Integraalin käsitteen syntyminen johtui tarpeesta löytää antiderivaallinen funktio sen derivaatan avulla sekä määrittää työn määrä, monimutkaisten kuvioiden pinta-ala, kuljettu matka, parametrit, jotka on hahmoteltu epälineaarisilla kaavoilla kuvattujen käyrien avulla.
Kurssilta
ja fysiikka tietää, että työ on yhtä suuri kuin voiman ja etäisyyden tulo. Jos kaikki liike tapahtuu vakionopeudella tai etäisyys ylitetään samalla voimalla, kaikki on selvää, sinun on vain kerrottava ne. Mikä on vakion integraali? Tämä on lineaarinen funktio muotoa y=kx+c.
Mutta voima työn aikana voi muuttua, ja jonkinlaisessa luonnollisessa riippuvuudessa. Sama tilanne tapahtuu laskettaessa kuljettua matkaa, jos nopeus ei ole vakio.
Joten, on selvää, mitä varten integraali on tarkoitettu. Sen määritelmä funktion arvojen tulojen summana argumentin äärettömän pienellä lisäyksellä kuvaa täysin tämän käsitteen päätarkoitusta funktion viivalla ylhäältä rajaamana kuvion alueena ja reunat määritelmän rajojen mukaan.
Jean Gaston Darboux, ranskalainen matemaatikko, XIX-luvun jälkipuoliskollavuosisadalla selitettiin hyvin selvästi, mikä integraali on. Hän teki sen niin selväksi, että tämän asian ymmärtäminen ei yleensä olisi edes yläkoululaisenkaan vaikeaa.
Oletaan, että missä tahansa monimutkaisessa muodossa on funktio. Y-akseli, jolle argumentin arvot piirretään, on jaettu pieniin intervalleihin, mieluiten ne ovat äärettömän pieniä, mutta koska äärettömyyden käsite on melko abstrakti, riittää kuvitella vain pieniä segmenttejä, arvo joista yleensä käytetään kreikkalaista kirjainta Δ (delta).
Toiminto osoittautui "leikatuksi" pieniksi tiileiksi.
Jokainen argumentin arvo vastaa pistettä y-akselilla, jolle vastaavat funktioarvot piirretään. Mutta koska valitulla alueella on kaksi reunaa, funktiolla on myös kaksi arvoa, enemmän ja vähemmän.
Kasvulla Δ saatujen suurempien arvojen tulojen summaa kutsutaan suureksi Darboux-summaksi, ja sitä merkitään S:llä. Näin ollen pienemmät arvot rajoitetulla alueella kerrottuna Δ:llä, kaikki yhdessä muodostavat pienen Darboux-summan s. Leikkaus itsessään muistuttaa suorakaiteen muotoista puolisuunnikasta, koska funktion suoran kaarevuus sen äärettömän pienellä inkrementillä voidaan jättää huomiotta. Helpoin tapa löytää tällaisen geometrisen kuvion pinta-ala on laskea funktion suuremman ja pienemmän arvon tulot Δ-inkrementillä ja jakaa kahdella, eli määrittää se aritmeettiseksi keskiarvoksi.
Tämä on Darboux-integraali:
s=Σf(x) Δ on pieni määrä;
S=Σf(x+Δ)Δ on iso summa.
Mikä on integraali? Funktiorivin ja määritelmärajojen rajoittama alue on:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Toisin sanoen suurten ja pienten Darboux'n summien.c aritmeettinen keskiarvo on vakioarvo, joka asetetaan nollaan differentioinnin aikana.
Tämän käsitteen geometrisen ilmaisun perusteella integraalin fyysinen merkitys tulee selväksi. Kuvan alue, jonka ääriviivat nopeusfunktio ja rajoittaa aikaväli abskissa-akselilla, on kuljetun reitin pituus.
L=∫f(x)dx välillä t1 - t2, Missä
f(x) – nopeusfunktio, eli kaava, jolla se muuttuu ajan myötä;
L – polun pituus;
t1 – aloitusaika;
t2 – matkan päättymisaika.
Täsmälleen saman periaatteen mukaan määritetään työn määrä, vain etäisyys piirretään abskissaa pitkin ja kuhunkin pisteeseen kohdistetun voiman määrä piirretään ordinaatalle.
