Jen tahansa pyramidin tyypillisiä lineaarisia parametreja ovat sen pohjan sivujen pituudet, korkeus, sivureunat ja apoteemit. Siitä huolimatta on toinen ominaisuus, joka liittyy mainittuihin parametreihin - tämä on dihedraalinen kulma. Mieti artikkelissa, mikä se on ja miten se löytyy.
Tilallinen kuviopyramidi
Jokaisella opiskelijalla on hyvä käsitys siitä, mikä on vaakalaudalla, kun hän kuulee sanan "pyramidi". Se voidaan rakentaa geometrisesti seuraavasti: valitse tietty polygoni, kiinnitä sitten piste avaruuteen ja yhdistä se monikulmion jokaiseen kulmaan. Tuloksena oleva kolmiulotteinen hahmo on mieliv altaisen tyyppinen pyramidi. Sen muodostavaa monikulmiota kutsutaan pohjaksi, ja piste, johon sen kaikki kulmat liittyvät, on kuvion kärki. Alla oleva kuva esittää kaaviomaisesti viisikulmaista pyramidia.
Voidaan nähdä, että sen pintaa ei muodosta vain viisikulmio, vaan myös viisi kolmiota. Yleensä näiden kolmioiden lukumäärä on yhtä suuri kuin lukumonikulmion pohjan sivut.
Kuvan kaksitahoiset kulmat
Kun geometrisia ongelmia tarkastellaan tasossa, mikä tahansa kulma muodostuu kahdesta leikkaavasta suorasta tai segmentistä. Avaruudessa näihin lineaarisiin kulmiin lisätään dihedraaliset kulmat, jotka muodostuvat kahden tason leikkauspisteestä.
Jos merkittyä avaruuden kulman määritelmää sovelletaan kyseiseen kuvioon, voidaan sanoa, että dihedraalisia kulmia on kahdenlaisia:
- Pyramidin juurella. Sen muodostaa pohjan taso ja mikä tahansa sivupinta (kolmio). Tämä tarkoittaa, että pyramidin kantakulmat ovat n, missä n on monikulmion sivujen lukumäärä.
- Sivujen välissä (kolmiot). Näiden dihedraalisten kulmien lukumäärä on myös n kappaletta.
Huomaa, että ensimmäisen tyyppiset tarkasteltavat kulmat on rakennettu alustan reunoihin, toinen tyyppi - sivureunoihin.
Miten lasketaan pyramidin kulmat?
Dihedraalisen kulman lineaarinen kulma on jälkimmäisen mitta. Sen laskeminen ei ole helppoa, koska pyramidin pinnat, toisin kuin prisman pinnat, eivät yleensä leikkaa suorassa kulmassa. Luotettavin on laskea dihedraalisten kulmien arvot käyttämällä tason yhtälöitä yleismuodossa.
Kolmiulotteisessa avaruudessa taso saadaan seuraavalla lausekkeella:
Ax + By + Cz + D=0
Missä A, B, C, D ovat joitain reaalilukuja. Tämän yhtälön mukavuus on, että kolme ensimmäistä merkittyä numeroa ovat vektorin koordinaatit,joka on kohtisuorassa annettua tasoa vastaan, eli:
n¯=[A; B; C]
Jos kolmen tasoon kuuluvan pisteen koordinaatit tunnetaan, niin ottamalla kahden näihin pisteisiin rakennetun vektorin vektoritulo saadaan koordinaatit n¯. Vektoria n¯ kutsutaan tason ohjeeksi.
Määritelmän mukaan kahden tason leikkauspisteestä muodostuva dihedraalikulma on yhtä suuri kuin niiden suuntavektorien välinen lineaarikulma. Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa, joiden normaalivektorit ovat yhtä suuret:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Voit laskea niiden välisen kulman φ käyttämällä skalaarituloominaisuutta, jolloin vastaava kaava tulee:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Tai koordinaattimuodossa:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Näytetään, miten yllä olevaa menetelmää käytetään dihedraalisten kulmien laskemiseen geometrisia tehtäviä ratkaistaessa.
säännöllisen nelikulmaisen pyramidin kulmat
Oletetaan, että on säännöllinen pyramidi, jonka pohjassa on neliö, jonka sivu on 10 cm. Kuvan korkeus on12 cm. On tarpeen laskea mitkä ovat dihedraaliset kulmat pyramidin pohjalla ja sen sivuilla.
Koska tehtävän ehdossa annettu kuva on oikea, eli sillä on suuri symmetria, niin kaikki kulmat pohjassa ovat keskenään yhtä suuret. Myös sivupintojen muodostamat kulmat ovat samat. Vaadittujen dihedraalisten kulmien laskemiseksi löydämme suuntavektorit kanta- ja kahdelle sivutasolle. Merkitse pohjan sivun pituus kirjaimella a ja korkeus h.
Yllä olevassa kuvassa on nelikulmainen säännöllinen pyramidi. Kirjoitetaan pisteiden A, B, C ja D koordinaatit syötetyn koordinaattijärjestelmän mukaisesti:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Nyt löydämme suuntavektorit kantatasoille ABC ja molemmille sivuille ABD ja BCD yllä olevassa kappaleessa kuvatun menetelmän mukaisesti:
ABC:lle:
AB¯=(0; a; 0); AC=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Nyt on vielä sovellettava kulman φ asianmukaista kaavaa ja korvattava sivu- ja korkeusarvot ongelmalausekkeesta:
Kulma ABC:n jaABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
ABD:n ja BDC:n välinen kulma:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Lasimme kulmien arvot, jotka oli löydettävä ongelman tilanteen mukaan. Tehtävän ratkaisussa saatujen kaavojen avulla voidaan määrittää nelikulmaisten säännöllisten pyramidien dihedraaliset kulmat millä tahansa arvolla a ja h.
Kolmiomaisen säännöllisen pyramidin kulmat
Alla olevassa kuvassa on pyramidi, jonka kanta on säännöllinen kolmio. Tiedetään, että sivujen välinen dihedraalinen kulma on oikea. Pohjan pinta-ala on laskettava, jos tiedetään, että kuvion korkeus on 15 cm.
Diedraalinen kulma, joka on 90o, on merkitty ABC:ksi kuvassa. Voit ratkaista ongelman yllä olevalla menetelmällä, mutta tässä tapauksessa teemme sen helpommin. Merkitään kolmion a sivu, kuvion korkeus - h, apoteema - hb ja sivukylkiluita - b. Nyt voit kirjoittaa seuraavat kaavat:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Koska pyramidin kaksi sivukolmiota ovat samat, sivut AB ja CB ovat yhtä suuret ja ne ovat kolmion ABC jalkoja. Merkitään niiden pituus x:llä, sitten:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Tasaa sivukolmioiden alueet ja korvaa apoteemi vastaavalla lausekkeella, saamme:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Tasasivuisen kolmion pinta-ala lasketaan seuraavasti:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Korvaa korkeusarvo tehtävän ehdosta, saamme vastauksen: S=584, 567 cm2.
