joiden reaaliosa on yhtä suuri kuin ½. Toisin sanoen ne sijaitsevat rivillä Re s=½.
On olemassa myös yleistetty Riemannin hypoteesi, joka on sama väite, mutta zeta-funktioiden yleistyksille, joita kutsutaan yleisesti Dirichlet L-funktioiksi (katso kuva alla).
Kaavassa χ(n) - jokin numeerinen merkki (modulo k).
Riemannin lausetta pidetään ns. nollahypoteesina, koska sen johdonmukaisuus olemassa olevien näytetietojen kanssa on testattu.
Kuten Riemann väitti
Saksalaisen matemaatikon huomautus oli alun perin muotoiltu melko rennosti. Tosiasia on, että tuolloin tiedemies aikoi todistaa lauseen alkulukujen jakautumisesta, ja tässä yhteydessä tällä hypoteesilla ei ollut erityistä merkitystä. Sen rooli monien muiden ongelmien ratkaisemisessa on kuitenkin v altava. Tästä syystä monet tiedemiehet tunnustavat nyt Riemannin oletuksen tärkeimmäksi todistamattomista matemaattisista ongelmista.
Kuten jo mainittiin, täyttä Riemannin hypoteesia ei tarvita jakaumalauseen todistamiseen, ja se riittää perustelemaan loogisesti, että minkä tahansa zeta-funktion ei-triviaalin nollan reaaliosa on0:n ja 1:n välillä. Tästä ominaisuudesta seuraa, että yllä olevassa tarkassa kaavassa esiintyvä zeta-funktion kaikkien nollien summa on äärellinen vakio. Suurilla x:n arvoilla se voi kadota kokonaan. Ainoa kaavan jäsen, joka pysyy samana jopa erittäin suurelle x:lle, on x itse. Loput monimutkaiset termit katoavat asymptoottisesti siihen verrattuna. Joten painotettu summa on x. Tätä seikkaa voidaan pitää alkulukujakauman lauseen totuuden vahvistuksena. Siten Riemannin zeta-funktion nolilla on erityinen rooli. Siinä todistetaan, että tällaiset arvot eivät voi vaikuttaa merkittävästi hajoamiskaavaan.
Riemannin seuraajat
Traaginen tuberkuloosikuolema ei antanut tämän tiedemiehen saattaa ohjelmaansa loogiseen loppuun. Sh-Zh otti kuitenkin vallan häneltä. de la Vallée Poussin ja Jacques Hadamard. Riippumatta toisistaan he päättelivät lauseen alkulukujen jakautumisesta. Hadamard ja Poussin onnistuivat todistamaan, että kaikki ei-triviaalit 0 zeta -funktiot ovat kriittisen alueen sisällä.
Näiden tiedemiesten työn ansiosta matematiikassa on ilmaantunut uusi suunta - analyyttinen lukuteoria. Myöhemmin muut tutkijat saivat useita primitiivisempiä todisteita lauseelle, jota Riemann työskenteli. Erityisesti Pal Erdős ja Atle Selberg löysivät jopa erittäin monimutkaisen sen vahvistavan loogisen ketjun, joka ei vaatinut monimutkaisen analyysin käyttöä. Tässä vaiheessa kuitenkin useita tärkeitälauseita, mukaan lukien monien lukuteoriafunktioiden approksimaatiot. Tässä suhteessa Erdősin ja Atle Selbergin uusi työ ei käytännössä vaikuttanut mihinkään.
Yksi yksinkertaisimmista ja kauneimmista todisteista ongelmasta löytyi vuonna 1980 Donald Newmanin toimesta. Se perustui kuuluisaan Cauchyn lauseeseen.
Uhoittaako Riemannin hypoteesi nykyaikaisen kryptografian perustaa
Tietojen salaus syntyi hieroglyfien ilmestymisen myötä, tarkemmin sanottuna niitä itseään voidaan pitää ensimmäisinä koodeina. Tällä hetkellä digitaalista kryptografiaa on kokonainen ala, joka kehittää salausalgoritmeja.
Alku- ja "puolialkuluvut" eli ne, jotka ovat jaollisia vain kahdella muulla samasta luokasta kuuluvalla luvulla, muodostavat RSA-nimellä tunnetun julkisen avaimen järjestelmän perustan. Sillä on laajin sovellus. Sitä käytetään erityisesti luotaessa sähköistä allekirjoitusta. Kun puhutaan nukkejen käytettävissä olevista termeistä, Riemannin hypoteesi väittää järjestelmän olemassaolon alkulukujakaumassa. Näin ollen salausavaimien vahvuus, josta verkkokaupan alan verkkotapahtumien turvallisuus riippuu, heikkenee merkittävästi.
Muita ratkaisemattomia matemaattisia tehtäviä
Artikkeli kannattaa lopettaa omistamalla muutama sana muille vuosituhannen tavoitteille. Näitä ovat:
- Luokkien P ja NP tasa-arvo. Ongelma muotoillaan seuraavasti: jos myönteinen vastaus tiettyyn kysymykseen tarkistetaan polynomiajassa, niin onko totta, että vastaus tähän kysymykseen itselöytyykö nopeasti?
- Hodgen arvelu. Yksinkertaisesti sanottuna se voidaan muotoilla seuraavasti: Joillekin projektiivisille algebrallisille variaatioille (avaruuksille) Hodge-syklit ovat objektien yhdistelmiä, joilla on geometrinen tulkinta, eli algebrallisia syklejä.
- Poincarén olettamus. Tämä on ainoa toistaiseksi todistettu Millennium Challenge. Sen mukaan jokaisen kolmiulotteisen esineen, jolla on kolmiulotteisen pallon erityisominaisuudet, on oltava pallo muodonmuutokseen asti.
- Yang - Millsin kvanttiteorian vahvistus. On todistettava, että näiden tiedemiesten avaruudelle R 4 esittämä kvanttiteoria on olemassa ja sillä on 0. massavirhe mille tahansa yksinkertaiselle kompaktimittariryhmälle G.
- Birch-Swinnerton-Dyer -hypoteesi. Tämä on toinen salaukseen liittyvä ongelma. Se koskettaa elliptisiä käyriä.
- Navier-Stokes-yhtälöiden ratkaisujen olemassaolon ja sujuvuuden ongelma.
Nyt tiedät Riemannin hypoteesin. Yksinkertaisesti sanottuna olemme muotoilleet joitain muita vuosituhannen haasteita. Se, että ne ratkaistaan tai todistetaan, että niillä ei ole ratkaisua, on ajan kysymys. Lisäksi on epätodennäköistä, että tätä joutuu odottamaan liian kauan, koska matematiikka käyttää yhä enemmän tietokoneiden laskentaominaisuuksia. Kaikki ei kuitenkaan ole tekniikan alaista, ja ennen kaikkea tieteellisten ongelmien ratkaiseminen edellyttää intuitiota ja luovuutta.
