Elämässämme kohtaamme usein tarpeen arvioida tapahtuman todennäköisyyttä. Kannattaako lottolipun ostaminen vai ei, mikä on perheen kolmannen lapsen sukupuoli, onko huomenna selkeää säätä vai sataako taas vettä - tällaisia esimerkkejä on lukemattomia. Yksinkertaisimmassa tapauksessa sinun tulee jakaa myönteisten tulosten määrä tapahtumien kokonaismäärällä. Jos lotossa on 10 voittolippua ja niitä on yhteensä 50, mahdollisuudet saada palkinto on 10/50=0,2 eli 20 vastaan 100. Mutta entä jos tapahtumia on useita ja ne ovat lähellä toisiaan. liittyvät? Tässä tapauksessa meitä ei enää kiinnosta yksinkertainen, vaan ehdollinen todennäköisyys. Mikä tämä arvo on ja miten se voidaan laskea - sitä käsitellään artikkelissamme.
Konsepti
Ehdollinen todennäköisyys on tietyn tapahtuman mahdollisuus, kun otetaan huomioon, että toinen asiaan liittyvä tapahtuma on jo tapahtunut. Harkitse yksinkertaista esimerkkiäkolikon heittäminen. Jos tasapeliä ei ole vielä saatu, mahdollisuudet saada päät tai häntät ovat samat. Mutta jos viisi kertaa peräkkäin kolikko makasi vaakunan ollessa ylhäällä, suostukaa odottamaan kuudes, seitsemäs ja vielä varsinkin 10. tällaisen tuloksen toisto olisi epäloogista. Jokaisen toistuvan otsikon myötä todennäköisyys hännän ilmaantumiseen kasvaa ja ennemmin tai myöhemmin se putoaa.
Ehdollinen todennäköisyyskaava
Otetaan nyt selvää, miten tämä arvo lasketaan. Merkitään ensimmäinen tapahtuma B:ksi ja toinen A. Jos B:n todennäköisyys on eri kuin nolla, niin seuraava yhtälö on voimassa:
P (A|B)=P (AB) / P (B), missä:
- P (A|B) – tuloksen A ehdollinen todennäköisyys;
- P (AB) - tapahtumien A ja B yhteisen esiintymisen todennäköisyys;
- P (B) – tapahtuman B todennäköisyys.
Hieman tätä suhdetta muuttamalla saadaan P (AB)=P (A|B)P (B). Ja jos käytämme induktiomenetelmää, voimme johtaa tulokaavan ja käyttää sitä mieliv altaiseen määrään tapahtumia:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Harjoittelu
Jotta on helpompi ymmärtää, kuinka tapahtuman ehdollinen todennäköisyys lasketaan, katsotaanpa muutama esimerkki. Oletetaan, että siellä on maljakko, jossa on 8 suklaata ja 7 minttua. Ne ovat samankokoisia ja satunnaisia.kaksi niistä vedetään ulos peräkkäin. Mitkä ovat todennäköisyys, että molemmat ovat suklaata? Otetaan käyttöön notaatio. Olkoon tulos A, että ensimmäinen karamelli on suklaata, tulos B on toinen suklaakaramelli. Sitten saat seuraavan:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7/14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Katsotaanpa vielä yksi tapaus. Oletetaan, että perheessä on kaksi lasta ja tiedämme, että ainakin yksi lapsi on tyttö.
Mikä on ehdollinen todennäköisyys, että näillä vanhemmilla ei ole vielä poikia? Kuten edellisessä tapauksessa, aloitamme merkinnöillä. Olkoon P(B) todennäköisyys, että perheessä on vähintään yksi tyttö, P(A|B) todennäköisyys, että myös toinen lapsi on tyttö, P(AB) todennäköisyys, että perheessä on kaksi tyttöä perhe. Tehdään nyt laskelmat. Yhteensä voi olla 4 erilaista lasten sukupuolen yhdistelmää, ja tässä tapauksessa vain yhdessä tapauksessa (kun perheessä on kaksi poikaa), lasten joukossa ei ole tyttöä. Siksi todennäköisyys P (B)=3/4 ja P (AB)=1/4. Sitten seuraamalla kaavaamme saamme:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Tulos voidaan tulkita seuraavasti: jos emme tietäisi yhden lapsen sukupuolta, kahden tytön todennäköisyys olisi 25 vastaan 100. Mutta koska tiedämme, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys, että poikien perhe ei, kasvaa kolmasosaan.
