Tasojen väliset kulmat. Kuinka määrittää tasojen välinen kulma

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Avaruuden geometrisia ongelmia ratkaistaessa on usein sellaisia, joissa on tarpeen laskea kulmat eri tilaobjektien välillä. Tässä artikkelissa tarkastelemme kysymystä tasojen välisten kulmien löytämisestä sekä niiden ja suoran välisestä kulmasta.

Line avaruudessa

On tunnettua, että täysin mikä tahansa tason suora voidaan määrittää seuraavalla yhtälöllä:

y=ax + b

Tässä a ja b ovat joitain lukuja. Jos edustamme suoraa avaruudessa samalla lausekkeella, saadaan taso, joka on yhdensuuntainen z-akselin kanssa. Tilaviivan matemaattiseen määrittelyyn käytetään eri ratkaisumenetelmää kuin kaksiulotteisessa tapauksessa. Se koostuu "suuntavektorin" käsitteen käytöstä.

Suoran suuntausvektori näyttää sen suunnan avaruudessa. Tämä parametri kuuluu riville. Koska avaruudessa on ääretön joukko yhdensuuntaisia vektoreita, niin tarkasteltavan geometrisen kohteen yksilöimiseksi on myös tiedettävä siihen kuuluvan pisteen koordinaatit.

Oletetaan, että onpiste P(x₀; y₀; z_{0) ja suuntavektori v¯(a; b; c), niin suoran yhtälö voidaan antaa seuraavasti:}

(x; y; z)=P + αv¯ tai

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Tätä lauseketta kutsutaan suoran parametrivektoriyhtälöksi. Kerroin α on parametri, joka voi ottaa mitä tahansa reaaliarvoa. Suoran koordinaatit voidaan esittää eksplisiittisesti laajentamalla tätä yhtälöä:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Tason yhtälö

On olemassa useita tapoja kirjoittaa yhtälö tasolle avaruudessa. Tässä tarkastellaan yhtä niistä, jota käytetään useimmiten laskettaessa kahden tason tai yhden niistä ja suoran välisiä kulmia.

Jos tunnetaan jokin vektori n¯(A; B; C), joka on kohtisuorassa haluttuun tasoon nähden, ja piste P(x₀; y ₀; z_{0), joka kuuluu siihen, niin jälkimmäisen yleinen yhtälö on:}

Ax + By + Cz + D=0 missä D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Olemme jättäneet pois tämän lausekkeen johtamisen, joka on melko yksinkertainen. Tässä huomautetaan vain, että tietäen tason yhtälön muuttujien kertoimet, voidaan helposti löytää kaikki vektorit, jotka ovat kohtisuorassa sitä vastaan. Jälkimmäisiä kutsutaan normaaleiksi ja niitä käytetään laskettaessa kulmia vinon ja tason välillä sekämieliv altaiset analogit.

Tasojen sijainti ja niiden välisen kulman kaava

Oletetaan, että konetta on kaksi. Mitkä ovat vaihtoehdot heidän suhteelliselle asemalleen avaruudessa. Koska tasossa on kaksi ääretöntä ulottuvuutta ja yksi nolla, vain kaksi vaihtoehtoa niiden keskinäiselle suuntautumiselle on mahdollista:

ne ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa;
ne voivat mennä päällekkäin.

Tasojen välinen kulma on niiden suuntavektorien välinen indeksi, eli niiden normaalien n₁¯ ja n_2¯.

Jos ne ovat samansuuntaisia tason kanssa, leikkauskulma on luonnollisesti nolla niiden välillä. Jos ne leikkaavat, se ei ole nolla, mutta aina terävä. Leikkauksen erikoistapaus on kulma 90o, kun tasot ovat keskenään kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kulma α n₁¯ ja n_{2¯ välillä on helppo määrittää näiden vektoreiden skalaaritulosta. Eli kaava tapahtuu:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Oletetaan, että näiden vektorien koordinaatit ovat: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Sitten käyttämällä kaavoja skalaaritulon ja vektorien moduulien laskentaan niiden koordinaattien kautta, yllä oleva lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Osoittimen moduuli ilmestyi, koska tylpäiden kulmien arvot jätettiin pois.

Esimerkkejä tehtävien ratkaisemisesta tasojen leikkauskulman määrittämiseksi

Tietäen kuinka löytää tasojen välinen kulma, ratkaisemme seuraavan ongelman. On annettu kaksi tasoa, joiden yhtälöt ovat:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Mikä on tasojen välinen kulma?

Tehtävän kysymykseen vastaamiseksi muistetaan, että tason yleisen yhtälön muuttujien kertoimet ovat ohjausvektorin koordinaatteja. Osoitetuille tasoille meillä on seuraavat niiden normaalien koordinaatit:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Nyt löydämme näiden vektorien ja niiden moduulien skalaaritulon, meillä on:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Nyt voit korvata löydetyt luvut edellisessä kappaleessa annettuun kaavaan. Saamme:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Saatu arvo vastaa ehdossa määritettyjen tasojen terävää leikkauskulmaatehtävät.

Ajattele nyt toista esimerkkiä. Annettu kaksi tasoa:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Leikkaavatko ne? Kirjoitetaan niiden suuntavektorien koordinaattien arvot, lasketaan niiden skalaaritulo ja moduulit:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Sitten leikkauskulma on:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Tämä kulma osoittaa, että tasot eivät leikkaa, vaan ovat yhdensuuntaisia. Se, että ne eivät vastaa toisiaan, on helppo tarkistaa. Otetaan tähän mieliv altainen piste, joka kuuluu ensimmäiseen niistä, esimerkiksi P(0; 3; 2). Korvaa sen koordinaatit toiseen yhtälöön, saamme:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Toisin sanoen piste P kuuluu vain ensimmäiseen tasoon.

Joten kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia, kun niiden normaalit ovat.

Taso ja suora

Kun otetaan huomioon tason ja suoran välinen suhteellinen sijainti, vaihtoehtoja on useita enemmän kuin kahdella tasolla. Tämä tosiasia liittyy siihen tosiasiaan, että suora viiva on yksiulotteinen kohde. Linja ja taso voivat olla:

toistensa yhdensuuntainen, tässä tapauksessa taso ei leikkaa suoraa;
jälkimmäinen voi kuulua tasoon, mutta se on myös yhdensuuntainen sen kanssa;
molemmat objektit voivatleikkaavat jossain kulmassa.

Katsotaan ensin viimeinen tapaus, koska se edellyttää leikkauskulman käsitteen käyttöönottoa.

Suora ja taso, niiden välinen kulma

Jos suora leikkaa tason, sitä kutsutaan k altevaksi suhteessa siihen. Leikkauspistettä kutsutaan rinteen pohjaksi. Näiden geometristen kohteiden välisen kulman määrittämiseksi on tarpeen laskea suora kohtisuoraan tasoon nähden mistä tahansa pisteestä. Sitten kohtisuoran leikkauspiste tason kanssa ja k altevan viivan leikkauspaikka sen kanssa muodostavat suoran. Jälkimmäistä kutsutaan alkuperäisen suoran projektioksi tarkasteltavalle tasolle. Suoran ja sen projektion välinen terävä kulma on vaadittu.

Hieman hämmentävä tason ja vinon välisen kulman määritelmä selventää alla olevaa kuvaa.

Tässä kulma ABO on suoran AB ja tason a välinen kulma.

Jos haluat kirjoittaa sen kaavan muistiin, harkitse esimerkkiä. Olkoon suora ja taso, jotka kuvataan yhtälöillä:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Näille kohteille on helppo laskea haluttu kulma, jos löydät skalaaritulon suoran ja tason suuntavektorien välillä. Tuloksena oleva terävä kulma tulee vähentää arvosta 90o, jolloin se saadaan suoran ja tason väliltä.

Yllä oleva kuva esittää kuvatun etsintäalgoritminharkittu kulma. Tässä β on normaalin ja suoran välinen kulma ja α on suoran ja sen tasoon projektion välinen kulma. Voidaan nähdä, että niiden summa on 90o.

Yllä esitettiin kaava, joka vastaa kysymykseen kuinka löytää tasojen välinen kulma. Nyt annetaan vastaava lauseke suoran ja tason tapaukselle:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Kaavan moduuli sallii vain terävien kulmien laskemisen. Arkosiinifunktio ilmestyi arkosiinin tilalle johtuen vastaavan pelkistyskaavan käytöstä trigonometristen funktioiden välillä (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Ongelma: Taso leikkaa suoran

Näytetään nyt, miten yllä oleva kaava toimii. Ratkaistaan ongelma: on tarpeen laskea y-akselin ja yhtälön antaman tason välinen kulma:

y - z + 12=0

Tämä kone näkyy kuvassa.

Voit nähdä, että se leikkaa y- ja z-akselit pisteissä (0; -12; 0) ja (0; 0; 12), vastaavasti, ja on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Y-viivan suuntavektorilla on koordinaatit (0; 1; 0). Tiettyyn tasoon nähden kohtisuorassa olevalle vektorille on tunnusomaista koordinaatit (0; 1; -1). Käytämme kaavaa suoran ja tason leikkauskulmalle, saamme:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Ongelma: tason suuntainen suora

Nyt tehdään päätössamanlainen kuin edellinen ongelma, jonka kysymys esitetään eri tavalla. Tason ja suoran yhtälöt tunnetaan:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

On tarpeen selvittää, ovatko nämä geometriset objektit yhdensuuntaiset toistensa kanssa.

Meillä on kaksi vektoria: suoran suunta on (0; 2; 2) ja tason suunta on (1; 1; -1). Löydä heidän pistetuotteensa:

01 + 12 - 12=0

Saatu nolla osoittaa, että näiden vektorien välinen kulma on 90o, mikä todistaa, että suora ja taso ovat yhdensuuntaiset.

Tarkistetaan nyt, onko tämä suora vain yhdensuuntainen vai onko se myös tasossa. Voit tehdä tämän valitsemalla viiv alta mieliv altaisen pisteen ja tarkistamalla, kuuluuko se tasoon. Otetaan esimerkiksi λ=0, jolloin piste P(1; 0; 0) kuuluu suoralle. Korvaa tason P yhtälöön:

1 - 3=-2 ≠ 0

Piste P ei kuulu tasoon, mikä tarkoittaa, että koko suora ei myöskään ole siinä.

Missä on tärkeää tietää tarkasteltavien geometristen kohteiden väliset kulmat?

Yllä olevat kaavat ja esimerkit ongelmanratkaisusta eivät ole vain teoreettisia. Niitä käytetään usein määrittämään tärkeitä fysikaalisia määriä todellisista kolmiulotteisista hahmoista, kuten prismoista tai pyramideista. Tasojen välisen kulman määrittäminen on tärkeää, kun lasketaan kuvioiden tilavuuksia ja niiden pintojen pinta-aloja. Lisäksi, jos suoran prisman tapauksessa on mahdollista olla käyttämättä näitä kaavoja määrittämiseenmääritetyt arvot, minkä tahansa tyyppisille pyramideille niiden käyttö on väistämätöntä.

Alla esimerkkiä yllä olevan teorian käyttämisestä neliön kantavan pyramidin kulmien määrittämiseen.

Pyramidi ja sen kulmat

Alla olevassa kuvassa on pyramidi, jonka juurella on neliö, jonka sivu on a. Figuurin korkeus on h. On löydettävä kaksi kulmaa:

sivupinnan ja pohjan välissä;
sivujousteen ja pohjan välissä.

Tehtävän ratkaisemiseksi sinun on ensin syötettävä koordinaattijärjestelmä ja määritettävä vastaavien pisteiden parametrit. Kuvasta näkyy, että koordinaattien origo on sama kuin neliökannan keskellä oleva piste. Tässä tapauksessa perustasoa kuvaa yhtälö:

z=0

Toisin sanoen minkä tahansa x:n ja y:n kolmannen koordinaatin arvo on aina nolla. Sivutaso ABC leikkaa z-akselin pisteessä B(0; 0; h) ja y-akselin pisteessä, jossa on koordinaatit (0; a/2; 0). Se ei ylitä x-akselia. Tämä tarkoittaa, että ABC-tason yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

y / (a/2) + z / h=1 tai

2hy + az - ah=0

Vektori AB¯ on sivureuna. Sen alku- ja loppukoordinaatit ovat: A(a/2; a/2; 0) ja B(0; 0; h). Sitten itse vektorin koordinaatit:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Olemme löytäneet kaikki tarvittavat yhtälöt ja vektorit. Nyt on enää käytettävä harkittuja kaavoja.

Ensin lasketaan pyramidissa kannan tasojen välinen kulmaja puolella. Vastaavat normaalivektorit ovat: n₁¯(0; 0; 1) ja n_{2¯(0; 2h; a). Silloin kulma on:}