Viiva ja taso ovat kaksi tärkeintä geometrista elementtiä, joita voidaan käyttää erilaisten muotojen rakentamiseen 2D- ja 3D-avaruudessa. Harkitse kuinka löytää yhdensuuntaisten viivojen ja yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.
Matematiikan tehtäväsuora
Koulun geometriakurssilta tiedetään, että kaksiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä suora voidaan määrittää seuraavassa muodossa:
y=kx + b.
Missä k ja b ovat numeroita (parametreja). Viivan tasossa esittämisen kirjallinen muoto on taso, joka on yhdensuuntainen z-akselin kanssa kolmiulotteisessa avaruudessa. Tämän vuoksi tässä artikkelissa käytämme suoran matemaattisessa määrittämisessä kätevämpää ja yleismaailmallista muotoa - vektorimuotoa.
Oletetaan, että suoramme on yhdensuuntainen jonkin vektorin u¯(a, b, c) kanssa ja kulkee pisteen P(x0, y0, z0). Tässä tapauksessa vektorimuodossa sen yhtälö esitetään seuraavasti:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Tässä λ on mikä tahansa luku. Jos esitämme koordinaatit eksplisiittisesti laajentamalla kirjoitettua lauseketta, saamme suoran kirjoittamisen parametrisen muodon.
Vektoriyhtälön kanssa on kätevää työskennellä, kun ratkaistaan erilaisia ongelmia, joissa on tarpeen määrittää yhdensuuntaisten viivojen välinen etäisyys.
Viivat ja niiden välinen etäisyys
On järkevää puhua viivojen välisestä etäisyydestä vain, kun ne ovat yhdensuuntaisia (kolmiulotteisessa tapauksessa vinojen viivojen välillä on myös nollasta poikkeava etäisyys). Jos suorat leikkaavat, on selvää, että ne ovat nollan etäisyydellä toisistaan.
Rinnakkaisviivojen välinen etäisyys on niitä yhdistävän kohtisuoran pituus. Tämän indikaattorin määrittämiseksi riittää, kun valitset mieliv altaisen pisteen yhdeltä suor alta ja pudotat siitä kohtisuoran toiselle.
Kuvaillaan lyhyesti menettelyä halutun etäisyyden löytämiseksi. Oletetaan, että tiedämme kahden suoran vektoriyhtälöt, jotka esitetään seuraavassa yleisessä muodossa:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Muuta näille suorille suunnikas siten, että toinen sivuista on PQ ja toinen esimerkiksi u. Ilmeisesti tämän kuvan korkeus pisteestä P vedettynä on vaaditun kohtisuoran pituus. Löytääksesi sen, voit soveltaa seuraavaa yksinkertaistakaava:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Koska suorien välinen etäisyys on niiden välisen kohtisuoran janan pituus, niin kirjoitetun lausekkeen mukaan riittää, että löydetään PQ¯:n ja u¯:n vektoritulon moduuli ja jaetaan tulos vektorin pituus u¯.
Esimerkki tehtävästä suorien viivojen välisen etäisyyden määrittämiseksi
Kaksi suoraa saadaan seuraavilla vektoriyhtälöillä:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Kirjoitetuista lausekkeista on selvää, että meillä on kaksi rinnakkaista suoraa. Todellakin, jos kerromme -1:llä ensimmäisen rivin suuntavektorin koordinaatit, saadaan toisen suoran suuntavektorin koordinaatit, mikä osoittaa niiden yhdensuuntaisuuden.
Suorien välinen etäisyys lasketaan artikkelin edellisessä kappaleessa kirjoitetun kaavan avulla. Meillä on:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Sitten saamme:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Huomaa, että pisteiden P ja Q sijasta mitä tahansa näille suorille kuuluvia pisteitä voidaan käyttää ongelman ratkaisemiseen. Tässä tapauksessa saisimme saman etäisyyden d.
Geometrian tason asettaminen
Kysymystä rivien välisestä etäisyydestä käsiteltiin edellä yksityiskohtaisesti. Näytämme nyt kuinka löytää yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.
Kaikki edustavat lentokonetta. Matemaattisen määritelmän mukaan määritetty geometrinen elementti on joukko pisteitä. Lisäksi, jos muodostat kaikki mahdolliset vektorit käyttämällä näitä pisteitä, ne kaikki ovat kohtisuorassa yhteen vektoriin nähden. Jälkimmäistä kutsutaan yleensä tason normaaliksi.
Tason yhtälön määrittämiseen kolmiulotteisessa avaruudessa käytetään useimmiten yhtälön yleistä muotoa. Se näyttää tältä:
Ax + By + Cz + D=0.
Jossa isot latinalaiset kirjaimet ovat joitakin numeroita. Tällaista tasoyhtälöä on kätevää käyttää, koska siinä on eksplisiittisesti annettu normaalivektorin koordinaatit. Ne ovat A, B, C.
On helppo nähdä, että kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia vain, kun niiden normaalit ovat yhdensuuntaiset.
Kuinka löytää kahden yhdensuuntaisen tason välinen etäisyys?
Määritetyn etäisyyden määrittämiseksi sinun tulee ymmärtää selvästi, mikä on vaakalaudalla. Toistensa kanssa yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys ymmärretään niitä vastaan kohtisuorassa olevan segmentin pituudeksi. Tämän segmentin päät kuuluvat tasoihin.
Algoritmi tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi on yksinkertainen. Tätä varten sinun on löydettävä ehdottomasti minkä tahansa pisteen koordinaatit, jotka kuuluvat jompaankumpaan kahdesta tasosta. Sitten sinun tulee käyttää tätä kaavaa:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Koska etäisyys on positiivinen arvo, moduulimerkki on osoittajassa. Kirjoitettu kaava on universaali, koska sen avulla voit laskea etäisyyden tasosta ehdottomasti mihin tahansa geometriseen elementtiin. Riittää, kun tietää tämän elementin yhden pisteen koordinaatit.
Täydentävyyden vuoksi huomautamme, että jos kahden tason normaalit eivät ole yhdensuuntaisia toistensa kanssa, tällaiset tasot leikkaavat. Niiden välinen etäisyys on tällöin nolla.
Tasojen välisen etäisyyden määrittämisen ongelma
Tiedetään, että kaksi tasoa annetaan seuraavilla lausekkeilla:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
On tarpeen todistaa, että tasot ovat yhdensuuntaiset, ja myös määrittää niiden välinen etäisyys.
Jotta voit vastata ongelman ensimmäiseen osaan, sinun on saatettava ensimmäinen yhtälö yleiseen muotoon. Huomaa, että se annetaan ns. yhtälön muodossa segmenteissä. Kerro sen vasen ja oikea osa 15:llä ja siirrä kaikki termit yhtälön toiselle puolelle, saamme:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Kirjoitetaan tasojen kahden normaalivektorin koordinaatit:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Voidaan nähdä, että jos n2¯ kerrotaan viidellä, niin saadaan tarkalleen koordinaatit n1¯. Tarkasteltavat tasot ovat siisrinnakkain.
Laskeaksesi yhdensuuntaisten tasojen välisen etäisyyden, valitse mieliv altainen piste niistä ensimmäisestä ja käytä yllä olevaa kaavaa. Otetaan esimerkiksi piste (0, 0, 1), joka kuuluu ensimmäiseen tasoon. Sitten saamme:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Haluttu etäisyys on 31 mm.
tason ja linjan välinen etäisyys
Teoreettisen tiedon avulla voimme myös ratkaista suoran ja tason välisen etäisyyden määrittämisongelman. Edellä on jo mainittu, että tasojen välisissä laskelmissa pätevä kaava on universaali. Sitä voidaan käyttää myös ongelman ratkaisemiseen. Voit tehdä tämän valitsemalla minkä tahansa pisteen, joka kuuluu annettuun riviin.
Suurin ongelma tarkasteltavien geometristen elementtien välisen etäisyyden määrittämisessä on niiden yhdensuuntaisuuden todistaminen (jos ei, niin d=0). Rinnakkaisuus on helppo todistaa laskemalla suoran normaalin ja suuntavektorin skalaaritulo. Jos tarkasteltavat elementit ovat rinnakkaisia, tämä tulo on yhtä suuri kuin nolla.
