Matematiikka on pohjimmiltaan abstrakti tiede, jos siirrymme pois alkeiskäsitteistä. Joten parilla omenalla voit kuvata visuaalisesti matematiikan taustalla olevat perustoiminnot, mutta heti kun toimintataso laajenee, nämä kohteet eivät riitä. Onko kukaan yrittänyt kuvata operaatioita äärettömillä joukoilla omenoilla? Siinä se juttu, ei. Mitä monimutkaisemmiksi tuli käsitteet, joiden kanssa matematiikka toimii tuomioissaan, sitä ongelmallisemm alta tuntui niiden visuaalinen ilmaisu, joka olisi suunniteltu helpottamaan ymmärtämistä. Sekä nykyajan opiskelijoiden että tieteen onnellisuuden vuoksi johdettiin kuitenkin Eulerin ympyrät, joista esimerkkejä ja mahdollisuuksia tarkastellaan alla.
Hieman historiaa
17. huhtikuuta 1707 maailma antoi tieteelle Leonhard Eulerin, merkittävän tiedemiehen, jonka panosta matematiikkaan, fysiikkaan, laivanrakennukseen ja jopa musiikin teoriaan ei voi yliarvioida.
Hänen teoksensa ovat tunnustettuja ja kysyttyjä kaikkialla maailmassa tähän päivään asti, vaikka tiede ei pysähdy. Erityisen kiinnostavaa on se, että herra Euler osallistui suoraan venäläisen korkeamman matematiikan koulukunnan muodostumiseen, varsinkin kun hän kohtalon tahdosta palasi osav altioomme kahdesti. Tiedemiehellä oli ainutlaatuinen kyky rakentaa algoritmeja, jotka olivat loogiselta läpinäkyviä, katkaisivat kaiken tarpeettoman ja siirtyivät yleisestä erityiseen mahdollisimman lyhyessä ajassa. Emme luettele kaikkia hänen ansioitaan, koska se vie paljon aikaa, ja siirrymme suoraan artikkelin aiheeseen. Hän ehdotti operaatioiden graafista esitystä sarjoissa. Eulerin ympyrät pystyvät visualisoimaan minkä tahansa, jopa monimutkaisimmankin ongelman ratkaisun.
Mitä järkeä on?
Käytännössä Eulerin ympyröitä, joiden kaavio on esitetty alla, voidaan käyttää paitsi matematiikassa, koska "joukon" käsite ei ole ominaista vain tälle tieteenalalle. Joten niitä sovelletaan menestyksekkäästi johtamiseen.
Yllä oleva kaavio näyttää joukkojen A (irrationaaliset luvut), B (rationaaliluvut) ja C (luonnolliset luvut) suhteet. Ympyrät osoittavat, että joukko C sisältyy joukkoon B, kun taas joukko A ei leikkaa niitä millään tavalla. Esimerkki on yksinkertaisin, mutta se selittää selkeästi "joukkojen suhteiden" erityispiirteet, jotka ovat liian abstrakteja todelliseen vertailuun, jo pelkästään niiden äärettömyyden vuoksi.
Logiikan algebra
Tämä aluematemaattinen logiikka toimii väitteillä, jotka voivat olla sekä tosi että epätosi. Esimerkiksi alkeisarvosta: luku 625 on jaollinen 25:llä, luku 625 on jaollinen 5:llä, luku 625 on alkuluku. Ensimmäinen ja toinen väite ovat totta, kun taas viimeinen on epätosi. Tietenkin käytännössä kaikki on monimutkaisempaa, mutta olemus näkyy selvästi. Ja tietysti Euler-piirit ovat jälleen mukana ratkaisussa, esimerkit niiden käytöstä ovat liian käteviä ja visuaalisia ohitettavaksi.
Hieman teoriaa:
- Anna joukot A ja B olemassa eivätkä tyhjiä, niin niille määritellään seuraavat leikkaus-, liitos- ja negaatiooperaatiot.
- Jukkojen A ja B leikkauspiste koostuu elementeistä, jotka kuuluvat samanaikaisesti sekä joukkoon A että joukkoon B.
- Jukkojen A ja B liitto koostuu elementeistä, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B.
- Joukon A negaatio on joukko, joka koostuu elementeistä, jotka eivät kuulu joukkoon A.
Kaiken tämän kuvaavat jälleen Eulerin ympyrät logiikassa, koska heidän avullaan jokainen tehtävä tulee monimutkaisuusasteesta riippumatta ilmeiseksi ja visuaaliseksi.
Logiikan algebran aksioomat
Oletetaan, että 1 ja 0 ovat olemassa ja ne on määritelty joukossa A, sitten:
- joukon A negaatio on asetettu A;
- joukon A liitto ei_A:n kanssa on 1;
- joukon A liitto 1:n kanssa on 1;
- joukon A liitto itsensä kanssa on joukko A;
- sarjan A liitto0:lla on joukko A;
- joukon A ja not_A leikkauspiste on 0;
- joukon A leikkauspiste itsensä kanssa on asetettu A;
- joukon A leikkauspiste 0:n kanssa on 0;
- joukon A ja 1:n leikkauspiste asetetaan A.
Logiikan algebran perusominaisuudet
Annetaan joukkojen A ja B olla olemassa eivätkä ne ole tyhjiä, sitten:
- joukkojen A ja B leikkauspisteeseen ja liittoon sovelletaan kommutatiivista lakia;
- yhdistelmälakia sovelletaan joukkojen A ja B leikkauspisteeseen ja liittoon;
- jakolakia sovelletaan joukkojen A ja B leikkauspisteeseen ja liittoon;
- joukkojen A ja B leikkauspisteen negaatio on joukkojen A ja B negaatioiden leikkauspiste;
- joukkojen A ja B liiton negaatio on joukkojen A ja B negaatioiden liitto.
Seuraavassa on Eulerin ympyrät, esimerkkejä joukkojen A, B ja C leikkauspisteistä ja liitoksista.
Näkymät
Leonhard Eulerin teoksia pidetään oikeutetusti modernin matematiikan perustana, mutta nyt niitä käytetään menestyksekkäästi ihmistoiminnan aloilla, jotka ovat ilmaantuneet suhteellisen äskettäin, esimerkiksi yritysjohtaminen: Eulerin ympyrät, esimerkit ja kaaviot kuvaavat sen mekanismeja. kehitysmalleja, olipa kyseessä venäläinen tai englantilais-amerikkalainen versio.
