Tuollesi tuomassa artikkelissa tarjoamme esimerkkejä matemaattisista malleista. Lisäksi kiinnitämme huomiota mallien luomisen vaiheisiin ja analysoimme joitain matemaattiseen mallintamiseen liittyviä tehtäviä.
Yksi kysymyksistämme koskee talouden matemaattisia malleja, esimerkkejä, joiden määrittelyä pohdimme hieman myöhemmin. Ehdotamme, että aloitamme keskustelumme "mallin" käsitteestä, harkitsemme lyhyesti niiden luokittelua ja siirrymme pääkysymyksiimme.
"mallin" käsite
Kuulemme usein sanan "malli". Mikä se on? Tällä termillä on monia määritelmiä, tässä on vain kolme niistä:
- erityinen objekti, joka on luotu vastaanottamaan ja tallentamaan tietoa, joka heijastaa tämän kohteen alkuperäisen tuotteen joitakin ominaisuuksia tai ominaisuuksia ja niin edelleen (tämä tietty kohde voidaan ilmaista eri muodoissa: mentaalinen, kuvaus merkkejä käyttäen, ja niin edelleen);
- malli tarkoittaa myös minkä tahansa tietyn tilanteen, elämän tai näyttämistäjohto;
- malli voi toimia pienennetynä kopiona mistä tahansa objektista (ne luodaan yksityiskohtaisempaa tutkimusta ja analysointia varten, koska malli heijastaa rakennetta ja suhteita).
Kaiken aiemmin sanotun perusteella voimme tehdä pienen johtopäätöksen: mallin avulla voit tutkia monimutkaista järjestelmää tai objektia yksityiskohtaisesti.
Kaikki mallit voidaan luokitella useiden kriteerien mukaan:
- käyttöalueittain (koulutus, kokeellinen, tieteellinen ja tekninen, peli, simulointi);
- dynamiikan mukaan (staattinen ja dynaaminen);
- tietämyksen mukaan (fysikaaliset, kemialliset, maantieteelliset, historialliset, sosiologiset, taloudelliset, matemaattiset);
- esityksen avulla (materiaali ja tiedotus).
Tietomallit puolestaan jaetaan viitteellisiin ja sanallisiin. Ja ikoninen - tietokoneella ja ei-tietokoneella. Jatketaan nyt matemaattisen mallin esimerkkien yksityiskohtaiseen tarkasteluun.
Matemaattinen malli
Kuten arvata saattaa, matemaattinen malli heijastaa joitain kohteen tai ilmiön ominaisuuksia käyttämällä erityisiä matemaattisia symboleja. Matematiikkaa tarvitaan, jotta voidaan mallintaa ympäröivän maailman malleja sen omalla kielellä.
Matemaattisen mallintamisen menetelmä sai alkunsa melko kauan sitten, tuhansia vuosia sitten, tämän tieteen myötä. Systeen tämän mallintamismenetelmän kehittämiseen antoi kuitenkin tietokoneiden (elektronisten tietokoneiden) ilmestyminen.
Siirrytään nyt luokitteluun. Se voidaan myös suorittaa joidenkin merkkien mukaan. He ovaton esitetty alla olevassa taulukossa.
| Luokittelu tieteenalojen mukaan | Matemaattisten mallien soveltaminen fysiikassa, sosiologiassa, kemiassa ja niin edelleen |
| Mallinnusprosessissa käytetyn matemaattisen laitteen mukaan | Differentiaaliyhtäloihin, diskreeteihin algebrallisiin muunnoksiin ja vastaaviin perustuvat mallit |
| Mallinnoimalla tavoitteita | Tämän periaatteen mukaan on olemassa kuvailevia, optimointi-, monikriteeri-, peli- ja simulaatiomalleja |
Ehdotamme lopettaa ja tarkastella viimeistä luokittelua tarkemmin, koska se heijastaa mallinnuksen yleisiä malleja ja luotavien mallien tavoitteita.
Kuvaavat mallit
Tässä luvussa ehdotamme, että käsittelemme yksityiskohtaisemmin kuvaavia matemaattisia malleja. Jotta kaikki olisi hyvin selkeä, annetaan esimerkki.
Aluksi tätä näkymää voidaan kutsua kuvaavaksi. Tämä johtuu siitä, että teemme vain laskelmia ja ennusteita, mutta emme voi vaikuttaa tapahtuman lopputulokseen millään tavalla.
Loistava esimerkki kuvaavasta matemaattisesta mallista on aurinkokuntamme laajuuteen tunkeutuneen komeetan lentoradan, nopeuden ja etäisyyden Maasta laskeminen. Tämä malli on kuvaava, koska kaikki saadut tulokset voivat vain varoittaa meitä jonkinlaisesta vaarasta. Valitettavasti emme vaikuta tapahtuman lopputulokseenVoi. Saatujen laskelmien perusteella on kuitenkin mahdollista toteuttaa mitä tahansa toimenpiteitä elämän pelastamiseksi maapallolla.
Optimointimallit
Nyt puhumme hieman taloudellisista ja matemaattisista malleista, joista esimerkkejä voivat olla erilaiset tilanteet. Tässä tapauksessa puhumme malleista, jotka auttavat löytämään oikean vastauksen tietyissä olosuhteissa. Niillä täytyy olla joitain parametreja. Jotta se olisi hyvin selkeä, harkitse esimerkkiä maatalousosasta.
Meillä on aitta, mutta vilja pilaantuu hyvin nopeasti. Tässä tapauksessa meidän on valittava oikea lämpötilajärjestelmä ja optimoitava varastointiprosessi.
Voimme siis määritellä "optimointimallin" käsitteen. Matemaattisessa mielessä tämä on yhtälöjärjestelmä (sekä lineaarinen että ei), jonka ratkaisu auttaa löytämään optimaalisen ratkaisun tietyssä taloudellisessa tilanteessa. Olemme tarkastelleet esimerkkiä matemaattisesta mallista (optimointi), mutta haluan lisätä: tämä tyyppi kuuluu ääriongelmien luokkaan, ne auttavat kuvaamaan talousjärjestelmän toimintaa.
Huomaa vielä yksi vivahde: mallit voivat olla erilaisia (katso alla oleva taulukko).
| deterministinen | Tässä tapauksessa tulos riippuu syöttötiedoista |
| stokastinen | Satunnaisten prosessien kuvaus. Tässä tapauksessa tulos jää määrittelemättömäksi |
Monikriteerimallit
Nyt kutsumme sinut keskustelemaan hieman aiheestamoniobjektiivisen optimoinnin matemaattinen malli. Ennen sitä annoimme esimerkin matemaattisesta mallista prosessin optimoimiseksi minkä tahansa kriteerin mukaan, mutta entä jos niitä on paljon?
Silmiinpistävä esimerkki monikriteeritehtävästä on oikean, terveellisen ja samalla taloudellisen ravinnon järjestäminen suurille ihmisryhmille. Tällaisia tehtäviä löytyy usein armeijasta, koulujen ruokaloista, kesäleireistä, sairaaloista ja niin edelleen.
Mitä kriteerejä meille annetaan tässä tehtävässä?
- Ruoan tulee olla terveellistä.
- Ruokankulutus tulee pitää minimissä.
Kuten näet, nämä tavoitteet eivät ole ollenkaan samat. Tämä tarkoittaa, että ongelmaa ratkaistaessa on etsittävä optimaalinen ratkaisu, tasapaino kahden kriteerin välillä.
Pelimallit
Pelimalleista puheen ollen on välttämätöntä ymmärtää "peliteorian" käsite. Yksinkertaisesti sanottuna nämä mallit heijastavat matemaattisia malleja todellisista konflikteista. Muista vain, että toisin kuin todellisessa konfliktissa, pelin matemaattisella mallilla on omat erityiset säännöt.
Nyt peliteoriasta löytyy vähän tietoa, joka auttaa sinua ymmärtämään, mikä pelimalli on. Ja niinpä mallissa on välttämättä puolueita (kaksi tai useampia), joita yleensä kutsutaan pelaajiksi.
Kaikilla malleilla on joitain ominaisuuksia.
| Aiheet | Pelaajien määrä |
| Strategia | Mahdollisten toimintojen vaihtoehdot |
| Maksu | Ristiriidan lopputulos (voita tai häviä). |
Pelimalli voidaan yhdistää tai useita. Jos meillä on kaksi aihetta, konflikti on parillinen, jos useampi - useita. Myös antagonistinen peli voidaan erottaa, sitä kutsutaan myös nollasummapeliksi. Tämä on malli, jossa yhden osallistujan voitto on yhtä suuri kuin toisen tappio.
Simulaatiomallit
Tässä osiossa kiinnitämme huomiota simulaatiomatemaattisiin malleihin. Esimerkkejä tehtävistä ovat:
- mikro-organismien lukumäärän dynamiikan malli;
- molekyylien liikkeen malli ja niin edelleen.
Tässä tapauksessa puhumme malleista, jotka ovat mahdollisimman lähellä todellisia prosesseja. Yleensä ne jäljittelevät mitä tahansa ilmenemismuotoa luonnossa. Ensimmäisessä tapauksessa voimme esimerkiksi mallintaa muurahaisten lukumäärän dynamiikkaa yhdessä pesäkkeessä. Tässä tapauksessa voit tarkkailla jokaisen henkilön kohtaloa. Tässä tapauksessa matemaattista kuvausta käytetään harvoin, useammin on kirjallisia ehtoja:
- viiden päivän kuluttua naaras munii;
- 20 päivää myöhemmin muurahainen kuolee ja niin edelleen.
Simulaatiomalleja käytetään siis kuvaamaan suurta järjestelmää. Matemaattinen johtopäätös on vastaanotettujen tilastotietojen käsittely.
Vaatimukset
Erittäin tärkeääHuomaa, että tämän tyyppisille malleille on asetettu joitain vaatimuksia, kuten alla olevassa taulukossa esitetyt.
| Monipuolisuus | Tämän ominaisuuden avulla voit käyttää samaa mallia, kun kuvataan samantyyppisiä objektiryhmiä. On tärkeää huomata, että universaalit matemaattiset mallit ovat täysin riippumattomia tutkittavan kohteen fysikaalisesta luonteesta |
| Riittävyys | Tässä on tärkeää ymmärtää, että tämän ominaisuuden avulla voit toistaa todelliset prosessit mahdollisimman tarkasti. Operaatioongelmissa tämä matemaattisen mallinnuksen ominaisuus on erittäin tärkeä. Esimerkki mallista on kaasujärjestelmän käytön optimointiprosessi. Tässä tapauksessa laskettuja ja todellisia indikaattoreita verrataan, minkä seurauksena tarkistetaan käännetyn mallin oikeellisuus |
| Tarkkuus | Tämä vaatimus merkitsee matemaattista mallia laskettaessa saamiemme arvojen yhteensopivuutta todellisen objektimme syöttöparametrien kanssa |
| Talous | Jokaisen matemaattisen mallin kustannustehokkuusvaatimukseen on ominaista toteutuskustannukset. Jos mallin kanssa työskennellään manuaalisesti, on tarpeen laskea, kuinka paljon aikaa kuluu yhden ongelman ratkaisemiseen käyttämällä tätä matemaattista mallia. Jos puhumme tietokoneavusteisesta suunnittelusta, niin ajan ja tietokoneen muistin kustannusten indikaattorit lasketaan |
Vaiheetmallintaminen
Yhteensä matemaattisessa mallintamisessa on tapana erottaa neljä vaihetta.
- Muotoile lait, jotka yhdistävät mallin osia.
- Matemaattisten ongelmien tutkimus.
- Käytännön ja teoreettisten tulosten yhteensopivuuden selventäminen.
- Mallin analyysi ja modernisointi.
Taloudellinen ja matemaattinen malli
Tässä osiossa korostamme lyhyesti taloudellisia ja matemaattisia malleja. Esimerkkejä tehtävistä ovat:
- lihatuotteiden tuotannon tuotantoohjelman muodostaminen, mikä varmistaa tuotannon maksimaalisen voiton;
- maksimoi organisaation tuotto laskemalla optimaalinen määrä huonekalutehtaassa valmistettavia pöytiä ja tuoleja ja niin edelleen.
Talous-matemaattinen malli näyttää taloudellisen abstraktion, joka ilmaistaan matemaattisilla termeillä ja merkeillä.
Tietokoneen matemaattinen malli
Esimerkkejä tietokoneen matemaattisista malleista ovat:
- hydrauliikan ongelmat vuokaavioiden, kaavioiden, taulukoiden ja niin edelleen avulla;
- ongelmia kiinteässä mekaniikassa ja niin edelleen.
Tietokonemalli on kuva objektista tai järjestelmästä, joka esitetään muodossa:
- pöydät;
- vuokaaviot;
- kaaviot;
- grafiikka ja niin edelleen.
Samalla tämä malli heijastaa järjestelmän rakennetta ja yhteyksiä.
Talous-matemaattisen mallin rakentaminen
Olemme jo puhuneet siitä, mikä taloudellinenmatemaattinen malli. Esimerkkiä ongelman ratkaisemisesta harkitaan juuri nyt. Meidän on analysoitava tuotanto-ohjelma tunnistaaksemme reservi voittojen kasvattamiseen valikoiman muutoksella.
Emme käsittele ongelmaa täysin, vaan rakennamme vain taloudellisen ja matemaattisen mallin. Tehtävämme kriteeri on voiton maksimointi. Tällöin funktiolla on muoto: Л=р1х1+р2х2… maksimissaan. Tässä mallissa p on voitto yksikköä kohti, x on tuotettujen yksiköiden lukumäärä. Lisäksi rakennetun mallin perusteella on tarpeen tehdä laskelmia ja tehdä yhteenveto.
Esimerkki yksinkertaisen matemaattisen mallin rakentamisesta
Tehtävä. Kalastaja palasi seuraavan saaliin kanssa:
- 8 kalaa - pohjoisten merien asukkaita;
- 20 % saaliista - eteläisten merien asukkaat;
- paikallisesta joesta ei löytynyt yhtään kalaa.
Kuinka monta kalaa hän osti kaupasta?
Joten, esimerkki tämän ongelman matemaattisen mallin rakentamisesta on seuraava. Merkitään kalojen kokonaismäärä x:llä. Tilan mukaan 0,2x on eteläisillä leveysasteilla elävien kalojen määrä. Nyt yhdistetään kaikki saatavilla oleva tieto ja saadaan tehtävän matemaattinen malli: x=0, 2x+8. Ratkaisemme yhtälön ja saamme vastauksen pääkysymykseen: hän osti kaupasta 10 kalaa.
