Steinerin lause tai rinnakkaisten akselien lause hitausmomentin laskemiseen

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2023-12-17 05:25

Kiertoliikkeen matemaattisessa kuvauksessa on tärkeää tietää järjestelmän hitausmomentti akselin suhteen. Yleensä tämän määrän löytämismenettely sisältää integrointiprosessin toteuttamisen. Ns. Steiner-lause helpottaa laskemista. Pohditaanpa sitä yksityiskohtaisemmin artikkelissa.

Mikä on hitausmomentti?

Ennen kuin muotoilet Steinerin lauseen, on tarpeen käsitellä itse hitausmomentin käsitettä. Oletetaan, että on olemassa jokin tietyn massaisen ja mieliv altaisen muotoinen kappale. Tämä kappale voi olla joko materiaalipiste tai mikä tahansa kaksi- tai kolmiulotteinen esine (sauva, sylinteri, pallo jne.). Jos kyseinen kohde tekee ympyräliikettä jonkin akselin ympäri vakiokulmakiihtyvyydellä α, voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö:

M=Iα

Tässä arvo M edustaa voimien kokonaismomenttia, joka antaa kiihtyvyyden α koko järjestelmälle. Niiden välistä suhteellisuuskerrointa - I - kutsutaanhitausmomentti. Tämä fyysinen määrä lasketaan seuraavalla yleisellä kaavalla:

I=∫_m (r²dm)

Tässä r on elementin, jonka massa on dm, ja pyörimisakselin välinen etäisyys. Tämä lauseke tarkoittaa, että on tarpeen löytää neliöetäisyyksien r² ja alkeismassan dm tulojen summa. Eli hitausmomentti ei ole puhdas kehon ominaisuus, mikä erottaa sen lineaarisesta hitaudesta. Se riippuu massan jakautumisesta ympäri pyörivää kohdetta, samoin kuin etäisyydestä akseliin ja kehon suunnasta siihen nähden. Esimerkiksi tangolla on erilainen I, jos sitä kierretään massakeskipisteen ja pään ympäri.

Hiitausmomentti ja Steinerin lause

Kuuluisa sveitsiläinen matemaatikko Jakob Steiner todisti lauseen yhdensuuntaisista akseleista ja hitausmomentista, joka nyt kantaa hänen nimeään. Tämä teoreema olettaa, että absoluuttisen minkä tahansa jäykän, mieliv altaisen geometrian kappaleen hitausmomentti suhteessa johonkin pyörimisakseliin on yhtä suuri kuin hitausmomentin summa sen akselin ympärillä, joka leikkaa kappaleen massakeskuksen ja on yhdensuuntainen ensimmäisen kanssa., ja kehon massan tulo kerrotaan näiden akselien välisen etäisyyden neliöllä. Matemaattisesti tämä muotoilu kirjoitetaan seuraavasti:

I_Z=I_O + ml²

I_Z ja I_O - hitausmomentit Z-akselin ja sen suuntaisen O-akselin ympärillä, joka ohittaa kehon massakeskipisteen läpi, l - viivojen Z ja O välinen etäisyys.

Lause sallii I_O arvon tiedossa laskeamikä tahansa muu hetki I_Z akselin ympärillä, joka on yhdensuuntainen O:n kanssa.

Laueen todistus

Steinerin lausekaava voidaan helposti saada itse. Tätä varten harkitse mieliv altaista kappaletta xy-tasolla. Anna koordinaattien origon kulkea tämän kappaleen massakeskuksen läpi. Lasketaan hitausmomentti I_O, joka kulkee origon kautta kohtisuorassa xy-tasoon nähden. Koska etäisyys mihin tahansa kappaleen pisteeseen ilmaistaan kaavalla r=√ (x² + y²), niin saadaan integraali:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Siirretään nyt akselia yhdensuuntaisesti x-akselia pitkin etäisyyden l verran, esimerkiksi positiiviseen suuntaan, niin uuden hitausmomentin akselin laskenta näyttää tältä:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Laajenna koko neliö suluissa ja jaa integrandit, saamme:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Ensimmäinen näistä termeistä on arvo I_O, kolmas termi integroinnin jälkeen antaa termin l²m, ja tässä toinen termi on nolla. Määritellyn integraalin nollaus johtuu siitä, että se on otettu x:n ja massaalkioiden dm tulosta, jokakeskiarvo antaa nollan, koska massakeskus on origossa. Tuloksena saadaan Steinerin lauseen kaava.

Tasossa tarkasteltu tapaus voidaan yleistää kolmiulotteiseksi kappaleeksi.

Steinerin kaavan tarkistaminen sauvan esimerkissä

Annetaan yksinkertainen esimerkki yllä olevan lauseen käyttämisen osoittamiseksi.

Tiedetään, että sauvan, jonka pituus on L ja massa m, hitausmomentti I_O(akseli kulkee massakeskuksen läpi) on yhtä suuri kuin m L² /12, ja hetki I_Z(akseli kulkee tangon pään läpi) on yhtä suuri kuin mL 2^{/3. Tarkastetaan tämä data Steinerin lauseen avulla. Koska kahden akselin välinen etäisyys on L/2, saamme hetken I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Toisin sanoen tarkistimme Steinerin kaavan ja saimme saman arvon I_Z kuin lähteessä.

Samank altaisia laskelmia voidaan tehdä muille kappaleille (sylinteri, pallo, kiekko) samalla kun saadaan tarvittavat hitausmomentit ja ilman integrointia.

Hitausmomentti ja kohtisuorat akselit

Tarkasteltu lause koskee yhdensuuntaisia akseleita. Tietojen täydellisyyden vuoksi on myös hyödyllistä antaa lause kohtisuoralle akseleille. Se muotoillaan seuraavasti: mieliv altaisen muotoisen litteän esineen hitausmomentti siihen kohtisuorassa olevan akselin ympäri on yhtä suuri kuin kahden keskenään kohtisuorassa olevan ja makaavan hitausmomentin summa.akselikohteen tasossa kaikkien kolmen akselin kulkeessa saman pisteen kautta. Matemaattisesti tämä on kirjoitettu seuraavasti:

I_z=I_x + I_y

Tässä z, x, y ovat kolme keskenään kohtisuoraa kiertoakselia.

Tämän lauseen ja Steinerin lauseen olennainen ero on, että sitä voidaan soveltaa vain tasaisiin (kaksiulotteisiin) kiinteisiin esineisiin. Käytännössä sitä kuitenkin käytetään laaj alti leikkaamalla kehon henkisesti erillisiin kerroksiin ja lisäämällä sitten saatuja hitausmomentteja.