Prisma on monitahoinen tai monitahoinen, jota opiskellaan kiinteän geometrian koulukurssilla. Yksi tämän polyhedronin tärkeistä ominaisuuksista on sen tilavuus. Tarkastellaan artikkelissa, kuinka tämä arvo voidaan laskea, ja anna myös kaavat prismien tilavuudelle - säännöllinen nelikulmainen ja kuusikulmainen.
Prisma stereometriassa
Tämä kuvio ymmärretään monitahoiseksi, joka koostuu kahdesta identtisestä monikulmiosta, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, ja useista suunnikasista. Tietyille prismatyypeille suunnikkaat voivat edustaa suorakaiteen muotoisia nelikulmioita tai neliöitä. Alla on esimerkki niin kutsutusta viisikulmaisesta prismasta.
Yllä olevan kuvan mukaisen hahmon rakentamiseksi sinun on otettava viisikulmio ja suoritettava sen rinnakkaissiirto tietylle etäisyydelle avaruudessa. Yhdistämällä kahden viisikulmion sivut suunnikasilla saadaan haluttu prisma.
Jokainen prisma koostuu pinnoista, pisteistä ja reunoista. Prisman kärjetToisin kuin pyramidi, ovat yhtä suuret, jokainen niistä viittaa toiseen kahdesta emäksestä. Pintoja ja reunoja on kahta tyyppiä: ne, jotka kuuluvat pohjaan, ja ne, jotka kuuluvat sivuille.
Prismoja on useita tyyppejä (oikea, vino, kupera, suora, kovera). Tarkastellaan myöhemmin artikkelissa, millä kaavalla prisman tilavuus lasketaan, kun otetaan huomioon kuvion muoto.
Yleinen lauseke prisman tilavuuden määrittämiseksi
Riippumatta siitä, mihin tyyppiin tutkittava figuuri kuuluu, onko se suora tai vino, säännöllinen vai epäsäännöllinen, on olemassa yleinen lauseke, jonka avulla voit määrittää sen tilavuuden. Tilahahmon tilavuus on tilan pinta-ala, joka on suljettu sen kasvojen väliin. Prisman tilavuuden yleinen kaava on:
V=So × h.
Tässä So edustaa kannan pinta-alaa. On muistettava, että puhumme yhdestä perustasta, emme kahdesta. H-arvo on korkeus. Tutkittavan hahmon korkeudella tarkoitetaan etäisyyttä sen identtisten kantojen välillä. Jos tämä etäisyys on sama kuin sivuripojen pituudet, puhutaan suorasta prismasta. Suorassa kuviossa kaikki sivut ovat suorakulmioita.
Jos prisma on vino ja siinä on epäsäännöllinen kantamonikulmio, sen tilavuuden laskeminen tulee monimutkaisemmaksi. Jos luku on suora, tilavuuden laskenta vähennetään vain kantaosan So.
määrittämiseen.
Säännöllisen hahmon tilavuuden määrittäminen
Säännöllinen on mikä tahansa prisma, joka on suora ja jonka pohja on monikulmio, jonka sivut ja kulmat ovat keskenään yhtä suuret. Esimerkiksi sellaiset säännölliset monikulmiot ovat neliö ja tasasivuinen kolmio. Samanaikaisesti rombi ei ole säännöllinen kuvio, koska kaikki sen kulmat eivät ole yhtä suuret.
Säännöllisen prisman tilavuuden kaava seuraa yksiselitteisesti V:n yleislausekkeesta, joka kirjoitettiin artikkelin edellisessä kappaleessa. Ennen kuin jatkat vastaavan kaavan kirjoittamista, on tarpeen määrittää oikean pohjan pinta-ala. Menemättä matemaattisiin yksityiskohtiin, esitämme kaavan ilmoitetun alueen määrittämiseksi. Se on universaali kaikille säännöllisille n-kulmioille ja sillä on seuraava muoto:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Kuten lausekkeesta näkyy, alue Sn on kahden parametrin funktio. Kokonaisluku n voi saada arvot 3:sta äärettömään. Arvo a on n-kulman sivun pituus.
Kuvan tilavuuden laskemiseksi tarvitsee vain kertoa pinta-ala S korkeudella h tai sivureunan pituudella b (h=b). Tuloksena saamme seuraavan työkaavan:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Huomaa, että mieliv altaisen tyyppisen prisman tilavuuden määrittämiseksi sinun on tiedettävä useita suureita (kannan sivujen pituudet, korkeus, kuvan dihedraaliset kulmat), mutta laskeaksesi arvon V säännöllinen prisma, meidän on tiedettävä vain kaksi lineaarista parametria, esimerkiksi a ja h.
Nelikulmaisen säännöllisen prisman tilavuus
Nelikulmaista prismaa kutsutaan suuntaissärmiöksi. Jos kaikki sen pinnat ovat yhtä suuret ja ovat neliöitä, tällainen kuva on kuutio. Jokainen oppilas tietää, että suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön tai kuution tilavuus määritetään kertomalla sen kolme eri sivua (pituus, korkeus ja leveys). Tämä tosiasia seuraa säännöllisen luvun kirjoitetusta yleisestä tilavuuslausekkeesta:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Tässä 45°:n kotangentti on yhtä suuri kuin 1. Huomaa, että korkeuden h ja kannan a sivun pituuden yhtäläisyys johtaa automaattisesti kuution tilavuuden kaavaan.
Kuusikulmaisen säännöllisen prisman tilavuus
Käytä nyt yllä olevaa teoriaa kuusikulmaisen pohjan hahmon tilavuuden määrittämiseen. Tätä varten sinun tarvitsee vain korvata arvo n=6 kaavassa:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Kirjallinen lauseke voidaan saada itsenäisesti ilman yleiskaavaa S. Tätä varten sinun on jaettava säännöllinen kuusikulmio kuuteen tasasivuiseen kolmioon. Jokaisen sivu on yhtä suuri kuin a. Yhden kolmion pinta-ala vastaa:
S3=√3/4 × a2.
Kertomalla tämä arvo kolmioiden lukumäärällä (6) ja korkeudella, saadaan yllä oleva tilavuuskaava.
