Yksi matemaattisen analyysin perusosioista on integraalilaskenta. Se kattaa laajimman objektikentän, jossa ensimmäinen on epämääräinen integraali. Se kannattaa asettaa avaimeksi, joka jo lukiossa paljastaa yhä enemmän näkökulmia ja mahdollisuuksia, joita korkeampi matematiikka kuvaa.
Ulkonäkö
Integraali vaikuttaa ensi silmäyksellä täysin modernilta, relevantilta, mutta käytännössä käy ilmi, että se ilmestyi jo vuonna 1800 eaa. Egyptiä pidetään virallisesti kotimaana, koska aiemmat todisteet sen olemassaolosta eivät ole saavuttaneet meitä. Hän, tiedon puutteen vuoksi, asetettiin koko tämän ajan yksinkertaisesti ilmiöksi. Hän vahvisti jälleen kerran tieteen kehitystason noiden aikojen kansojen keskuudessa. Lopulta löydettiin antiikin kreikkalaisten matemaatikoiden teoksia, jotka ovat peräisin 4. vuosisad alta eKr. He kuvasivat menetelmää, jossa käytettiin määrittelemätöntä integraalia, jonka ydin oli kaarevan hahmon (kolmiulotteisen) tilavuuden tai alueen löytäminenja vastaavasti kaksiulotteiset tasot). Laskentaperiaate perustui alkuperäisen kuvan jakamiseen äärettömän pieniin komponentteihin, mikäli niiden tilavuus (pinta-ala) on jo tiedossa. Ajan myötä menetelmä on kasvanut, Archimedes käytti sitä löytääkseen paraabelin alueen. Samanlaisia laskelmia suorittivat samaan aikaan muinaisen Kiinan tiedemiehet, ja ne olivat täysin riippumattomia kreikkalaisista tiedemiehistä.
Kehitys
Seuraava läpimurto 1000-luvulla jKr. oli arabitutkijan - "universaalin" Abu Ali al-Basrin työ. Hän työnsi jo tunnetun rajoja ja johti integraaliin perustuvia kaavoja summien laskemiseksi. rivien ja potenssien summat ensimmäisestä neljänteen soveltaen tähän meille tunnettua matemaattisen induktion menetelmää.
Nykyajan mielet ihailevat sitä, kuinka muinaiset egyptiläiset loivat uskomattomia arkkitehtonisia monumentteja ilman mitään erityisiä laitteita, paitsi ehkä käsiään, mutta eikö tuon ajan tiedemiesten mielen voima ole yhtä ihme? Nykypäivään verrattuna heidän elämänsä näyttää melkein primitiiviseltä, mutta epämääräisten integraalien ratkaisu johdettiin kaikkialla ja sitä käytettiin käytännössä jatkokehitykseen.
Seuraava askel tapahtui 1500-luvulla, kun italialainen matemaatikko Cavalieri kehitti jakamattomien menetelmän, jonka Pierre Fermat omaksui. Juuri nämä kaksi persoonaa loivat perustan nykyaikaiselle integraalilaskentalle, joka tunnetaan tällä hetkellä. Ne yhdistivät erilaistumisen ja integraation käsitteet, jotka olivat aiemminpidetään autonomisina yksiköinä. Yleisesti ottaen noiden aikojen matematiikka oli pirstoutunut, johtopäätöshiukkaset olivat olemassa yksinään rajoitetulla laajuudella. Yhtenäisyyden ja yhteisen jalan etsimisen polku oli tuolloin ainoa oikea, jonka ansiosta moderni matemaattinen analyysi sai mahdollisuuden kasvaa ja kehittyä.
Kaikki on muuttunut ajan myötä, mukaan lukien integraalin merkintätapa. Yleisesti ottaen tiedemiehet merkitsivät sitä kaikin tavoin, esimerkiksi Newton käytti neliön muotoista kuvaketta, johon hän sijoitti integroitavan funktion tai yksinkertaisesti laittoi sen sen viereen.
Tämä epäjohdonmukaisuus jatkui 1600-luvulle asti, jolloin tiedemies Gottfried Leibniz, koko matemaattisen analyysin teorian maamerkki, esitteli meille niin tutun symbolin. Pitkänomainen "S" perustuu todellakin tähän latinalaisten aakkosten kirjaimeen, koska se tarkoittaa antijohdannaisten summaa. Integraali sai nimensä Jacob Bernoullin ansiosta 15 vuotta myöhemmin.
Muodollinen määritelmä
Epämääräinen integraali riippuu suoraan antiderivaatan määritelmästä, joten tarkastellaan sitä ensin.
Antiderivaata on funktio, joka on derivaatan käänteisfunktio, jota kutsutaan käytännössä myös primitiiviksi. Muuten: funktion d antiderivaata on funktio D, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin v V'=v. Antiderivaatan haku on määrittelemättömän integraalin laskentaa, ja itse tätä prosessia kutsutaan integraatioksi.
Esimerkki:
Funktion s(y)=y3 ja sen antijohdannainen S(y)=(y4/4).
Tarkasteltavana olevan funktion kaikkien antiderivaatojen joukko on epämääräinen integraali, se merkitään seuraavasti: ∫v(x)dx.
Koska V(x) on vain jokin alkuperäisen funktion antiderivaata, tapahtuu lauseke: ∫v(x)dx=V(x) + C, missä C on vakio. Satunnainen vakio on mikä tahansa vakio, koska sen derivaatta on nolla.
Ominaisuudet
Epämääräisen integraalin ominaisuudet perustuvat päämäärittelyyn ja derivaattojen ominaisuuksiin.
Katsotaanpa keskeisiä kohtia:
- antiderivaatan derivaatan integraali on itse antiderivaata plus mieliv altainen vakio С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- funktiointegraalin derivaatta on alkuperäinen funktio (∫v(x)dx)'=v(x);
- vakio otetaan pois integraalimerkin ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx alta, missä k on mieliv altainen;
- summasta otettu integraali on identtinen integraalien summan kanssa ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Kahdesta viimeisestä ominaisuudesta voimme päätellä, että epämääräinen integraali on lineaarinen. Tämän ansiosta meillä on: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Konsolidointia varten harkitse esimerkkejä epämääräisten integraalien ratkaisemisesta.
On tarpeen löytää integraali ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx ++ C
Esimerkistä voimme päätellä:et tiedä kuinka ratkaista epämääräiset integraalit? Etsi vain kaikki primitiivit! Mutta haun periaatteita tarkastellaan alla.
Menetelmät ja esimerkit
Integraalin ratkaisemiseksi voit turvautua seuraaviin menetelmiin:
- käytä valmistettua taulukkoa;
- integroida osittain;
- integroi muuttamalla muuttujaa;
- tuo erotusmerkin alle.
taulukot
Helppoin ja nautinnollisin tapa. Tällä hetkellä matemaattisessa analyysissä on varsin laajoja taulukoita, joihin kirjoitetaan epämääräisten integraalien peruskaavat. Toisin sanoen on olemassa malleja, jotka on kehitetty ennen sinua ja sinua varten, jää vain käyttää niitä. Tässä on luettelo päätaulukon paikoista, joihin voit johtaa melkein kaikki esimerkit, joissa on ratkaisu:
- ∫0dy=C, missä C on vakio;
- ∫dy=y + C, missä C on vakio;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, missä C on vakio ja n - ei-yksi numero;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, jossa C on vakio;
- ∫eydy=ey + C, jossa C on vakio;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, missä C on vakio;
- ∫cosydy=siny + C, missä C on vakio;
- ∫sinydy=-cosy + C, missä C on vakio;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, missä C on vakio;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, missä C on vakio;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, missä C on vakio;
- ∫chydy=ujo + C, missä C -vakio;
- ∫shydy=chy + C, missä C on vakio.
Ota tarvittaessa pari askelta, tuo integrandi taulukkomuotoon ja nauti voitosta. Esimerkki: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Ratkaisun mukaan on selvää, että taulukkoesimerkissä integrandista puuttuu kerroin 5. Lisätään se kertomalla se 1/5 rinnakkain, jotta yleinen lauseke ei muutu.
Osittainen integrointi
Tarkastellaan kahta funktiota - z(y) ja x(y). Niiden on oltava jatkuvasti erotettavissa koko määrittelyalueella. Yhden differentiaatio-ominaisuuden mukaan meillä on: d(xz)=xdz + zdx. Integroimalla yhtälön molemmat osat saadaan: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Kirjoitamalla tuloksena oleva yhtälö uudelleen, saadaan kaava, joka kuvaa integrointimenetelmän osien mukaan: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Mihin sitä tarvitaan? Asia on siinä, että joitain esimerkkejä voidaan yksinkertaistaa, ehdollisesti sanottuna vähentämällä ∫zdx arvoon ∫xdz, jos jälkimmäinen on lähellä taulukkomuotoa. Tätä kaavaa voidaan myös käyttää useammin kuin kerran, jolloin saavutetaan optimaaliset tulokset.
Kuinka ratkaiset epämääräiset integraalit tällä tavalla:
täytyy laskea ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
täytyy laskea ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Muuttujakorvaus
Tämä epämääräisten integraalien ratkaisemisen periaate ei ole yhtä kysytty kuin kaksi edellistä, vaikka se onkin monimutkaisempi. Menetelmä on seuraava: olkoon V(x) jonkin funktion v(x) integraali. Siinä tapauksessa, että itse integraali esimerkissä tulee monimutkaiselta, on suuri todennäköisyys hämmentyä ja valita väärän ratkaisun polku. Tämän välttämiseksi harjoitellaan siirtymistä muuttujasta x z:ksi, jossa yleislauseke yksinkertaistetaan visuaalisesti säilyttäen samalla z:n riippuvuus x:stä.
Matemaattisesti se näyttää tältä: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), missä x=y(z) on substituutio. Ja tietysti käänteisfunktio z=y-1(x) kuvaa täysin muuttujien riippuvuutta ja suhdetta. Tärkeä huomautus - differentiaali dx korvataan välttämättä uudella differentiaalilla dz, koska muuttujan korvaaminen määrittelemättömässä integraalissa edellyttää sen korvaamista kaikkialla, ei vain integrandissa.
Esimerkki:
täytyy löytää ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Käytä vaihtoa z=(s+1)/(s2+2s-5). Sitten dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Tuloksena saamme seuraavan lausekkeen, joka on erittäin helppo laskea:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
täytyy löytää integraali∫2sesdx
Ratkaisemiseksi kirjoitamme lausekkeen uudelleen seuraavassa muodossa:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Merkitse a=2e (tämä vaihe ei korvaa argumenttia, se on silti s), tuomme näennäisen monimutkaisen integraalimme alkeistaulukkomuotoon:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Tuo erotusmerkin alle
Yleensä tämä epämääräisten integraalien menetelmä on muuttujan muutosperiaatteen kaksoisveli, mutta suunnitteluprosessissa on eroja. Katsotaanpa tarkemmin.
Jos ∫v(x)dx=V(x) + C ja y=z(x), niin ∫v(y)dy=V(y) + C.
Tässä tapauksessa ei pidä unohtaa triviaaleja integraalimuunnoksia, joita ovat:
- dx=d(x + a), missä a on mikä tahansa vakio;
- dx=(1 / a)d(ax + b), missä a on jälleen vakio, mutta ei ole nolla;
- xdx=1/2p(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Jos tarkastelemme yleistä tapausta, kun laskemme epämääräistä integraalia, esimerkit voidaan laskea yhteen yleisen kaavan w'(x)dx=dw(x) alle.
Esimerkkejä:
täytyy löytää ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Online-ohje
Joissakin tapauksissa, joiden syynä voi olla joko laiskuus tai kiireellinen tarve, voit käyttää online-vinkkejä tai pikemminkin käyttää infinite-integraalilaskuria. Integraalien ilmeisestä monimutkaisuudesta ja kiistanalaisuudesta huolimatta niiden ratkaisuun sovelletaan tiettyä algoritmia, joka perustuu periaatteeseen "jos ei…, niin…".
Sellainen laskin ei tietenkään hallitse erityisen monimutkaisia esimerkkejä, koska on tapauksia, joissa ratkaisu on löydettävä keinotekoisesti, "väkisin" ottamalla käyttöön tiettyjä elementtejä prosessissa, koska tulosta ei voida saavuttaa ilmeisellä tavoilla. Kaikesta tämän väitteen ristiriitaisuudesta huolimatta se on totta, sillä matematiikka on periaatteessa abstrakti tiede ja pitää ensisijaisena tehtäväänsä tarvetta laajentaa mahdollisuuksien rajoja. On todellakin äärimmäisen vaikeaa nousta ylös ja kehittyä sujuvan, sisäänajon teorioiden mukaan, joten sinun ei pitäisi olettaa, että antamamme esimerkit epämääräisten integraalien ratkaisemisesta ovat mahdollisuuksien huippu. Mutta takaisin asioiden tekniseen puoleen. Ainakin laskelmien tarkistamiseen voit käyttää palveluita, joissa kaikki on kirjoitettu ennen meitä. Jos monimutkaisen lausekkeen automaattinen laskeminen on tarpeen, niistä ei voida luopua, sinun on turvauduttava vakavampiin ohjelmistoihin. Kannattaa kiinnittää huomiota ennen kaikkea MatLab-ympäristöön.
Hakemus
Epämääräisten integraalien ratkaisu näyttää ensisilmäyksellä täysin irraantuneelta todellisuudesta, koska on vaikea nähdä ilmeisiä sovellusalueita. Niitä ei todellakaan voi käyttää suoraan missään, mutta niitä pidetään välttämättömänä välielementtinä käytännössä käytettävien ratkaisujen johtamisprosessissa. Integraatio on siis käänteinen differentiaatiolle, minkä ansiosta se osallistuu aktiivisesti yhtälöiden ratkaisuprosessiin.
Näillä yhtälöillä on puolestaan suora vaikutus mekaanisten ongelmien ratkaisuun, liikeradan laskemiseen ja lämmönjohtavuuteen - lyhyesti sanottuna kaikkeen, mikä muodostaa nykyisyyden ja muokkaa tulevaisuutta. Epämääräinen integraali, jonka esimerkkejä tarkastelimme edellä, on triviaali vain ensi silmäyksellä, koska se on perusta yhä useampien uusien löytöjen tekemiselle.
