Polyhedrat herättivät matemaatikoiden ja tiedemiesten huomion jo muinaisina aikoina. Egyptiläiset rakensivat pyramidit. Ja kreikkalaiset tutkivat "säännöllistä polyhedraa". Niitä kutsutaan joskus platonisiksi kiinteiksi aineiksi. "Perinteiset polyhedrat" koostuvat tasaisista pinnoista, suorista reunoista ja pisteistä. Mutta pääkysymys on aina ollut, mitä sääntöjä näiden erillisten osien on täytettävä, sekä mitä globaaleja lisäehtoja on täytettävä, jotta esine voidaan luokitella monitahoiseksi. Vastaus tähän kysymykseen esitetään artikkelissa.
Määrittelyongelmia
Mistä tämä luku koostuu? Monitahoinen on suljettu kiinteä muoto, jolla on tasaiset pinnat ja suorat reunat. Siksi sen määritelmän ensimmäistä ongelmaa voidaan kutsua täsmälleen kuvan sivuiksi. Kaikki tasoissa makaavat kasvot eivät aina ole merkki monitahoisesta. Otetaan "kolmiomainen sylinteri" esimerkkinä. Mistä se koostuu? Osa sen pinnasta kolme pareittainleikkaavia pystytasoja ei voida pitää monikulmioina. Syynä on, että sillä ei ole pisteitä. Tällaisen hahmon pinta muodostuu kolmen yhdessä pisteessä kohtaavien säteiden pohj alta.
Yksi ongelma vielä - lentokoneet. "Kolmiomaisen sylinterin" tapauksessa se on niiden rajoittamattomissa osissa. Kuvaa pidetään kuperana, jos siinä on myös joukon kaksi pistettä yhdistävä jana. Esittelemme yhden niiden tärkeistä ominaisuuksista. Kuperille joukoille se tarkoittaa, että joukolle yhteinen pisteiden joukko on sama. On olemassa toisenlaisia lukuja. Nämä ovat ei-kuperia 2D-polyhedraja, joissa on joko lovia tai reikiä.
Muodot, jotka eivät ole monitahoisia
Tasainen joukko pisteitä voi olla erilainen (esimerkiksi ei-kupera) eikä täytä tavallista monitahoisen määritelmää. Jopa sen läpi sitä rajoittavat linjaosuudet. Kuperan monitahoisen viivat koostuvat kuperista kuvioista. Tämä määritelmän lähestymistapa sulkee kuitenkin pois luvun, joka menee äärettömyyteen. Esimerkki tästä olisi kolme sädettä, jotka eivät kohtaa samassa pisteessä. Mutta samaan aikaan ne ovat yhteydessä toisen hahmon huippuihin. Perinteisesti monitahoiselle oli tärkeää, että se koostuu tasaisista pinnoista. Mutta ajan myötä käsite laajeni, mikä johti merkittävästi parannuksiin alkuperäisen "kapeamman" polyhedra-luokan ymmärtämisessä sekä uuden, laajemman määritelmän syntymiseen.
Oikein
Otetaan käyttöön vielä yksi määritelmä. Säännöllinen monitahoinen on sellainen, jossa jokainen pinta on yhteneväinen säännöllinenkupera monikulmio, ja kaikki kärjet ovat "samoja". Tämä tarkoittaa, että jokaisessa kärjessä on sama määrä säännöllisiä polygoneja. Käytä tätä määritelmää. Joten voit löytää viisi tavallista monitahoista.
Ensimmäiset askeleet Eulerin lauseeseen monitahoille
Kreikkalaiset tiesivät polygonista, jota nykyään kutsutaan pentagrammiksi. Tätä monikulmiota voidaan kutsua säännölliseksi, koska sen kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. On myös toinen tärkeä huomautus. Kahden peräkkäisen sivun välinen kulma on aina sama. Tasoon piirrettynä se ei kuitenkaan määritä kuperaa joukkoa ja monitahoisen sivut leikkaavat toisensa. Näin ei kuitenkaan aina ollut. Matemaatikot ovat pitkään harkinneet ajatusta "ei-kuperista" säännöllisistä polyhedraista. Pentagrammi oli yksi niistä. "Tähtipolygonit" olivat myös sallittuja. Useita uusia esimerkkejä "säännöllisistä polyhedraista" on löydetty. Nykyään niitä kutsutaan Kepler-Poinsot-polyhedraiksi. Myöhemmin G. S. M. Coxeter ja Branko Grünbaum laajensivat sääntöjä ja löysivät muita "säännöllisiä monitahoja".
Moniedrisen kaava
Näiden lukujen systemaattinen tutkiminen alkoi suhteellisen varhain matematiikan historiassa. Leonhard Euler huomasi ensimmäisenä, että kaava, joka kertoo niiden kärkien, pintojen ja reunojen lukumäärän, pätee kuperalle 3D-polyhedralle.
Hän näyttää tältä:
V + F - E=2, jossa V on monitahoisten kärkien lukumäärä, F on polyhedran reunojen lukumäärä ja E on pintojen lukumäärä.
Leonhard Euler on sveitsiläinenmatemaatikko, jota pidetään yhtenä kaikkien aikojen suurimmista ja tuottavimmista tiedemiehistä. Hän on ollut sokea suurimman osan elämästään, mutta näön menetys antoi hänelle syyn tulla entistä tuottavammaksi. Hänen mukaansa on nimetty useita kaavoja, ja sitä, jota juuri tarkastelimme, kutsutaan joskus Eulerin polyhedrakaavaksi.
Yksi selvennys. Eulerin kaava toimii kuitenkin vain monitahoisille, jotka noudattavat tiettyjä sääntöjä. Ne piilevät siinä, että lomakkeessa ei saa olla reikiä. Ja on mahdotonta hyväksyä, että se ylittää itsensä. Monitahoinen ei myöskään voi muodostua kahdesta yhteen liitetystä osasta, kuten kahdesta kuutiosta, joilla on sama kärki. Euler mainitsi tutkimuksensa tuloksen kirjeessään Christian Goldbachille vuonna 1750. Myöhemmin hän julkaisi kaksi artikkelia, joissa hän kuvaili kuinka hän yritti löytää todisteita uudesta löydöstään. Itse asiassa on muotoja, jotka antavat erilaisen vastauksen V + F - E. Summan F + V - E=X vastausta kutsutaan Eulerin ominaiskäyräksi. Hänellä on toinen puoli. Joillakin muodoilla voi jopa olla Eulerin ominaisuus, joka on negatiivinen
Graafiteoria
Joskus väitetään, että Descartes johti Eulerin lauseen aikaisemmin. Vaikka tämä tiedemies löysi faktoja kolmiulotteisista polyhedraista, joiden avulla hän voisi johtaa halutun kaavan, hän ei ottanut tätä lisävaihetta. Nykyään Euleria pidetään graafiteorian "isänä". Hän ratkaisi Königsbergin sillan ongelman ideoidensa avulla. Mutta tiedemies ei katsonut monitahoista kontekstiagraafiteoria. Euler yritti antaa todisteen kaavasta, joka perustuu monitahoisen hajoamiseen yksinkertaisempiin osiin. Tämä yritys ei täytä nykyaikaisia todisteita. Vaikka Euler ei antanut ensimmäistä oikeaa perustetta kaavalleen, ei voida todistaa olettamuksia, joita ei ole tehty. Myöhemmin perustellut tulokset antavat kuitenkin mahdollisuuden käyttää Eulerin lausetta myös tällä hetkellä. Ensimmäisen todisteen sai matemaatikko Adrian Marie Legendre.
Todiste Eulerin kaavasta
Euler muotoili ensin monitahoisen kaavan polyhedraa koskevana lauseena. Nykyään sitä käsitellään usein yleisemmässä yhteydessä olevien graafien yhteydessä. Esimerkiksi rakenteina, jotka koostuvat pisteistä ja niitä yhdistävistä janaista, jotka ovat samassa osassa. Augustin Louis Cauchy oli ensimmäinen henkilö, joka löysi tämän tärkeän yhteyden. Se toimi Eulerin lauseen todisteena. Pohjimmiltaan hän huomasi, että kuperan monitahoisen (tai mitä nykyään sellaiseksi kutsutaan) graafi on topologisesti homeomorfinen pallolle, sillä on tasomaisesti yhdistetty graafi. Mikä se on? Tasograafi on sellainen, joka on piirretty tasoon siten, että sen reunat kohtaavat tai leikkaavat vain kärjessä. Tästä löytyi yhteys Eulerin lauseen ja graafien välillä.
Yksi osoitus tuloksen tärkeydestä on se, että David Epstein pystyi keräämään seitsemäntoista erilaista todistetta. On monia tapoja perustella Eulerin monitahoinen kaava. Tietyssä mielessä ilmeisimpiä todisteita ovat matemaattista induktiota käyttävät menetelmät. Tulos voidaan todistaapiirrä se graafin reunojen, pintojen tai kärkien määrää pitkin.
Todiste Rademacherista ja Toeplitzistä
Erityisen houkutteleva on seuraava todiste Rademacherista ja Toeplitzistä, joka perustuu Von Staudtin lähestymistapaan. Eulerin lauseen perustelemiseksi oletetaan, että G on tasoon upotettu yhdistetty graafi. Jos siinä on skeemoja, on mahdollista sulkea pois yksi reuna jokaisesta niistä siten, että ominaisuus säilyy kytkettynä. Poistettujen osien välillä on yksi yhteensopivuus yhdistettyyn graafiin ilman sulkemista siirtymiseksi ja niiden osien välillä, jotka eivät ole ääretön. Tämä tutkimus johti "suuntautuvien pintojen" luokitteluun niin sanotun Euler-ominaisuuden perusteella.
Jordan käyrä. Lause
Päätees, jota käytetään suoraan tai epäsuorasti graafien Eulerin lauseen polyhedrakaavan todistuksessa, riippuu Jordanin käyrästä. Tämä ajatus liittyy yleistykseen. Se sanoo, että mikä tahansa yksinkertainen suljettu käyrä jakaa tason kolmeen joukkoon: pisteet siinä, sen sisällä ja ulkopuolella. Koska kiinnostus Eulerin monitahoista kaavaa kohtaan kehittyi 1800-luvulla, sitä yritettiin yleistää monia. Tämä tutkimus loi perustan algebrallisen topologian kehitykselle ja yhdisti sen algebraan ja lukuteoriaan.
Moebius-ryhmä
Pian havaittiin, että joitain pintoja voitiin "suuntaa" johdonmukaisesti vain paikallisesti, ei globaalisti. Tunnettu Möbius-ryhmä toimii esimerkkinä sellaisestapinnat. Johann Listing löysi sen hieman aikaisemmin. Tämä käsite sisältää graafin suvun käsitteen: vähiten kuvaajia g. Se on lisättävä pallon pintaan ja se voidaan upottaa pidennetylle pinnalle siten, että reunat kohtaavat vain kärjeissä. Osoittautuu, että mitä tahansa suuntautuvaa pintaa euklidisessa avaruudessa voidaan pitää pallona, jossa on tietty määrä kahvoja.
Euler-kaavio
Tutkija teki toisen löydön, jota käytetään edelleen. Tämä niin kutsuttu Euler-kaavio on graafinen esitys ympyröistä, jota käytetään yleensä kuvaamaan joukkojen tai ryhmien välisiä suhteita. Kaavioissa on yleensä värejä, jotka sekoittuvat alueilla, joilla ympyrät menevät päällekkäin. Sarjat esitetään tarkasti ympyröillä tai soikeilla, vaikka niihin voidaan käyttää myös muita hahmoja. Inkluusiota edustaa ellipsien päällekkäisyys, jota kutsutaan Eulerin ympyröiksi.
Ne edustavat joukkoja ja osajoukkoja. Poikkeuksena ovat ympyrät, jotka eivät ole päällekkäisiä. Euler-kaaviot liittyvät läheisesti muihin graafisiin esityksiin. He ovat usein hämmentyneitä. Tätä graafista esitystä kutsutaan Venn-kaavioiksi. Kyseisistä sarjoista riippuen molemmat versiot voivat näyttää sam alta. Venn-kaavioissa päällekkäiset ympyrät eivät kuitenkaan välttämättä tarkoita ryhmien välistä yhteistä, vaan vain mahdollista loogista suhdetta, jos niiden otsikot eivät oleleikkaava ympyrä. Molemmat vaihtoehdot otettiin käyttöön joukkoteorian opettamisessa osana 1960-luvun uutta matemaattista liikettä.
Fermatin ja Eulerin lauseet
Euler jätti huomattavan jäljen matemaattiseen tieteeseen. Algebrallista lukuteoriaa rikastutti hänen mukaansa nimetty lause. Se on myös seurausta toisesta tärkeästä löydöstä. Tämä on niin kutsuttu yleinen algebrallinen Lagrange-lause. Eulerin nimi liittyy myös Fermatin pieneen lauseeseen. Se sanoo, että jos p on alkuluku ja a on kokonaisluku, joka ei jao p:llä, niin:
ap-1 - 1 on jaollinen p.
Joskus samalla löydöllä on eri nimi, useimmiten ulkomaisesta kirjallisuudesta. Se kuulostaa Fermatin joululauseelta. Asia on, että löytö tuli tunnetuksi tiedemiehen kirjeen ansiosta, joka lähetettiin aattona 25. joulukuuta 1640. Mutta itse lausunto on tavattu ennenkin. Sitä käytti toinen tiedemies nimeltä Albert Girard. Fermat yritti vain todistaa teoriansa. Kirjoittaja vihjaa toisessa kirjeessä saaneensa inspiraationsa äärettömän laskeutumisen menetelmästä. Mutta hän ei esittänyt mitään todisteita. Myöhemmin myös Haahka kääntyi samaan menetelmään. Ja hänen jälkeensä - monet muut kuuluisat tiedemiehet, mukaan lukien Lagrange, Gauss ja Minkosky.
Identiteettien ominaisuudet
Fermatin pientä lausetta kutsutaan myös lukuteorian lauseen erikoistapaukseksi Eulerin johdosta. Tässä teoriassa Eulerin identiteettifunktio laskee positiiviset kokonaisluvut annettuun kokonaislukuun n asti. Ne ovat huippuluokkaa suhteessan. Eulerin lause lukuteoriassa kirjoitetaan kreikkalaisella kirjaimella φ ja näyttää tältä φ(n). Se voidaan määritellä muodollisemmin kokonaislukuina k alueella 1 ≦ k ≦ n, joille suurin yhteinen jakaja gcd(n, k) on 1. Merkintätapaa φ(n) voidaan kutsua myös Eulerin phi-funktioksi. Tämän muodon kokonaislukuja k kutsutaan joskus totalatiiviseksi. Lukuteorian ytimessä Eulerin identiteettifunktio on kertova, mikä tarkoittaa, että jos kaksi lukua m ja n ovat koprime, niin φ(mn)=φ(m)φ(n). Sillä on myös keskeinen rooli RSA-salausjärjestelmän määrittelyssä.
Euler-funktio otettiin käyttöön vuonna 1763. Tuolloin matemaatikko ei kuitenkaan valinnut sille mitään erityistä symbolia. Vuonna 1784 julkaistussa julkaisussa Euler tutki tätä funktiota tarkemmin ja valitsi kreikkalaisen π-kirjaimen edustamaan sitä. James Sylvester loi termin "yhteensä" tälle ominaisuudelle. Siksi sitä kutsutaan myös Eulerin kokonaissummaksi. Positiivisen kokonaisluvun n, joka on suurempi kuin 1, kokonais-φ(n) on niiden positiivisten kokonaislukujen määrä, jotka ovat pienempiä kuin n, jotka ovat suhteellisen alkulukuja n:ään asti.φ(1) määritellään 1:ksi. Euler-funktio tai phi(φ)-funktio on erittäin tärkeä lukuteoreettinen funktio, joka liittyy syvästi alkulukuihin ja ns. kokonaislukujen järjestykseen.
