Monille ihmisille matemaattinen analyysi on vain joukko käsittämättömiä lukuja, kuvakkeita ja määritelmiä, jotka ovat kaukana todellisesta elämästä. Maailma, jossa olemme, rakentuu kuitenkin numeerisille malleille, joiden tunnistaminen auttaa paitsi oppimaan ympäröivästä maailmasta ja ratkaisemaan sen monimutkaisia ongelmia, myös yksinkertaistamaan arjen käytännön tehtäviä. Mitä matemaatikko tarkoittaa sanoessaan, että lukujono konvergoi? Tästä pitäisi keskustella tarkemmin.
Mikä on äärettömän pieni?
Kuvitellaan matryoshka-nukkeja, jotka mahtuvat sisälle. Niiden koot, jotka on kirjoitettu numeroiden muodossa, alkaen suurimmasta ja päättyen pienimpään niistä, muodostavat sekvenssin. Jos kuvittelet äärettömän määrän tällaisia kirkkaita hahmoja, tuloksena oleva rivi on fantastisen pitkä. Tämä on konvergentti numerosarja. Ja se pyrkii nollaan, koska jokaisen seuraavan pesivän nuken koko, joka katastrofaalisesti pienenee, muuttuu vähitellen tyhjäksi. Joten se on helppoavoidaan selittää: mikä on äärettömän pientä.
Samanlainen esimerkki olisi tie, joka johtaa kaukaisuuteen. Ja sitä pitkin tarkkailijasta pois ajavan auton visuaaliset mitat, vähitellen kutistuen, muuttuvat muodottomaksi täpläksi, joka muistuttaa pistettä. Siten kone, kuten esine, joka liikkuu tuntemattomaan suuntaan, tulee äärettömän pieneksi. Määritellyn kappaleen parametrit eivät koskaan ole nolla sanan kirjaimellisessa merkityksessä, mutta ne pyrkivät aina tähän arvoon lopullisessa rajassa. Siksi tämä sekvenssi konvergoi jälleen nollaan.
Laske kaikki pisara kerrallaan
Kuvitellaan nyt maailmallista tilannetta. Lääkäri määräsi potilaan ottamaan lääkettä alkaen kymmenestä tippasta päivässä ja lisäämällä kaksi tippaa joka seuraava päivä. Ja niin lääkäri ehdotti jatkamista, kunnes lääkepullon sisältö, jonka tilavuus on 190 tippaa, loppuu. Edellä olevasta seuraa, että tällaisten päiväkohtaisesti ajoitettu määrä on seuraava numerosarja: 10, 12, 14 ja niin edelleen.
Kuinka saada selville koko kurssin suorittamiseen kuluva aika ja sarjan jäsenmäärä? Täällä voi tietysti laskea pisaroita alkeellisella tavalla. Mutta kuvion perusteella on paljon helpompaa käyttää kaavaa aritmeettisen progression summalle, jossa on askel d=2. Ja käyttämällä tätä menetelmää, selvitä, että numerosarjan jäsenten lukumäärä on 10. Tässä tapauksessa, a10=28. Peniksen numero ilmaisee lääkkeen ottamisen päivien lukumäärän ja 28 vastaa tippojen määrää, jotka potilaan tuleekäytä viimeisenä päivänä. Lähentyykö tämä sarja? Ei, koska huolimatta siitä, että se on rajoitettu 10:een alha alta ja 28:aan ylhäältä, sellaisella numerosarjalla ei ole rajaa, toisin kuin aikaisemmissa esimerkeissä.
Mitä eroa on?
Yritetään nyt selventää: milloin lukusarja osoittautuu suppenevaksi sekvenssiksi. Tällainen määritelmä, kuten edellä esitetystä voidaan päätellä, liittyy suoraan äärellisen rajan käsitteeseen, jonka olemassaolo paljastaa asian olemuksen. Joten mikä on perustavanlaatuinen ero aiemmin annettujen esimerkkien välillä? Ja miksi viimeisessä niistä lukua 28 ei voida pitää lukusarjan X =10 + 2(n-1) rajana?
Tämän kysymyksen selventämiseksi harkitse toista alla olevan kaavan antamaa sekvenssiä, jossa n kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon.
Tämä jäsenyhteisö on joukko yhteisiä murtolukuja, joiden osoittaja on 1 ja nimittäjä kasvaa jatkuvasti: 1, ½ …
Lisäksi jokainen tämän sarjan peräkkäinen edustaja lähestyy yhä enemmän 0:aa paikannuksessa numeroviivalla. Ja tämä tarkoittaa, että syntyy sellainen naapurusto, jossa pisteet ryhmittyvät nollan ympärille, mikä on raja. Ja mitä lähempänä he ovat sitä, sitä tiheämmäksi heidän keskittymisensä numeroviivaan tulee. Ja niiden välinen etäisyys pienenee katastrofaalisesti ja muuttuu äärettömän pieneksi. Tämä on merkki siitä, että sarja on lähentymässä.
SamanlainenSiten kuvassa näkyvät moniväriset suorakulmiot ovat avaruudessa poistuessaan visuaalisesti ruuhkaisempia, hypoteettisessa rajassa muuttuen mitättömäksi.
Äärittömän suuret sekvenssit
Kun on analysoitu konvergentin sekvenssin määritelmä, siirrytään vastaesimerkkeihin. Monet heistä ovat olleet ihmisten tuttuja muinaisista ajoista lähtien. Divergenttien sekvenssien yksinkertaisimmat muunnelmat ovat luonnollisten ja parillisten lukujen sarja. Niitä kutsutaan äärettömän suuriksi eri tavalla, koska niiden jatkuvasti lisääntyvät jäsenet lähestyvät yhä enemmän positiivista ääretöntä.
Esimerkki sellaisesta voi olla myös mikä tahansa aritmeettinen ja geometrinen progressio, jonka askel ja nimittäjä vastaavasti ovat suurempia kuin nolla. Lisäksi numeerisia sarjoja pidetään eriävinä sarjoina, joilla ei ole lainkaan rajaa. Esimerkiksi X =(-2) -1.
Fibonacci-sekvenssi
Aiemmin mainitun numerosarjan käytännön hyödyt ihmiskunnalle ovat kiistattomat. Mutta on olemassa lukemattomia muita hienoja esimerkkejä. Yksi niistä on Fibonacci-sekvenssi. Jokainen sen jäsen, joka alkaa yhdellä, on edellisten summa. Sen kaksi ensimmäistä edustajaa ovat 1 ja 1. Kolmas 1+1=2, neljäs 1+2=3, viides 2+3=5. Edelleen saman logiikan mukaan seuraavat numerot 8, 13, 21 ja niin edelleen.
Tämä numerosarja kasvaa loputtomasti, eikä siinä ole yhtäänlopullinen raja. Mutta sillä on toinenkin upea ominaisuus. Kunkin edellisen luvun suhde seuraavaan on lähempänä arvoaan 0,618. Tässä voit ymmärtää eron konvergentin ja divergentin sekvenssin välillä, koska jos teet sarjan vastaanotettuja osittaisia jakoja, ilmoitettu numeerinen järjestelmä rajallinen raja on 0,618.
Fibonacci-lukujen järjestys
Yllä mainittua numerosarjaa käytetään laaj alti käytännön tarkoituksiin markkinoiden teknisessä analysoinnissa. Mutta tämä ei rajoitu sen kykyihin, jotka egyptiläiset ja kreikkalaiset tiesivät ja pystyivät toteuttamaan muinaisina aikoina. Tämän todistavat heidän rakentamansa pyramidit ja Parthenon. Loppujen lopuksi luku 0,618 on vanha kultaleikkauksen vakiokerroin, joka tunnettiin hyvin vanhaan aikaan. Tämän säännön mukaan mikä tahansa mieliv altainen segmentti voidaan jakaa siten, että sen osien välinen suhde on sama kuin segmenteistä suurimman ja kokonaispituuden välinen suhde.
Määritetään sarja osoitetuista suhteista ja yritetään analysoida tätä sekvenssiä. Numerosarjat ovat seuraavat: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 ja niin edelleen. Näin jatkamalla voidaan varmistaa, että suppenevan sekvenssin raja on todellakin 0,618. On kuitenkin syytä huomata tämän säännöllisyyden muita ominaisuuksia. Tässä numerot näyttävät menevän satunnaisesti, eivätkä ollenkaan nousevassa tai laskevassa järjestyksessä. Tämä tarkoittaa, että tämä konvergenttisekvenssi ei ole monotoninen. Miksi näin on, keskustellaan myöhemmin.
Monotonisuus ja rajoitukset
Numerosarjan jäsenet voivat selvästi pienentyä lukumäärän kasvaessa (jos x1>x2>x3>…>x >…) tai kasvaa (jos x1<x2163223<…<x <…). Tässä tapauksessa sekvenssin sanotaan olevan tiukasti monotoninen. Voidaan myös havaita muita kuvioita, joissa numeeriset sarjat ovat ei-laskevia ja ei-nousevia (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… tai x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), niin peräkkäinen konvergentti on myös monotoninen, vain ei suppeassa merkityksessä. Hyvä esimerkki ensimmäisestä näistä vaihtoehdoista on seuraavan kaavan antama numerosarja.
Kun olet maalannut tämän sarjan numerot, voit nähdä, että yksikään sen jäsenistä, joka lähestyy loputtomasti yhtä, ei koskaan ylitä tätä arvoa. Tässä tapauksessa konvergentin sekvenssin sanotaan olevan rajoitettu. Tämä tapahtuu aina, kun on olemassa sellainen positiivinen luku M, joka on aina suurempi kuin mikä tahansa sarjan modulo-termi. Jos lukusarjalla on monotonisuuden merkkejä ja sillä on raja, ja siksi se suppenee, sillä on välttämättä tällainen ominaisuus. Ja päinvastoin ei tarvitse olla totta. Tämän todistaa konvergentin sekvenssin rajauslause.
Tällaisten havaintojen soveltaminen käytännössä on erittäin hyödyllistä. Annetaan konkreettinen esimerkki tarkastelemalla sekvenssin X =ominaisuuksian/n+1, ja todista sen konvergenssi. On helppo osoittaa, että se on yksitoikkoinen, koska (x +1 – x) on positiivinen luku mille tahansa n arvolle. Jakson raja on yhtä suuri kuin luku 1, mikä tarkoittaa, että kaikki yllä olevan lauseen, jota kutsutaan myös Weierstrassin lauseeksi, ehdot täyttyvät. Lause konvergentin sekvenssin rajallisuudesta sanoo, että jos sillä on raja, niin se joka tapauksessa osoittautuu rajoitetuksi. Otetaan kuitenkin seuraava esimerkki. Lukusarjaa X =(-1) rajoittaa alha alta -1 ja ylhäältä 1:llä. Mutta tämä sarja ei ole monotoninen, sillä ei ole rajaa, joten se ei konvergoi. Toisin sanoen rajan olemassaolo ja lähentyminen eivät aina seuraa rajoituksesta. Jotta tämä toimisi, ala- ja ylärajan on vastattava, kuten Fibonacci-suhteiden tapauksessa.
Universumin numerot ja lait
Konvergentin ja divergentin sekvenssin yksinkertaisimmat muunnelmat ovat ehkä numeeriset sarjat X =n ja X =1/n. Ensimmäinen niistä on luonnollinen numerosarja. Se on, kuten jo mainittiin, äärettömän suuri. Toinen suppeneva sekvenssi on rajallinen, ja sen termit ovat suuruudeltaan lähes äärettömän pieniä. Kukin näistä kaavoista persoonallistaa yhden monitahoisen universumin puolelta, auttaen ihmistä kuvittelemaan ja laskemaan jotain tuntematonta, jota ei ole rajoitettu havainnoinnissa numeroiden ja merkkien kielellä.
Universumin lait, jotka vaihtelevat merkityksettömästä uskomattoman suuriin, ilmaisevat myös kultaisen suhteen 0,618.he uskovat, että se on asioiden olemuksen perusta ja luonto käyttää sitä osien muodostamiseen. Fibonacci-sarjan seuraavan ja edellisen jäsenen väliset suhteet, jotka olemme jo maininneet, eivät ole täydellinen tämän ainutlaatuisen sarjan hämmästyttävien ominaisuuksien osoittaminen. Jos tarkastellaan osamäärää, jossa edellinen termi jaetaan seuraavalla yhdellä, saadaan sarja 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 ja niin edelleen. On mielenkiintoista, että tämä rajoitettu sekvenssi konvergoi, se ei ole yksitoikkoista, vaan tietystä jäsenestä äärimmäisten naapurilukujen suhde on aina suunnilleen 0,382, jota voidaan käyttää myös arkkitehtuurissa, teknisessä analyysissä ja muilla toimialoilla.
Fibonacci-sarjassa on muitakin mielenkiintoisia kertoimia, niillä kaikilla on erityinen rooli luonnossa, ja niitä käyttää myös ihminen käytännön tarkoituksiin. Matemaatikko on varma, että maailmankaikkeus kehittyy tietyn "kultaisen spiraalin" mukaisesti, joka muodostuu ilmoitetuista kertoimista. Niiden avulla on mahdollista laskea monia maan päällä ja avaruudessa tapahtuvia ilmiöitä tiettyjen bakteerien määrän kasvusta kaukaisten komeettojen liikkumiseen. Kuten käy ilmi, DNA-koodi noudattaa samanlaisia lakeja.
Pienevä geometrinen progressio
On olemassa lause, joka väittää konvergentin sekvenssin rajan ainutlaatuisuuden. Tämä tarkoittaa, että sillä ei voi olla kahta tai useampaa rajaa, mikä on epäilemättä tärkeää sen matemaattisten ominaisuuksien löytämiseksi.
Katsotaanpa joitaintapauksia. Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsenistä koostuva numeerinen sarja on divergentti, lukuun ottamatta tapausta, jossa on nolla-askel. Sama koskee geometristä progressiota, jonka nimittäjä on suurempi kuin 1. Tällaisten numeeristen sarjojen rajat ovat äärettömän "plus" tai "miinus". Jos nimittäjä on pienempi kuin -1, rajaa ei ole ollenkaan. Muut vaihtoehdot ovat mahdollisia.
Harkitse kaavalla X =(1/4) -1. Ensi silmäyksellä on helppo nähdä, että tämä suppeneva sekvenssi on rajoittunut, koska se on tiukasti laskeva eikä millään tavalla pysty ottamaan negatiivisia arvoja.
Kirjoitetaan joukko sen jäseniä peräkkäin.
Kävi ilmi: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 ja niin edelleen. Melko yksinkertaiset laskelmat riittävät ymmärtämään kuinka nopeasti tämä geometrinen eteneminen pienenee nimittäjistä 0<q<1. Vaikka termien nimittäjä kasvaa loputtomasti, niistä itsestään tulee äärettömän pieniä. Tämä tarkoittaa, että lukusarjan raja on 0. Tämä esimerkki osoittaa jälleen kerran konvergentin sekvenssin rajoitetun luonteen.
Perussekvenssit
Augustin Louis Cauchy, ranskalainen tiedemies, paljasti maailmalle monia matemaattiseen analyysiin liittyviä teoksia. Hän antoi määritelmät sellaisille käsitteille kuin differentiaali, integraali, raja ja jatkuvuus. Hän tutki myös konvergenttien sekvenssien perusominaisuuksia. Ymmärtääkseen hänen ideoidensa olemuksen,joistakin tärkeistä yksityiskohdista on tehtävä yhteenveto.
Jo artikkelin alussa osoitettiin, että on sellaisia sekvenssejä, joille on olemassa naapurusto, jossa tietyn sarjan jäseniä edustavat pisteet todellisella viivalla alkavat ryhmitellä ja asettua riviin yhä enemmän tiheään. Samalla niiden välinen etäisyys pienenee, kun seuraavan edustajan lukumäärä kasvaa, muuttuen äärettömän pieneksi. Siten käy ilmi, että tietyllä alueella on ääretön määrä tietyn sarjan edustajia ryhmitelty, kun taas sen ulkopuolella niitä on äärellinen määrä. Tällaisia sekvenssejä kutsutaan perussekvensseiksi.
Kuuluisa Cauchyn kriteeri, jonka on luonut ranskalainen matemaatikko, osoittaa selvästi, että tällaisen ominaisuuden olemassaolo riittää todistamaan sekvenssin konvergoitumisen. Myös päinvastoin.
On huomattava, että tämä ranskalaisen matemaatikon päätelmä on enimmäkseen puhtaasti teoreettinen. Sen soveltamista käytännössä pidetään melko monimutkaisena asiana, joten sarjojen konvergenssin selvittämiseksi on paljon tärkeämpää todistaa sekvenssin äärellisen rajan olemassaolo. Muuten sitä pidetään poikkeavana.
Ongelmia ratkaistaessa tulee ottaa huomioon myös konvergenttien sekvenssien perusominaisuudet. Ne näkyvät alla.
Rajattomat summat
Sellaiset kuuluisat antiikin tiedemiehet kuin Arkhimedes, Eukleides ja Eudoxus käyttivät äärettömien lukusarjojen summia laskeakseen käyrien pituuksia ja kappaleiden tilavuuksiaja lukualueet. Erityisesti tällä tavalla oli mahdollista selvittää parabolisen segmentin alue. Tätä varten käytettiin geometrisen progression numeerisen sarjan summaa, jossa q=1/4. Muiden mieliv altaisten lukujen tilavuudet ja pinta-alat löydettiin samalla tavalla. Tätä vaihtoehtoa kutsuttiin "uupumusmenetelmäksi". Ajatuksena oli, että tutkittava monimutkainen kappale hajotettiin osiin, jotka olivat helposti mitattavissa olevia parametreja. Tästä syystä niiden pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen ei ollut vaikeaa, ja sitten ne laskettiin yhteen.
Muuten, samanlaiset tehtävät ovat hyvin tuttuja nykyaikaisille koululaisille ja niitä löytyy USE-tehtävistä. Ainutlaatuinen menetelmä, jonka kaukaiset esi-isät löysivät, on ylivoimaisesti yksinkertaisin ratkaisu. Vaikka luku on jaettu vain kahteen tai kolmeen osaan, niiden pinta-alojen yhteenlaskettu summa on silti numerosarjan summa.
Paljon myöhemmin kuin muinaiset kreikkalaiset tiedemiehet Leibniz ja Newton, viisaiden edeltäjiensä kokemuksen perusteella, oppivat integraalilaskennan mallit. Sekvenssien ominaisuuksien tuntemus auttoi heitä ratkaisemaan differentiaali- ja algebrallisia yhtälöitä. Tällä hetkellä useiden lahjakkaiden tiedemiesten sukupolvien ponnisteluilla luotu sarjateoria antaa mahdollisuuden ratkaista v altava määrä matemaattisia ja käytännön ongelmia. Ja numeeristen sekvenssien tutkiminen on ollut pääongelma, jonka matemaattinen analyysi on ratkaissut sen alusta lähtien.
