On epätodennäköistä, että monet ihmiset ajattelevat, voidaanko enemmän tai vähemmän satunnaisia tapahtumia laskea. Yksinkertaisesti sanottuna, onko realistista tietää, kumpi nopan nopan puoli putoaa seuraavaksi. Tämän kysymyksen esittivät kaksi suurta tiedemiestä, jotka loivat perustan sellaiselle tieteelle kuin todennäköisyysteoria, jossa tapahtuman todennäköisyyttä tutkitaan melko laajasti.
Alkuperä
Jos yrität määritellä sellaisen käsitteen todennäköisyysteoriaksi, saat seuraavan: tämä on yksi matematiikan haara, joka tutkii satunnaisten tapahtumien pysyvyyttä. Tämä käsite ei tietenkään paljasta koko olemusta, joten sitä on harkittava tarkemmin.
Haluaisin aloittaa teorian tekijöistä. Kuten edellä mainittiin, heitä oli kaksi, nämä ovat Pierre Fermat ja Blaise Pascal. He olivat ensimmäisten joukossa, jotka yrittivät laskea tapahtuman lopputuloksen kaavoilla ja matemaattisilla laskelmilla. Kaiken kaikkiaan tämän tieteen alkeet ilmestyivät joKeskiaika. Tuolloin useat ajattelijat ja tiedemiehet yrittivät analysoida uhkapelejä, kuten rulettia, crapsia ja niin edelleen, ja näin määritelleet tietyn numeron putoamisen kuvion ja prosenttiosuuden. Edellä mainitut tiedemiehet loivat perustan 1600-luvulla.
Aluksi heidän työnsä ei voinut johtua alan suurista saavutuksista, koska kaikki, mitä he tekivät, oli vain empiirisiä tosiasioita, ja kokeet asetettiin visuaalisesti, ilman kaavoja. Ajan myötä se saavutti mahtavia tuloksia, jotka ilmenivät nopanheiton tarkkailun seurauksena. Tämä työkalu auttoi johtamaan ensimmäiset ymmärrettävät kaavat.
Associates
On mahdotonta olla mainitsematta sellaista henkilöä kuin Christian Huygens, joka tutkii aihetta nimeltä "todennäköisyysteoria" (tapahtuman todennäköisyys on tarkasteltu tässä tieteessä). Tämä henkilö on erittäin mielenkiintoinen. Hän, kuten edellä esitetyt tutkijat, yritti johtaa satunnaisten tapahtumien säännöllisyyttä matemaattisten kaavojen muodossa. On huomionarvoista, että hän ei tehnyt tätä yhdessä Pascalin ja Fermatin kanssa, toisin sanoen kaikki hänen teoksensa eivät millään tavalla risteytyneet näiden mielien kanssa. Huygens johti todennäköisyysteorian peruskäsitteet.
Mielenkiintoinen tosiasia on, että hänen työnsä ilmestyi kauan ennen pioneerien työn tuloksia, tai pikemminkin kaksikymmentä vuotta aikaisemmin. Nimetyistä käsitteistä tunnetuimmat ovat:
- todennäköisyyden käsite sattuman suuruudena;
- odotus diskreetistätapaukset;
- todennäköisyyksien kerto- ja yhteenlaskulauseet.
On myös mahdotonta olla muistamatta Jacob Bernoullia, joka myös osallistui merkittävästi ongelman tutkimukseen. Suorittamalla omat testinsä, kenestäkään riippumattomat, hän onnistui esittämään todisteen suurten lukujen laista. 1800-luvun alussa työskennelleet tiedemiehet Poisson ja Laplace pystyivät puolestaan todistamaan alkuperäiset lauseet. Tästä hetkestä lähtien todennäköisyysteoriaa alettiin käyttää havaintojen aikana tapahtuvien virheiden analysointiin. Venäläiset tiedemiehet, tai pikemminkin Markov, Chebyshev ja Dyapunov, eivät myöskään voineet ohittaa tätä tiedettä. Suurten nerojen tekemän työn perusteella he kiinnittivät tämän aiheen matematiikan haaraksi. Nämä luvut toimivat jo 1800-luvun lopulla, ja heidän panoksensa ansiosta ilmiöt, kuten:
- suurten lukujen laki;
- Markov-ketjuteoria;
- keskusrajalause.
Joten tieteen syntyhistorian ja siihen vaikuttaneiden päähenkilöiden kanssa kaikki on enemmän tai vähemmän selvää. Nyt on aika konkretisoida kaikki tosiasiat.
Peruskäsitteet
Ennen kuin kosket lakeihin ja lauseisiin, kannattaa tutustua todennäköisyysteorian peruskäsitteisiin. Tapahtuma ottaa siinä johtavan roolin. Tämä aihe on melko laaja, mutta ilman sitä ei ole mahdollista ymmärtää kaikkea muuta.
Tapahtuma on todennäköisyysteoriassa mikä tahansa kokeen tulosten joukko. Tästä ilmiöstä ei ole niin monia käsitteitä. Joten, tiedemies Lotman,tällä alalla työskentelevä sanoi, että tässä tapauksessa puhumme jostain, joka "tapahtui, vaikka sitä ei ehkä olisi tapahtunut".
Satunnaiset tapahtumat (todennäköisyysteoria kiinnittää niihin erityistä huomiota) on käsite, joka tarkoittaa ehdottomasti mitä tahansa ilmiötä, jolla on kyky tapahtua. Tai päinvastoin, tämä skenaario ei välttämättä toteudu, jos monet ehdot täyttyvät. On myös syytä tietää, että satunnaiset tapahtumat kuvaavat koko tapahtuneen ilmiömäärän. Todennäköisyysteoria osoittaa, että kaikki ehdot voivat toistua jatkuvasti. Heidän käyttäytymistään kutsuttiin "kokemukseksi" tai "testiksi".
Tietetty tapahtuma on sellainen, joka tapahtuu 100 % tietyssä testissä. Näin ollen mahdoton tapahtuma on sellainen, jota ei tapahdu.
Toimenpideparin yhdistelmä (tavanomaisesti tapaus A ja tapaus B) on ilmiö, joka esiintyy samanaikaisesti. Ne on merkitty AB.
Tapahtumaparien A ja B summa on C, eli jos ainakin yksi niistä tapahtuu (A tai B), niin saadaan C. Kuvatun ilmiön kaava kirjoitetaan seuraavasti: C=A + B.
Epäyhtenäiset tapahtumat todennäköisyysteoriassa viittaavat siihen, että kaksi tapausta ovat toisensa poissulkevia. Ne eivät voi koskaan tapahtua samaan aikaan. Yhteiset tapahtumat todennäköisyysteoriassa ovat niiden vastakohta. Tämä tarkoittaa, että jos A tapahtui, se ei häiritse B:tä.
Päkkäiset tapahtumat (todennäköisyysteoria käsittelee niitä hyvin yksityiskohtaisesti) on helppo ymmärtää. Niiden kanssa on parasta käsitellä vertailua. Ne ovat melkein samat kuinja yhteensopimattomat tapahtumat todennäköisyysteoriassa. Mutta niiden ero on siinä, että yhden monista ilmiöistä täytyy joka tapauksessa tapahtua.
Vastaavat tapahtumat ovat toimia, joiden mahdollisuus on yhtä suuri. Selvyyden vuoksi voimme kuvitella kolikon heittämisen: sen toinen puoli putoaa yhtä todennäköisesti toisenkin puolen.
Hyväntekevä tapahtuma on helpompi nähdä esimerkin avulla. Oletetaan, että on jakso B ja jakso A. Ensimmäinen on nopan heittäminen parittoman luvun kanssa, ja toinen on numeron viisi ilmestyminen noppaan. Sitten käy ilmi, että A suosii B:tä.
Todennäköisyysteoriassa riippumattomat tapahtumat ennustetaan vain kahteen tai useampaan tapaukseen, ja ne tarkoittavat minkä tahansa toiminnan riippumattomuutta toisesta. Esimerkiksi A on hännän häviäminen, kun kolikon heitetään, ja B on tunkin nosto kannelta. Ne ovat itsenäisiä tapahtumia todennäköisyysteoriassa. Tällä hetkellä se tuli selvemmäksi.
Todennäköisyysteorian riippuvat tapahtumat ovat myös sallittuja vain niiden joukossa. Ne tarkoittavat toisen riippuvuutta toisesta, eli ilmiö B voi tapahtua vain, jos A on jo tapahtunut tai päinvastoin ei ole tapahtunut, kun tämä on B:n pääehto.
Yhdestä komponentista koostuvan satunnaisen kokeen tulos on alkeistapahtumia. Todennäköisyysteoria selittää, että tämä on ilmiö, joka tapahtui vain kerran.
Peruskaavat
Joten, käsitteet "tapahtuma", "todennäköisyysteoria",Myös tämän tieteen peruskäsitteiden määritelmä annettiin. Nyt on aika tutustua suoraan tärkeisiin kaavoihin. Nämä lausekkeet vahvistavat matemaattisesti kaikki pääkäsitteet niin vaikeassa aiheessa kuin todennäköisyysteoria. Tapahtuman todennäköisyydellä on tässäkin suuri merkitys.
Parempi aloittaa kombinatoriikan peruskaavoista. Ja ennen kuin siirryt niihin, kannattaa pohtia, mikä se on.
Kombinatoriikka on ensisijaisesti matematiikan haara, se käsittelee v altavan määrän kokonaislukuja sekä lukujen itsensä ja niiden elementtien erilaisia permutaatioita, erilaisia tietoja jne., mikä johtaa useita yhdistelmiä. Todennäköisyysteorian lisäksi tämä ala on tärkeä tilastoille, tietojenkäsittelytieteelle ja kryptografialle.
Nyt voimme siis siirtyä itse kaavojen esittämiseen ja niiden määrittelemiseen.
Ensimmäinen on permutaatioiden määrän lauseke, se näyttää tältä:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Yhtälö pätee vain, jos elementit eroavat vain järjestyksessä.
Nyt sijoittelukaava otetaan huomioon, se näyttää tältä:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Tämä lauseke ei koske vain elementin järjestystä, vaan myös sen koostumusta.
Kolmas yhtälö kombinatoriikasta, ja se on myös viimeinen, kutsutaan yhdistelmien lukumäärän kaavaksi:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Yhdistelmät ovat valintoja, joita ei ole järjestetty, ja tämä sääntö koskee niitä.
Kombinatoriikan kaavojen keksiminen osoittautui helpoksi, nyt voimme siirtyä klassiseen todennäköisyyksien määritelmään. Tämä lauseke näyttää tältä:
P(A)=m: n.
Tässä kaavassa m on tapahtumalle A suotuisten olosuhteiden lukumäärä ja n on ehdottomasti kaikkien yhtä mahdollisten ja alkeellisten tulosten lukumäärä.
Lausuja on paljon, artikkeli ei kata kaikkia, mutta tärkeimpiä niistä käsitellään, kuten esimerkiksi tapahtumien summan todennäköisyys:
P(A + B)=P(A) + P(B) - tämä lause on tarkoitettu vain yhteensopimattomien tapahtumien lisäämiseen;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - ja tämä on tarkoitettu vain yhteensopivien lisäämiseen.
Tapahtumien synnyttämisen todennäköisyys:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – tämä lause on riippumattomille tapahtumille;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - ja tämä on addikteja.
Tapahtumakaava päättää luettelon. Todennäköisyysteoria kertoo meille Bayesin lauseesta, joka näyttää tältä:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Tässä kaavassa H1, H2, …, H on täydellinen ryhmä hypoteeseja.
Lopetetaan tähän, sitten tarkastellaan esimerkkejä kaavojen soveltamisesta käytännön ongelmien ratkaisemiseen.
Esimerkkejä
Jos tutkit huolellisesti jotakin osaamatematiikkaa, se ei tule toimeen ilman harjoituksia ja esimerkkiratkaisuja. Samoin todennäköisyysteoria: tapahtumat, esimerkit ovat olennainen komponentti, joka vahvistaa tieteelliset laskelmat.
Permutaatioiden lukumäärän kaava
Oletetaan, että korttipakassa on kolmekymmentä korttia, alkaen nimellisarvosta yksi. Seuraava kysymys. Kuinka monella tavalla pakkaa voidaan pinota niin, että kortit, joiden nimellisarvo on yksi ja kaksi, eivät ole vierekkäin?
Tehtävä on asetettu, nyt siirrytään sen ratkaisemiseen. Ensin sinun on määritettävä kolmenkymmenen elementin permutaatioiden lukumäärä, tätä varten otamme yllä olevan kaavan, josta käy ilmi P_30=30!.
Tämän säännön perusteella saamme selville kuinka monta vaihtoehtoa on taittaa pakka eri tavoilla, mutta meidän on vähennettävä niistä ne, joissa ensimmäinen ja toinen kortti ovat seuraavaksi. Aloitetaan vaihtoehdolla, kun ensimmäinen on toisen yläpuolella. Osoittautuu, että ensimmäinen kortti voi ottaa kaksikymmentäyhdeksän paikkaa - ensimmäisestä kahdeskymmenesyhdeksänteen ja toinen kortti toisesta kolmanteenkymmeneenteen, korttiparille on kaksikymmentäyhdeksän paikkaa. Loput puolestaan voivat ottaa kaksikymmentäkahdeksan paikkaa ja missä tahansa järjestyksessä. Eli 28 kortin permutaatiossa on kaksikymmentäkahdeksan vaihtoehtoa P_28=28!
Tämän tuloksena käy ilmi, että jos tarkastellaan ratkaisua, kun ensimmäinen kortti on toisen ohi, on 29 ⋅ 28 ylimääräistä mahdollisuutta!=29!
Samalla menetelmällä sinun on laskettava ylimääräisten vaihtoehtojen määrä siinä tapauksessa, että ensimmäinen kortti on toisen alle. Siitä tulee myös 29 ⋅ 28!=29!
Tästä seuraa, että lisävaihtoehtoja on 2 ⋅ 29!, kun taas kannen rakentamiseen tarvitaan 30 pakollista tapaa! - 2 ⋅ 29!. Jää vain laskea.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nyt sinun on kerrottava kaikki luvut yhdestä kahteenkymmeneenyhdeksään yhdessä ja lopuksi kerrottava kaikki 28:lla. Vastaus on 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Esimerkin ratkaisu. Kaava sijoitusnumerolle
Tässä tehtävässä sinun on selvitettävä, kuinka monella tavalla on mahdollista sijoittaa viisitoista osaa yhdelle hyllylle, mutta sillä ehdolla, että nidettä on yhteensä kolmekymmentä.
Tällä ongelmalla on hieman helpompi ratkaisu kuin edelliseen. Jo tunnetun kaavan avulla on tarpeen laskea paikkojen kokonaismäärä kolmestakymmenestä viidentoista osasta.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 ⋅ 16=202 843 204 70 31 204 7
Vastaus on 202 843 204 931 727 360 000.
Otetaan nyt tehtävä hieman vaikeampi. Sinun on selvitettävä, kuinka monella tavalla on mahdollista järjestää kolmekymmentä kirjaa kahdelle kirjahyllylle edellyttäen, että yhdellä hyllyllä voi olla vain viisitoista osaa.
Ennen kuin aloitan ratkaisun, haluaisin selventää, että jotkut ongelmat ratkaistaan useilla tavoilla, joten tässä on kaksi tapaa, mutta molemmissa käytetään samaa kaavaa.
Tässä tehtävässä voit ottaa vastauksen edellisestä, koska siellä laskimme kuinka monta kertaa voit täyttää hyllyn viidellätoista kirjallaeri tavalla. Osoittautui A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Laskemme toisen hyllyn permutaatiokaavalla, koska siihen on sijoitettu viisitoista kirjaa, kun taas jäljellä on vain viisitoista kirjaa. Käytä kaavaa P_15=15!.
Kävitään, että kokonaissumma on A_30^15 ⋅ P_15 tapaa, mutta lisäksi kaikkien lukujen tulo kolmestakymmenestä kuuteentoista on kerrottava lukujen tulolla yhdestä viiteentoista, kuten tuloksena kaikkien lukujen tulo yhdestä kolmeenkymmeneen, joten vastaus on 30!
Mutta tämä ongelma voidaan ratkaista toisella tavalla - helpommin. Voit tehdä tämän kuvittelemalla, että kolmellekymmenelle kirjalle on yksi hylly. Kaikki ne on sijoitettu tälle tasolle, mutta koska ehto edellyttää, että hyllyjä on kaksi, leikataan yksi pitkä puoliksi, kummastakin tulee kaksi viisitoista. Tästä käy ilmi, että sijoitusvaihtoehdot voivat olla P_30=30!.
Esimerkin ratkaisu. Kaava yhdistelmälle numero
Nyt tarkastelemme muunnelmaa kombinatoriikan kolmannesta tehtävästä. Sinun on selvitettävä, kuinka monta tapaa on järjestää viisitoista kirjaa, jos sinun on valittava kolmestakymmenestä täysin identtisestä kirjasta.
Ratkaisussa käytetään tietysti yhdistelmien lukumäärän kaavaa. Ehdosta käy selväksi, että identtisten viidentoista kirjan järjestyksellä ei ole merkitystä. Siksi sinun on aluksi selvitettävä kolmenkymmenen viidentoista kirjan yhdistelmien kokonaismäärä.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: viisitoista!=155 117 520
Siinä se on. Tätä kaavaa käyttämällä se oli mahdollista mahdollisimman lyhyessä ajassaratkaise tällainen ongelma, vastaus on vastaavasti 155 117 520.
Esimerkin ratkaisu. Klassinen todennäköisyyden määritelmä
Yllä olevan kaavan avulla löydät vastauksen yksinkertaiseen ongelmaan. Mutta se auttaa visuaalisesti näkemään ja seuraamaan toimien kulkua.
Tehtävässä on annettu, että uurnassa on kymmenen täysin identtistä palloa. Näistä neljä on keltaisia ja kuusi sinisiä. Urnasta otetaan yksi pallo. Sinun on selvitettävä todennäköisyys saada sininen.
Ongelman ratkaisemiseksi on tarpeen määrittää sinisen pallon saaminen tapahtumaksi A. Tällä kokemuksella voi olla kymmenen lopputulosta, jotka puolestaan ovat alkeellisia ja yhtä todennäköisiä. Samalla kymmenestä kuusi on suotuisa tapahtumalle A. Ratkaisemme kaavan mukaan:
P(A)=6: 10=0, 6
Tätä kaavaa soveltamalla saimme selville, että todennäköisyys saada sininen pallo on 0,6.
Esimerkin ratkaisu. Tapahtumien summan todennäköisyys
Nyt esitetään variantti, joka ratkaistaan tapahtumien summan todennäköisyyskaavalla. Joten siinä kunnossa, että laatikoita on kaksi, ensimmäinen sisältää yhden harmaan ja viisi valkoista palloa ja toisessa kahdeksan harmaata ja neljä valkoista palloa. Tämän seurauksena yksi niistä otettiin ensimmäisestä ja toisesta laatikosta. Sinun on selvitettävä, mikä on todennäköisyys, että saamasi pallot ovat harmaita ja valkoisia.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi sinun on merkittävä tapahtumat.
- Joten, A - ota harmaa pallo ensimmäisestä laatikosta: P(A)=1/6.
- A’ – ota valkoinen pallo myös ensimmäisestä laatikosta: P(A')=5/6.
- B – harmaa pallo on jo otettu pois toisesta laatikosta: P(B)=2/3.
- B’ – ota harmaa pallo toisesta laatikosta: P(B')=1/3.
Ongelman ehdon mukaan täytyy tapahtua jokin ilmiöistä: AB' tai A'B. Kaavan avulla saamme: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nyt on käytetty todennäköisyyskertokaavaa. Seuraavaksi saadaksesi vastauksen, sinun on käytettävä yhtälöä niiden yhteenlaskulle:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=18/11.
Näin voit ratkaista samanlaisia ongelmia kaavan avulla.
Tulos
Artikkelissa oli tietoa aiheesta "Todennäköisyysteoria", jossa tapahtuman todennäköisyydellä on ratkaiseva rooli. Tietenkään kaikkea ei otettu huomioon, mutta esitetyn tekstin perusteella voidaan teoriassa tutustua tähän matematiikan osaan. Kyseinen tiede voi olla hyödyllinen paitsi ammatillisessa työssä, myös arjessa. Sen avulla voit laskea minkä tahansa tapahtuman mahdollisuuden.
Tekstissä käsiteltiin myös merkittäviä päivämääriä todennäköisyysteorian tieteenä muodostumisen historiassa ja ihmisten nimiä, joiden teoksia siihen panostettiin. Näin inhimillinen uteliaisuus johti siihen, että ihmiset oppivat laskemaan jopa satunnaisia tapahtumia. Kerran he olivat vain kiinnostuneita siitä, mutta nykyään kaikki tietävät sen jo. Eikä kukaan kerro, mikä meitä odottaa tulevaisuudessa, mitä muita loistavia löytöjä tarkasteltavana olevaan teoriaan liittyen tehdään. Mutta yksi asia on varma - tutkimus ei pysähdy!
