Logaritmit: esimerkkejä ja ratkaisuja

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Kuten tiedät, kun lausekkeita kerrotaan potenssilla, niiden eksponentit laskeutuvat aina yhteen (a^ba^c=a^{b+ c). Tämän matemaattisen lain johti Arkhimedes, ja myöhemmin, 800-luvulla, matemaatikko Virasen loi taulukon kokonaislukuindikaattoreista. Juuri he palvelivat logaritmien lisäselvitystä. Esimerkkejä tämän funktion käytöstä löytyy melkein kaikki alta, missä vaaditaan yksinkertaista monimutkainen kertolasku yksinkertaiseen yhteenlaskuun. Jos käytät 10 minuuttia tämän artikkelin lukemiseen, selitämme sinulle, mitä logaritmit ovat ja miten niitä käytetään. Yksinkertainen ja helppokäyttöinen kieli.}

Matematiikan määritelmä

Logaritmi on seuraavan muodon lauseke: log_ab=c c" johon sinun täytyy nostaa kantaa "a", jotta saadaan lopulta arvo " b". Analysoidaan logaritmia esimerkein, oletetaan, että on lauseke log_{28. Miten löytää vastaus? Se on hyvin yksinkertaista, sinun on löydettävä sellainen tutkinto, että 2:sta vaadittuun tutkintoon saat 8. Kun olet tehnyt joitain laskelmia mielessäsi, saamme luvun 3! Ja se on totta, koska2 korotettuna potenssiin 3 antaa vastauksen 8.}

Logaritmien lajikkeet

Monille oppilaille ja opiskelijoille tämä aihe näyttää monimutkaiselta ja käsittämättömältä, mutta itse asiassa logaritmit eivät ole niin pelottavia, tärkeintä on ymmärtää niiden yleinen merkitys ja muistaa niiden ominaisuudet ja jotkut säännöt. On olemassa kolmenlaisia logaritmisia lausekkeita:

1. Luonnollinen logaritmi ln a, jossa kanta on Eulerin luku (e=2, 7).
2. Desimaalilogaritmi lg a, jossa kanta on luku 10.
3. Mikä tahansa luvun b logaritmi kantaan a>1.

Jokainen niistä ratkaistaan tavallisella tavalla, mukaan lukien yksinkertaistaminen, pelkistys ja myöhempi pelkistys yhdeksi logaritmiksi logaritmisilla teoreemoilla. Oikeiden logaritmien arvojen saamiseksi tulee muistaa niiden ominaisuudet ja toimintojen järjestys niitä ratkaistaessa.

Säännöt ja joitain rajoituksia

Matematiikassa on useita sääntörajoituksia, jotka hyväksytään aksioomina, eli ne eivät ole neuvoteltavissa ja ovat totta. Esimerkiksi lukuja on mahdotonta jakaa nollalla, ja on myös mahdotonta ottaa parillinen juuria negatiivisista luvuista. Logaritmeilla on myös omat sääntönsä, joita noudattamalla voit helposti oppia työskentelemään pitkien ja tilavien logaritmien lausekkeiden kanssa:

• "a":n kannan on aina oltava suurempi kuin nolla, eikä samalla oltava yhtä suuri kuin 1, muuten lauseke menettää merkityksensä, koska "1" ja "0" missä tahansa määrin ovat aina yhtä suuri kuin niiden arvot;
• jos > 0, niin ab>0,osoittautuu, että "c":n on myös oltava suurempi kuin nolla.

Miten logaritmit ratkaistaan?

Esimerkiksi annettuna tehtäväksi löytää vastaus yhtälöön 10^x=100. Se on erittäin helppoa, sinun on valittava sellainen teho, nostamalla numeroa kymmenen, me saat 100. Tämä tietysti No, neliövoima! 10^2=100.

Esitetään nyt tämä lauseke logaritmisena. Saamme log_{10100=2. Logaritmeja ratkottaessa kaikki toiminnot käytännöllisesti katsoen konvergoivat sen potenssin löytämiseen, johon logaritmin kanta on syötettävä, jotta tietty luku saadaan.}

Tuntemattoman tutkinnon arvon tarkasti määrittämiseksi sinun on opittava työskentelemään astetaulukon kanssa. Se näyttää tältä:

Kuten näet, jotkin eksponentit voidaan arvata intuitiivisesti, jos sinulla on tekninen ajattelutapa ja tietoa kertotaulukosta. Suuremmat arvot vaativat kuitenkin tehotaulukon. Sitä voivat käyttää myös ne, jotka eivät ymmärrä yhtään mitään monimutkaisista matemaattisista aiheista. Vasemmassa sarakkeessa on numeroita (kanta a), ylimmällä numerorivillä on potenssin c arvo, johon luku a korotetaan. Leikkauskohdassa solut määrittävät vastausten lukujen arvot (ac=b). Otetaan esimerkiksi aivan ensimmäinen solu numerolla 10 ja neliötetään se, saamme arvon 100, joka on merkitty kahden solumme leikkauspisteeseen. Kaikki on niin yksinkertaista ja helppoa, että jopa todellisin humanisti ymmärtää!

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Kävi ilmi, että milloinTietyissä olosuhteissa eksponentti on logaritmi. Siksi mitkä tahansa matemaattiset numeeriset lausekkeet voidaan kirjoittaa logaritmisiksi yhtälöiksi. Esimerkiksi 3⁴=81 voidaan kirjoittaa 81:n logaritmina kantaan 3, joka on neljä (log₃81=4). Negatiivisille asteille säännöt ovat samat: 2^-5=1/32 kirjoitettuna logaritmina, saadaan log_{2 (1/32)=-5. Yksi kiehtovimmista matematiikan osista on "logaritmien" aihe. Käsittelemme yhtälöiden esimerkkejä ja ratkaisuja hieman alempana heti niiden ominaisuuksien tutkimisen jälkeen. Katsotaan nyt, miltä epäyhtälöt näyttävät ja miten ne erotetaan yhtälöistä.}

Annetaan seuraava lauseke: log_{2(x-1) > 3 - se on logaritminen epäyhtälö, koska tuntematon arvo "x" on merkin alla logaritmi. Lauseke vertaa myös kahta arvoa: halutun luvun kahden kantalogaritmi on suurempi kuin luku kolme.}

Tärkein ero logaritmien yhtälöiden ja epäyhtälöiden välillä on se, että yhtälöt logaritmilla (esimerkki - logaritmi₂x=√9) _{merkitsevät vastauksessa yksi tai useampi tietty numeerinen arvo, kun taas epäyhtälöä ratkaistaessa määritetään sekä hyväksyttävien arvojen alue että tämän funktion raja-arvot. Tämän seurauksena vastaus ei ole yksinkertainen joukko yksittäisiä lukuja, kuten yhtälön vastauksessa, vaan jatkuva sarja tai numerosarja.}

Logaritmien peruslauseet

Kun ratkaiset primitiivisiä tehtäviä löytääksesi logaritmin arvot, et ehkä tiedä sen ominaisuuksia. Mitä tulee logaritmiin yhtälöihin tai epäyhtälöihin, on kuitenkin ensinnäkin tarpeen ymmärtää ja soveltaa käytännössä kaikki logaritmien perusominaisuudet. Tutustumme yhtälöesimerkkeihin myöhemmin, analysoidaan ensin jokaista ominaisuutta tarkemmin.

1. Perusidentiteetti näyttää tältä: alogaB=B. Sitä sovelletaan vain, jos a on suurempi kuin 0, ei yhtä kuin yksi ja B on suurempi kuin nolla.
2. Tuotteen logaritmi voidaan esittää seuraavalla kaavalla: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Tässä tapauksessa pakollinen ehto on: d, s}1 _{ja s}2 _{> 0; a≠1. Voit todistaa tämän logaritmien kaavan esimerkeillä ja ratkaisulla. Olkoon log}a_s1 _=f1 _{ja log}a_s 2_=f2_{, sitten a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Saamme, että s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(tutkintoominaisuudet), ja edelleen määritelmän mukaan: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{joka oli todistettava.}
3. Osamäärän logaritmi näyttää tältä: log_a(s_1/s₂)=loki _as₁- log_as_2.
4. Kaavan muodossa oleva lause saa seuraavan muodon: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Tätä kaavaa kutsutaan "logaritmin asteen ominaisuudeksi". Se muistuttaa tavallisten asteiden ominaisuuksia, eikä se ole yllättävää, koska kaikki matematiikka perustuu säännöllisiin postulaatteihin. Katsotaanpa todistetta.

Log_ab=t, saamme a^t=b. Jos nostat molemmat puolet m potenssiin: a^tn=b^;

mutta koska a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, joten log}aq _bn=(nt)/t, sitten log^a_q b_n=n/q log^ab. Lause todistettu.

Esimerkkejä ongelmista ja epätasa-arvoista

Yleisimmät logaritmiongelmien tyypit ovat esimerkkejä yhtälöistä ja epäyhtälöistä. Ne löytyvät melkein kaikista ongelmakirjoista, ja ne sisältyvät myös matematiikan kokeiden pakolliseen osaan. Jotta voit päästä yliopistoon tai läpäistä matematiikan pääsykokeet, sinun on osattava ratkaista tällaiset tehtävät oikein.

Valitettavasti ei ole olemassa yhtä suunnitelmaa tai suunnitelmaa logaritmin tuntemattoman arvon ratkaisemiseksi ja määrittämiseksi, mutta jokaiseen matemaattiseen epäyhtälöön tai logaritmiseen yhtälöön voidaan soveltaa tiettyjä sääntöjä. Ensinnäkin sinun tulee selvittää, voidaanko lauseke yksinkertaistaa tai pelkistää yleiseen muotoon. Voit yksinkertaistaa pitkiä logaritmisia lausekkeita, jos käytät niiden ominaisuuksia oikein. Tutustutaan heihin pian.

Kun ratkaiset logaritmisia yhtälöitä,on tarpeen määrittää, millainen logaritmi meillä on edessämme: lausekkeen esimerkki voi sisältää luonnollisen logaritmin tai desimaalilogaritmin.

Tässä on esimerkkejä desimaalilogaritmeista: ln100, ln1026. Heidän ratkaisunsa tiivistyy siihen tosiasiaan, että sinun on määritettävä, missä määrin kanta 10 on yhtä suuri kuin 100 ja 1026. Luonnollisten logaritmien ratkaisuissa on käytettävä logaritmisia identiteettejä tai niiden ominaisuuksia. Katsotaanpa esimerkkejä erityyppisten logaritmien ongelmien ratkaisemisesta.

Logaritmikaavojen käyttäminen: esimerkkien ja ratkaisujen kanssa

Katsotaanpa esimerkkejä logaritmien päälauseiden käytöstä.

1. Tulosten logaritmin ominaisuutta voidaan käyttää tehtävissä, joissa on tarpeen jakaa suuri luvun b arvo yksinkertaisemmiksi tekijöiksi. Esimerkiksi log₂4 + log₂128=log₂(4128)=loki_{2512. Vastaus on 9.}
2. log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - kuten näet, logaritmin asteen neljättä ominaisuutta käyttämällä onnistuimme ratkaisemaan ensi silmäyksellä monimutkainen ja ratkaisematon ilmaus. Sinun tarvitsee vain kertoa kanta ja ottaa sitten teho pois logaritmin etumerkistä.}

Tehtävät kokeesta

Logaritmeja löytyy usein pääsykokeista, erityisesti paljon logaritmisongelmia Unified State Examinationissa (v altiokoe kaikille valmistuneille). Yleensä nämä tehtävät eivät ole vain osassa A (enitententin helppo testiosa), mutta myös C-osassa (vaikeimmat ja laajimmat tehtävät). Tentti edellyttää tarkan ja täydellisen tuntemuksen aiheesta "Luonnolliset logaritmit".

Esimerkit ja ongelmanratkaisut on otettu kokeen virallisista versioista. Katsotaan kuinka tällaiset tehtävät ratkaistaan.

Annettu loki₂(2x-1)=4. Ratkaisu:

kirjoita lauseke uudelleen yksinkertaistamalla sitä hieman log_2(2x-1)=22^{, logaritmin määritelmästä saadaan, että 2x-1=2}4^{, joten 2x=17; x=8, 5.}

Noudattamalla muutamia ohjeita, joita noudattamalla voit helposti ratkaista kaikki yhtälöt, jotka sisältävät lausekkeita, jotka ovat logaritmin merkin alla.

• Kaikki logaritmit on parasta vähentää samaan kantaan, jotta ratkaisu ei ole hankala ja hämmentävä.
• Kaikki logaritmimerkin alla olevat lausekkeet on merkitty positiivisiksi, joten kun kerrotaan logaritmimerkin alla olevan lausekkeen eksponentti ja sen kanta, logaritmin alle jäävän lausekkeen on oltava positiivinen.