Mekaanista järjestelmää, joka koostuu materiaalipisteestä (rungosta), joka roikkuu venymättömässä painottomassa langassa (sen massa on mitätön kappaleen painoon verrattuna) yhtenäisessä painovoimakentässä, kutsutaan matemaattiseksi heiluriksi (toinen nimi on oskillaattori). Tätä laitetta on muitakin tyyppejä. Kierteen sijasta voidaan käyttää painotonta tankoa. Matemaattinen heiluri voi selvästi paljastaa monien mielenkiintoisten ilmiöiden olemuksen. Pienellä värähtelyamplitudilla sen liikettä kutsutaan harmoniseksi.
Mekaanisen järjestelmän yleiskatsaus
Tämän heilurin värähtelyjakson kaavan on johdattanut hollantilainen tiedemies Huygens (1629-1695). Tämä I. Newtonin aikalainen piti kovasti tästä mekaanisesta järjestelmästä. Vuonna 1656 hän loi ensimmäisen heilurikellon. He mittasivat aikaa poikkeuksellisella tavallanoiden aikojen tarkkuuteen. Tästä keksinnöstä on tullut tärkeä virstanpylväs fyysisten kokeiden ja käytännön toimintojen kehittämisessä.
Jos heiluri on tasapainossa (roikkuu pystysuunnassa), painovoima tasapainotetaan langan kireyden voimalla. Litteä heiluri venymättömässä kierteessä on järjestelmä, jossa on kaksi vapausastetta, jossa on yhteys. Kun muutat vain yhtä komponenttia, sen kaikkien osien ominaisuudet muuttuvat. Joten jos kierre korvataan tangolla, tällä mekaanisella järjestelmällä on vain 1 vapausaste. Mitkä ovat matemaattisen heilurin ominaisuudet? Tässä yksinkertaisimmassa järjestelmässä kaaos syntyy jaksoittaisen häiriön vaikutuksesta. Siinä tapauksessa, että ripustuspiste ei liiku, vaan värähtelee, heiluri saa uuden tasapainoasennon. Nopeilla ylös ja alas värähtelyillä tämä mekaaninen järjestelmä saavuttaa vakaan ylösalaisin asennon. Hänellä on myös oma nimi. Sitä kutsutaan Kapitzan heiluriksi.
Heilurin ominaisuudet
Matemaattisella heilurilla on erittäin mielenkiintoisia ominaisuuksia. Kaikki ne vahvistetaan tunnetuilla fysikaalisilla laeilla. Minkä tahansa muun heilurin värähtelyjakso riippuu erilaisista olosuhteista, kuten rungon koosta ja muodosta, ripustuspisteen ja painopisteen välisestä etäisyydestä, massan jakautumisesta tähän pisteeseen. Siksi riippuvan rungon ajanjakson määrittäminen on melko vaikea tehtävä. Matemaattisen heilurin jakso on paljon helpompi laskea, jonka kaava annetaan alla. Samank altaisten havaintojen seurauksenamekaaniset järjestelmät voivat luoda seuraavat kuviot:
• Jos ripustamme eri painoja samalla kun heilurin pituus pysyy samana, niiden värähtelyjakso on sama, vaikka niiden massat vaihtelevat suuresti. Siksi tällaisen heilurin jakso ei riipu kuorman massasta.
• Järjestelmää käynnistettäessä, jos heiluri taipuu ei liian suurilla, vaan eri kulmilla, se alkaa värähdellä samalla jaksolla, mutta eri amplitudeilla. Niin kauan kuin poikkeamat tasapainokeskipisteestä eivät ole liian suuria, värähtelyt ovat muodoltaan melko lähellä harmonisia. Tällaisen heilurin jakso ei riipu millään tavalla värähtelyamplitudista. Tämän mekaanisen järjestelmän tätä ominaisuutta kutsutaan isokronismiksi (käännettynä kreikan kielestä "chronos" - aika, "isos" - yhtä suuri).
Matemaattisen heilurin jakso
Tämä indikaattori edustaa luonnollisten värähtelyjen jaksoa. Monimutkaisesta sanamuodosta huolimatta prosessi itsessään on hyvin yksinkertainen. Jos matemaattisen heilurin langan pituus on L ja vapaan pudotuksen kiihtyvyys on g, niin tämä arvo on:
T=2π√L/g
Pienten luonnollisten värähtelyjen jakso ei millään tavalla riipu heilurin massasta ja värähtelyjen amplitudista. Tässä tapauksessa heiluri liikkuu kuin matemaattinen heiluri, jonka pituus on lyhennetty.
Matemaattisen heilurin keinut
Matemaattinen heiluri värähtelee, jota voidaan kuvata yksinkertaisella differentiaaliyhtälöllä:
x + ω2 sin x=0, jossa x (t) on tuntematon funktio (tämä on poikkeamakulma alemmastatasapainoasema hetkellä t radiaaneina ilmaistuna); ω on positiivinen vakio, joka määritetään heilurin parametreistä (ω=√g/L, missä g on vapaan pudotuksen kiihtyvyys ja L on matemaattisen heilurin (jousituksen) pituus.
Pienten vaihteluiden yhtälö lähellä tasapainoasemaa (harmoninen yhtälö) näyttää tältä:
x + ω2 sin x=0
Heilurin värähtelevät liikkeet
Matemaattinen heiluri, joka saa pieniä värähtelyjä liikkumaan sinia altoa pitkin. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö täyttää kaikki tällaisen liikkeen vaatimukset ja parametrit. Liikeradan määrittämiseksi sinun on määritettävä nopeus ja koordinaatti, joista sitten määritetään riippumattomat vakiot:
x=synti (θ0 + ωt), jossa θ0 on alkuvaihe, A on värähtelyamplitudi, ω on liikeyhtälöstä määritetty syklinen taajuus.
Matemaattinen heiluri (suurten amplitudien kaavat)
Tämä mekaaninen järjestelmä, joka tekee värähtelynsä merkittävällä amplitudilla, noudattaa monimutkaisempia liikelakeja. Tällaiselle heilurille ne lasketaan kaavalla:
sin x/2=usn(ωt/u), jossa sn on Jacobin sini, joka u:lle < 1 on jaksollinen funktio, ja pienelle u:lle se osuu yhteen yksinkertaisen trigonometrisen sinin kanssa. U:n arvo määritetään seuraavalla lausekkeella:
u=(ε + ω2)/2ω2, jossa ε=E/mL2 (mL2 on heilurin energia).
Epälineaarisen heilurin värähtelyjakson määrittäminensuoritetaan kaavan mukaan:
T=2π/Ω, jossa Ω=π/2ω/2K(u), K on elliptinen integraali, π - 3, 14.
Heilurin liike erotusviivaa pitkin
Separtriksi on dynaamisen järjestelmän liikerata, jossa on kaksiulotteinen vaiheavaruus. Matemaattinen heiluri liikkuu sitä pitkin ei-jaksollisesti. Äärettömän kaukaisella ajanhetkellä se putoaa äärimmäisestä yläasennosta sivulle nollanopeudella ja poimii sen sitten vähitellen ylös. Lopulta se pysähtyy ja palaa alkuperäiseen asentoonsa.
Jos heilurin värähtelyjen amplitudi lähestyy lukua π, tämä osoittaa, että liike vaihetasolla lähestyy erottelua. Tässä tapauksessa mekaaninen järjestelmä käyttäytyy kaoottisesti pienen jaksoittaisen käyttövoiman vaikutuksesta.
Kun matemaattinen heiluri poikkeaa tasapainoasennosta tietyllä kulmalla φ, syntyy tangentiaalinen painovoima Fτ=–mg sin φ. Miinusmerkki tarkoittaa, että tämä tangentiaalinen komponentti on suunnattu vastakkaiseen suuntaan kuin heilurin taipuma. Kun heilurin siirtymä ympyrän kaarella, jonka säde on L, on merkitty x:llä, sen kulmasiirtymä on yhtä suuri kuin φ=x/L. Isaac Newtonin toinen laki, joka on suunniteltu kiihtyvyysvektorin ja voiman projektioihin, antaa halutun arvon:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Tämän suhteen perusteella on selvää, että tämä heiluri on epälineaarinen järjestelmä, koska voima, joka pyrkii palaamaanse tasapainoasentoon, ei ole aina verrannollinen siirtymään x, vaan sin x/L.
Vain kun matemaattinen heiluri tekee pieniä värähtelyjä, se on harmoninen oskillaattori. Toisin sanoen siitä tulee mekaaninen järjestelmä, joka pystyy suorittamaan harmonisia värähtelyjä. Tämä likiarvo pätee käytännössä 15–20° kulmille. Heilurin värähtelyt suurilla amplitudeilla eivät ole harmonisia.
Newtonin laki heilurin pienille värähtelyille
Jos tämä mekaaninen järjestelmä suorittaa pieniä tärinöitä, Newtonin 2. laki näyttää tältä:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Tämän perusteella voimme päätellä, että matemaattisen heilurin tangentiaalinen kiihtyvyys on verrannollinen sen siirtymään miinusmerkillä. Tämä on tila, jonka vuoksi järjestelmästä tulee harmoninen oskillaattori. Siirtymän ja kiihtyvyyden välisen suhteellisen vahvistuksen moduuli on yhtä suuri kuin ympyrätaajuuden neliö:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
Tämä kaava heijastaa tämän tyyppisen heilurin pienten värähtelyjen luonnollista taajuutta. Tämän perusteella
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Energian säilymislakiin perustuvat laskelmat
Heilurin värähtelevien liikkeiden ominaisuuksia voidaan kuvata myös energian säilymisen lailla. Tässä tapauksessa on otettava huomioon, että heilurin potentiaalienergia gravitaatiokentässä on:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Mekaaninen kokonaisenergiaon yhtä suuri kuin kineettinen tai maksimipotentiaali: Epmax=Ekmsx=E
Kun energian säilymislaki on kirjoitettu, ota yhtälön oikean ja vasemman puolen derivaatta:
Ep + Ek=const
Koska vakioarvojen derivaatta on 0, niin (Ep + Ek)'=0. Summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, siis:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Viimeisen kaavan perusteella löydämme: α=- g/Lx.
Matemaattisen heilurin käytännön sovellus
Vapaan pudotuksen kiihtyvyys vaihtelee maantieteellisen leveysasteen mukaan, koska maankuoren tiheys koko planeetalla ei ole sama. Jos kiviä, joiden tiheys on suurempi, esiintyy, se on jonkin verran korkeampi. Matemaattisen heilurin kiihtyvyyttä käytetään usein geologisiin tutkimuksiin. Sitä käytetään erilaisten mineraalien etsimiseen. Yksinkertaisesti laskemalla heilurin heilahtelujen lukumäärä, voit löytää hiiltä tai malmia maapallon suolistosta. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että tällaisten fossiilien tiheys ja massa on suurempi kuin niiden alla olevien irtonaisten kivien.
Matemaattista heiluria käyttivät sellaiset merkittävät tiedemiehet kuin Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch ja Archimedes. Monet heistä uskoivat, että tämä mekaaninen järjestelmä voi vaikuttaa ihmisen kohtaloon ja elämään. Arkhimedes käytti laskelmissaan matemaattista heiluria. Nykyään monet okkultistit ja meediotkäytä tätä mekaanista järjestelmää täyttääksesi heidän ennustuksensa tai etsiäksesi kadonneita ihmisiä.
Kuuluisa ranskalainen tähtitieteilijä ja luonnontieteilijä K. Flammarion käytti myös matemaattista heiluria tutkimuksessaan. Hän väitti, että hänen avullaan hän pystyi ennustamaan uuden planeetan löytämisen, Tunguskan meteoriitin ilmestymisen ja muita tärkeitä tapahtumia. Toisen maailmansodan aikana Saksassa (Berliinissä) toimi erikoistunut heiluriinstituutti. Nykyään Münchenin parapsykologian instituutti harjoittaa vastaavaa tutkimusta. Tämän laitoksen työntekijät kutsuvat työtään heilurin kanssa "radiestesiaksi".
