Leonhard Euler (1707-1783) - kuuluisa sveitsiläinen ja venäläinen matemaatikko, Pietarin tiedeakatemian jäsen, eli suurimman osan elämästään Venäjällä. Matemaattisessa analyysissä, tilastoissa, tietojenkäsittelytieteessä ja logiikassa tunnetuin on Eulerin ympyrä (Euler-Venn-kaavio), jota käytetään kuvaamaan käsitteiden ja elementtijoukkojen laajuutta.
John Venn (1834-1923) - englantilainen filosofi ja loogikko, Euler-Venn-kaavion toinen kirjoittaja.
Yhteensopivia ja yhteensopimattomia käsitteitä
Logiikan käsitteellä tarkoitetaan ajattelun muotoa, joka heijastaa homogeenisten objektien luokan olennaisia piirteitä. Ne on merkitty yhdellä tai sanaryhmällä: "maailmankartta", "dominoiva kvint-seventh sointu", "maanantai" jne.
Siinä tapauksessa, että yhden käsitteen soveltamisalan elementit kuuluvat kokonaan tai osittain toisen piiriin, puhutaan yhteensopivista käsitteistä. Jos mikään tietyn käsitteen soveltamisalasta ei kuitenkaan kuulu toisen alaan, meillä on yhteensopimattomia käsitteitä.
Jokaisella käsitetyypillä on puolestaan oma joukkonsa mahdollisia suhteita. Yhteensopiville käsitteille nämä ovat:
- määrien identiteetti (vastaavuus);
- risteys (osittainen ottelu)volyymit;
- alisteisuus (alaisuus).
Epäyhteensopiva:
- alaisuus (koordinaatio);
- vastakohta (ristiriita);
- ristiriita (ristiriita).
Kaavamaisesti logiikan käsitteiden väliset suhteet merkitään yleensä Euler-Venn-ympyröillä.
Vastaavat suhteet
Tässä tapauksessa käsitteet tarkoittavat samaa aihetta. Näin ollen näiden käsitteiden volyymit ovat täysin samat. Esimerkki:
A - Sigmund Freud;
B on psykoanalyysin perustaja.
Tai:
A on neliö;
B on tasasivuinen suorakulmio;
C on tasakulmainen rombi.
Täysin yhteneviä Eulerin ympyröitä käytetään nimeämiseen.
Risteys (osittainen vastaavuus)
Tämä luokka sisältää käsitteitä, joilla on yhteisiä elementtejä, jotka liittyvät ylitykseen. Eli yhden käsitteen tilavuus sisältyy osittain toisen tilavuuteen:
A - opettaja;
B on musiikin ystävä.
Kuten tästä esimerkistä voidaan nähdä, käsitteiden määrät osuvat osittain yhteen: tietty ryhmä opettajia voi osoittautua musiikin ystäviksi ja päinvastoin - musiikin ystävien joukossa saattaa olla opettajan ammatin edustajia. Samanlainen asenne on silloin, kun käsite A on esimerkiksi "kansalainen" ja B on "kuljettaja".
Alisteisuus (alisteisuus)
Kaavamaisesti merkitty eri mittakaavan Euler-ympyröiksi. SuhteetKäsitteiden välillä tässä tapauksessa on ominaista se, että alisteinen käsite (tilavuudeltaan pienempi) sisältyy kokonaan alisteiseen (tilavuudeltaan suurempi). Samanaikaisesti alisteinen käsite ei tyhjennä täysin alisteista.
Esimerkki:
A - puu;
B - mänty.
Konsepti B on alisteinen konseptille A. Koska mänty kuuluu puihin, käsitteestä A tässä esimerkissä tulee alisteinen, "imeen" käsitteen B laajuuden.
Koordinointi (koordinaatio)
Relaatio luonnehtii kahta tai useampaa käsitettä, jotka sulkevat pois toisensa, mutta kuuluvat tiettyyn yhteiseen yleispiiriin. Esimerkki:
A – klarinetti;
B - kitara;
C - viulu;
D on musiikki-instrumentti.
Käsitteet A, B, C eivät leikkaa toistensa suhteen, mutta ne kaikki kuuluvat kuitenkin musiikki-instrumenttien luokkaan (käsite D).
Päinvastainen (päinvastoin)
Konseptien väliset vastakkaiset suhteet viittaavat siihen, että nämä käsitteet kuuluvat samaan sukuun. Samanaikaisesti yhdellä käsitteistä on tiettyjä ominaisuuksia (piirteitä), kun taas toinen kieltää ne ja korvaa ne luonnossa vastakkaisilla. Näin ollen olemme tekemisissä antonyymien kanssa. Esimerkki:
A on kääpiö;
B on jättiläinen.
Eulerin ympyrä, jossa käsitteiden väliset suhteet ovat vastakkaisiaon jaettu kolmeen segmenttiin, joista ensimmäinen vastaa käsitettä A, toinen käsitettä B ja kolmas kaikkia muita mahdollisia käsitteitä.
Ristiriita (ristiriita)
Tässä tapauksessa molemmat käsitteet ovat saman suvun lajeja. Kuten edellisessä esimerkissä, yksi käsitteistä osoittaa tiettyjä ominaisuuksia (ominaisuuksia), kun taas toinen kieltää ne. Toisin kuin vastakohtien suhde, toinen, vastakkainen käsite ei kuitenkaan korvaa kiellettyjä ominaisuuksia muilla, vaihtoehtoisilla. Esimerkki:
A on vaikea tehtävä;
B on helppo tehtävä (ei-A).
Tällaisten käsitteiden määrää ilmaistaessa Eulerin ympyrä on jaettu kahteen osaan - kolmatta, välilinkkiä tässä tapauksessa ei ole olemassa. Siten käsitteet ovat myös antonyymejä. Samanaikaisesti yksi niistä (A) muuttuu positiiviseksi (vahvistaen jonkin ominaisuuden), ja toisesta (B tai ei-A) tulee negatiivinen (kieltää vastaavan ominaisuuden): "valkoinen paperi" - "ei valkoinen paperi", " kansallinen historia" – "ulkomainen historia" jne.
Siksi käsitteiden tilavuuksien suhde toisiinsa on keskeinen ominaisuus, joka määrittelee Eulerin ympyrät.
Jukkojen väliset suhteet
On myös tarpeen erottaa elementtien ja joukkojen käsitteet, joiden tilavuus näytetään Eulerin ympyröillä. Joukon käsite on lainattu matemaattisesta tieteestä ja sillä on melko laaja merkitys. Esimerkit logiikassa ja matematiikassa näyttävät sen tiettynä objektijoukona. Esineet itse ovattämän sarjan elementtejä. "Monet on monta ajateltavaa yhtenä" (Georg Kantor, joukkoteorian perustaja).
Jummat merkitään isoilla kirjaimilla: A, B, C, D… jne., joukkojen elementit merkitään pienillä kirjaimilla: a, b, c, d… jne. Esimerkkejä joukosta voivat olla opiskelijat, jotka ovat yhdessä luokkahuoneessa, kirjat tietyllä hyllyllä (tai esimerkiksi tietyn kirjaston kaikki kirjat), päiväkirjan sivuja, marjoja metsäaukiolla jne.
Jos tietty joukko ei puolestaan sisällä yhtäkään alkiota, sitä kutsutaan tyhjäksi ja merkitään merkillä Ø. Esimerkiksi rinnakkaisten viivojen leikkauspisteiden joukko, yhtälön ratkaisujoukko x2=-5.
Ongelmanratkaisu
Eulerin ympyröitä käytetään aktiivisesti useiden ongelmien ratkaisemiseen. Logiikkaesimerkit osoittavat selkeästi loogisten operaatioiden ja joukkoteorian välisen yhteyden. Tässä tapauksessa käytetään käsitteiden totuustaulukoita. Esimerkiksi ympyrä, jonka nimi on A, edustaa totuusaluetta. Joten ympyrän ulkopuolella oleva alue edustaa väärin. Jotta voit määrittää kaavion alueen loogista operaatiota varten, sinun tulee varjostaa alueet, jotka määrittävät Eulerin ympyrän, jossa sen arvot elementeille A ja B ovat tosi.
Euler-ympyröiden käyttö on löytänyt laajan käytännön sovelluksen useilla teollisuudenaloilla. Esimerkiksi tilanteessa, jossa on ammattivalinta. Jos tutkittava on huolissaan tulevan ammatin valinnasta, häntä voidaan ohjata seuraavilla kriteereillä:
W – mitä tykkään tehdä?
D – mitä minä teen?
P– miten voin ansaita paljon rahaa?
Piirretään tämä kaavioksi: Eulerin ympyrät (logiikka-esimerkkejä - leikkaussuhde):
Tuloksena ovat ne ammatit, jotka ovat kaikkien kolmen ympyrän leikkauskohdassa.
Euler-Venn ympyrät ovat erillisellä paikalla matematiikassa (joukkoteoriassa) yhdistelmiä ja ominaisuuksia laskettaessa. Alkujoukon Eulerin ympyrät on suljettu yleistä joukkoa (U) kuvaavan suorakulmion kuvaan. Ympyröiden sijasta voidaan käyttää myös muita suljettuja hahmoja, mutta tämän olemus ei muutu. Kuvat leikkaavat toisiaan tehtävän ehtojen mukaan (yleisimmässä tapauksessa). Myös nämä luvut tulee merkitä vastaavasti. Tarkasteltavana olevien joukkojen elementit voivat olla kaavion eri segmenttien sisällä olevia pisteitä. Sen perusteella voit varjostaa tiettyjä alueita ja määrittää siten juuri muodostetut joukot.
Näillä joukoilla on mahdollista suorittaa matemaattisia perusoperaatioita: yhteenlasku (alkioiden joukkojen summa), vähennys (erotus), kertolasku (tulo). Lisäksi Euler-Venn-kaavioiden ansiosta joukkoja on mahdollista verrata niihin sisältyvien alkioiden lukumäärän mukaan laskematta niitä.
