Matriiseja ja determinantteja löydettiin 1700- ja 1800-luvuilla. Aluksi niiden kehittäminen koski geometristen objektien muuntamista ja lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisua. Historiallisesti varhainen painotus oli määräävässä tekijässä. Nykyaikaisissa lineaarialgebran prosessointimenetelmissä matriisit huomioidaan ensin. Tätä kysymystä kannattaa pohtia hetken.
Vastauksia tältä tietoalueelta
Matriisit tarjoavat teoreettisesti ja käytännöllisesti hyödyllisen tavan ratkaista monia ongelmia, kuten:
- lineaariyhtälöjärjestelmät;
- kiinteiden aineiden tasapaino (fysiikassa);
- graafiteoria;
- Leontiefin talousmalli;
- metsätalous;
- tietokonegrafiikka ja tomografia;
- genetiikka;
- salaus;
- sähköverkot;
- fraktaali.
Itse asiassa "nukkejen" matriisialgebralla on yksinkertaistettu määritelmä. Se ilmaistaan seuraavasti: tämä on tieteellinen tiedon ala, jollakyseisiä arvoja tutkitaan, analysoidaan ja tutkitaan täysin. Tässä algebran osassa tutkitaan erilaisia operaatioita tutkittavilla matriiseilla.
Kuinka työskennellä matriisien kanssa
Näitä arvoja pidetään samanlaisina, jos niillä on samat mitat ja jokainen elementti on yhtä suuri kuin toisen vastaava elementti. Matriisi on mahdollista kertoa millä tahansa vakiolla. Tätä annettua kutsutaan skalaariseksi kertolaskuksi. Esimerkki: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Samankokoisia matriiseja voidaan lisätä ja vähentää syötteillä, ja yhteensopivien kokojen arvoja voidaan kertoa. Esimerkki: lisää kaksi A:ta ja B:tä: A=[21−10]B=[1423]. Tämä on mahdollista, koska A ja B ovat molemmat matriiseja, joissa on kaksi riviä ja sama määrä sarakkeita. Jokainen A:n elementti on lisättävä vastaavaan B:n elementtiin: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matriisit vähennetään samalla tavalla algebrassa.
Matriisikertominen toimii hieman eri tavalla. Lisäksi tapauksia ja vaihtoehtoja sekä ratkaisuja voi olla monia. Jos kerrotaan matriisi Apq ja Bmn, niin tulo Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Merkintä AB:n g:nnessä rivissä ja h:nnessa sarakkeessa on g A:n ja h B:n vastaavien merkintöjen tulon summa. Kaksi matriisia on mahdollista kertoa vain, jos sarakkeiden lukumäärä ensimmäisessä ja rivien määrä on toisessa ovat tasavertaisia. Esimerkki: täytä tarkastellun A:n ja B:n ehto: A=[1–130]B=[2–11214]. Tämä on mahdollista, koska ensimmäinen matriisi sisältää 2 saraketta ja toinen sisältää 2 riviä. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Perustietoa matriiseista
Kyseiset arvot järjestävät tietoja, kuten muuttujia ja vakioita, ja tallentavat ne riveihin ja sarakkeisiin, joita yleensä kutsutaan nimellä C. Jokaista matriisin kohtaa kutsutaan elementiksi. Esimerkki: C=[1234]. Koostuu kahdesta rivistä ja kahdesta sarakkeesta. Elementti 4 on rivillä 2 ja sarakkeessa 2. Matriisin voi yleensä nimetä sen mittojen mukaan, Cmk -nimisessä matriisissa on m riviä ja k saraketta.
Laajennetut matriisit
Havainnot ovat uskomattoman hyödyllisiä asioita, joita tulee esille monilla eri sovellusalueilla. Matriisit perustuivat alun perin lineaarisiin yhtälöjärjestelmiin. Kun otetaan huomioon seuraava epäyhtälöiden rakenne, seuraava täydennetty matriisi on otettava huomioon:
2x + 3v – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Kirjoita kertoimet ja vastausarvot, mukaan lukien kaikki miinusmerkit. Jos elementillä on negatiivinen luku, se on yhtä suuri kuin "1". Eli (lineaarinen) yhtälöjärjestelmä on mahdollista liittää siihen matriisi (suluissa olevien lukujen ruudukko). Se on se, joka sisältää vain lineaarisen järjestelmän kertoimet. Tätä kutsutaan "laajennettu matriisi". Kunkin yhtälön vasemman puolen kertoimet sisältävä ruudukko on "täytetty" kunkin yhtälön oikealla puolella olevilla vastauksilla.
Records, elimatriisin B-arvot vastaavat alkuperäisen järjestelmän x-, y- ja z-arvoja. Jos se on oikein järjestetty, tarkista se ensin. Joskus sinun on järjestettävä termit uudelleen tai lisättävä nollia paikkamerkeiksi tutkittavaan tai tutkittavaan matriisiin.
Kun otetaan huomioon seuraava yhtälöjärjestelmä, voimme välittömästi kirjoittaa siihen liittyvän lisätyn matriisin:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Muista ensin järjestää järjestelmä uudelleen seuraavasti:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Sitten on mahdollista kirjoittaa liittyvä matriisi muodossa: [11000113-1012]. Laajennettua ykköstä muodostettaessa kannattaa käyttää nollaa jokaiselle tietueelle, jossa vastaava piste lineaariyhtälöjärjestelmässä on tyhjä.
Matriisialgebra: Operaatioiden ominaisuudet
Jos elementtejä on tarpeen muodostaa vain kerroinarvoista, tarkasteltu arvo näyttää tältä: [110011-101]. Tätä kutsutaan "kerroinmatriisiksi".
Seuraava laajennettu matriisialgebra huomioon ottaen on tarpeen parantaa sitä ja lisätä siihen liittyvä lineaarinen järjestelmä. Tästä huolimatta on tärkeää muistaa, että ne edellyttävät muuttujien olevan hyvin järjestettyjä ja siistejä. Ja yleensä kun muuttujia on kolme, käytä x, y ja z tässä järjestyksessä. Siksi siihen liittyvän lineaarisen järjestelmän tulisi olla:
x + 3v=4
2v - z=5
3x + z=-2.
Matriisin koko
Kyseisiin tuotteisiin viitataan usein niiden suorituskyvyn perusteella. Matriisin koko algebrassa on annettu muodossamitat, koska huonetta voidaan kutsua eri tavalla. Mitatut arvot ovat rivejä ja sarakkeita, eivät leveyttä ja pituutta. Esimerkiksi matriisi A:
[1234]
[2345]
[3456].
Koska A:ssa on kolme riviä ja neljä saraketta, A:n koko on 3 × 4.
→
↓
Linjat menevät sivuttain. Sarakkeet menevät ylös ja alas. "Rivi" ja "sarake" ovat määrityksiä, eivätkä ne ole vaihdettavissa keskenään. Matriisikoot määritetään aina rivien lukumäärällä ja sitten sarakkeiden lukumäärällä. Tämän sopimuksen mukaisesti seuraavat B:
[123]
[234] on 2 × 3. Jos matriisissa on sama määrä rivejä kuin sarakkeissa, sitä kutsutaan "nelioksi". Esimerkiksi kerroinarvot ylhäältä:
[110]
[011]
[-101] on 3×3 neliömatriisi.
Matriisimerkintä ja muotoilu
Muotoiluhuomautus: Esimerkiksi kun sinun on kirjoitettava matriisi, on tärkeää käyttää hakasulkuja . Absoluuttisten arvojen palkkeja || ei käytetä, koska niillä on eri suunta tässä yhteydessä. Sulkuja tai kiharoita {} ei koskaan käytetä. Tai jokin muu ryhmittelysymboli tai ei ollenkaan, koska näillä esityksillä ei ole mitään merkitystä. Algebrassa matriisi on aina hakasulkeissa. Vain oikeita merkintöjä tulee käyttää tai vastauksia voidaan pitää sekaisina.
Kuten aiemmin mainittiin, matriisin sisältämiä arvoja kutsutaan tietueiksi. Jostain syystä kyseessä olevat elementit kirjoitetaan yleensäisot kirjaimet, kuten A tai B, ja merkinnät määritetään vastaavilla pienillä kirjaimilla, mutta alaindeksillä. Matriisissa A arvoja kutsutaan yleensä nimellä "ai, j", jossa i on A:n rivi ja j on A:n sarake. Esimerkiksi a3, 2=8. Arvot a1, 3 on 3.
Pienemmissä matriiseissa, joissa on alle kymmenen riviä ja saraketta, alaindeksin pilkku jätetään joskus pois. Esimerkiksi "a1, 3=3" voidaan kirjoittaa muodossa "a13=3". Tämä ei tietenkään toimi suurille matriiseille, koska a213 on epäselvä.
Matriisityypit
Joskus luokitellaan tietuekokoonpanojensa mukaan. Esimerkiksi sellaista matriisia, jossa on kaikki nollakohdat diagonaalin ylä-vasen-ala-oikea "diagonaalin" alapuolella, kutsutaan ylemmäksi kolmioksi. Saattaa olla muun muassa muunlaisia ja tyyppejä, mutta ne eivät ole kovin hyödyllisiä. Yleensä enimmäkseen koetaan ylemmän kolmion muotoiseksi. Arvoja, joissa on nollasta poikkeava eksponentti vain vaakasuunnassa, kutsutaan diagonaaliarvoiksi. Samanlaisissa tyypeissä on nollasta poikkeavat merkinnät, joissa kaikki ovat 1, tällaisia vastauksia kutsutaan identtisiksi (syistä, jotka selviävät, kun kyseisten arvojen kertominen on opittu ja ymmärretty). Vastaavia tutkimusindikaattoreita on monia. 3 × 3 -identiteetti on merkitty I3:lla. Vastaavasti 4 × 4 -identiteetti on I4.
Matriisialgebra ja lineaariavaruudet
Huomaa, että kolmiomatriisit ovat neliömäisiä. Mutta diagonaalit ovat kolmion muotoisia. Tämän valossa he ovatneliö. Ja identiteettiä pidetään diagonaaleina ja siksi kolmion ja neliön muotoisina. Kun matriisi on kuvattava, yleensä yksinkertaisesti määritellään oma tarkin luokittelu, koska tämä tarkoittaa kaikkia muita. Luokittele seuraavat tutkimusvaihtoehdot:3 × 4:ksi. Tässä tapauksessa ne eivät ole neliön muotoisia. Siksi arvot eivät voi olla mitään muuta. Seuraava luokittelu:on mahdollinen muodossa 3 × 3. Mutta sitä pidetään neliönä, eikä siinä ole mitään erikoista. Seuraavien tietojen luokitus:3 × 3 yläkolmioksi, mutta se ei ole diagonaalinen. Totta, tarkasteltavina olevissa arvoissa voi olla ylimääräisiä nollia sijoitetussa ja osoitetussa tilassa tai sen yläpuolella. Tutkittava luokittelu on edelleen: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], jossa se esitetään diagonaalina ja lisäksi kaikki merkinnät ovat 1. Tällöin tämä on 3 × 3 identiteetti, I3.
Koska analogiset matriisit ovat määritelmän mukaan neliöitä, sinun tarvitsee käyttää vain yhtä indeksiä löytääksesi niiden mitat. Jotta kaksi matriisia olisivat yhtä suuret, niillä on oltava sama parametri ja samat merkinnät samoissa paikoissa. Oletetaan esimerkiksi, että tarkasteltuna on kaksi elementtiä: A=[1 3 0] [-2 0 0] ja B=[1 3] [-2 0]. Nämä arvot eivät voi olla samoja, koska ne ovat erikokoisia.
Vaikka A ja B ovat: A=[3 6] [2 5] [1 4] ja B=[1 2 3] [4 5 6] - ne eivät silti ole samoja sama asia. A:lla ja B:llä on kummallakinkuusi merkintää ja niillä on myös samat numerot, mutta tämä ei riitä matriiseille. A on 3 × 2. Ja B on 2 × 3 matriisi. A 3 × 2:lle ei ole 2 × 3. Ei ole väliä, onko A:lla ja B:llä sama määrä tietoa tai jopa samat numerot kuin tietueilla. Jos A ja B eivät ole samankokoisia ja -muotoisia, mutta niillä on samat arvot samanlaisissa paikoissa, ne eivät ole samat.
Samank altaisia toimintoja tarkasteltavalla alueella
Tämä matriisin tasa-arvon ominaisuus voidaan muuttaa itsenäisen tutkimuksen tehtäviksi. Esimerkiksi kaksi matriisia on annettu, ja on osoitettu, että ne ovat yhtä suuret. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä tätä yhtälöä muuttujien arvojen tutkimiseen ja vastausten saamiseksi.
Algebran matriisien esimerkkejä ja ratkaisuja voidaan vaihdella, varsinkin kun on kyse yhtäläisyydestä. Ottaen huomioon, että seuraavat matriisit otetaan huomioon, on välttämätöntä löytää x- ja y-arvot. Jotta A ja B ovat yhtä suuret, niiden on oltava samankokoisia ja -muotoisia. Itse asiassa ne ovat sellaisia, koska jokainen niistä on 2 × 2 matriisi. Ja niillä pitäisi olla samat arvot samoissa paikoissa. Silloin a1, 1 on yhtä suuri kuin b1, 1, a1, 2 on yhtä suuri kuin b1, 2 ja niin edelleen. ne). Mutta a1, 1=1 ei tietenkään ole yhtä suuri kuin b1, 1=x. Jotta A olisi identtinen B:n kanssa, merkinnän on oltava a1, 1=b1, 1, joten se voi olla 1=x. Vastaavasti indeksit a2, 2=b2, 2, joten 4=y. Tällöin ratkaisu on: x=1, y=4. Kun otetaan huomioon, että seuraavamatriisit ovat yhtä suuret, sinun on löydettävä x:n, y:n ja z:n arvot. Jotta kertoimilla olisi A=B, kaikkien merkintöjen on oltava yhtä suuret. Eli a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 ja niin edelleen. Erityisesti on:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kuten näet valituista matriiseista: 1, 1-, 2, 2- ja 3, 1-alkiolla. Ratkaisemalla nämä kolme yhtälöä saamme vastauksen: x=4, y=-6 ja z=9. Matriisialgebra ja matriisioperaatiot ovat erilaisia kuin mihin kaikki ovat tottuneet, mutta ne eivät ole toistettavissa.
Lisätietoja tällä alueella
Lineaarinen matriisialgebra tutkii samanlaisia yhtälösarjoja ja niiden muunnosominaisuuksia. Tämän tietokentän avulla voit analysoida avaruudessa tapahtuvia kiertoja, arvioida pienimmän neliösumman, ratkaista niihin liittyviä differentiaaliyhtälöitä, määrittää ympyrän, joka kulkee kolmen annetun pisteen kautta, ja ratkaista monia muita matematiikan, fysiikan ja tekniikan ongelmia. Matriisin lineaarinen algebra ei oikeastaan ole käytetyn sanan tekninen merkitys, eli vektoriavaruus v kentän f päällä jne.
Matriisi ja determinantti ovat erittäin hyödyllisiä lineaarialgebran työkaluja. Yksi keskeisistä tehtävistä on matriisiyhtälön Ax=b ratkaisu x:lle. Vaikka tämä voitaisiin teoriassa ratkaista käyttämällä käänteistä x=A-1 b. Muut menetelmät, kuten Gaussin eliminointi, ovat numeerisesti luotettavampia.
Sen lisäksi, että sitä käytetään kuvaamaan lineaaristen yhtälösarjojen tutkimusta,yllä olevaa termiä käytetään myös kuvaamaan tietyntyyppistä algebraa. Erityisesti L:llä kentän F yläpuolella on renkaan rakenne, jossa on kaikki tavanomaiset sisäisen yhteenlasku- ja kertolaskuaksioomat sekä distributiiviset lait. Siksi se antaa sille enemmän rakennetta kuin sormus. Lineaarinen matriisialgebra sallii myös ulomman kertolaskuoperaation skalaareilla, jotka ovat taustakentän F elementtejä. Esimerkiksi kaikkien vektoriavaruudesta V itseensä kentän F yli katsottujen muunnosten joukko muodostetaan F:n päälle. Toinen esimerkki lineaarista algebra on joukko reaalineliömatriiseja kentän R reaalilukujen yli.
