Tasojen rinnakkaisuus on käsite, joka esiintyi ensimmäisen kerran euklidisessa geometriassa yli kaksituhatta vuotta sitten.
Klassisen geometrian pääominaisuudet
Tämän tieteenalan synty liittyy antiikin kreikkalaisen ajattelijan Eukleideen kuuluisaan työhön. Hän kirjoitti pamfletin "Alku" kolmannella vuosisadalla eKr. Kolmeentoista kirjaan jaettu Elements oli antiikin matematiikan korkein saavutus ja esitti tasohahmojen ominaisuuksiin liittyvät peruspostulaatit.
Klassinen ehto tasojen yhdensuuntaisuudelle muotoiltiin seuraavasti: kahta tasoa voidaan kutsua yhdensuuntaisiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä keskenään. Tämä oli euklidisen työn viides postulaatti.
Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet
Euklidisessa geometriassa niitä on yleensä viisi:
Ensimmäinen ominaisuus (kuvaa tasojen yhdensuuntaisuutta ja niiden ainutlaatuisuutta). Yhden pisteen kautta, joka sijaitsee tietyn tason ulkopuolella, voimme piirtää yhden ja vain yhden tason, joka on yhdensuuntainen sen kanssa
- Toinen ominaisuus (kutsutaan myös kolmen rinnakkaisuuden ominaisuudeksi). Kun kaksi konetta onyhdensuuntaiset kolmannen kanssa, ne ovat myös yhdensuuntaisia toistensa kanssa.
Kolmas ominaisuus (toisin sanoen sitä kutsutaan tasojen yhdensuuntaisuuden leikkaavan suoran ominaisuudeksi). Jos yksittäinen suora leikkaa yhden näistä yhdensuuntaisista tasoista, se leikkaa toisen
Neljäs ominaisuus (toistensa kanssa samansuuntaisille tasoille leikattujen suorien ominaisuus). Kun kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaa kolmannen (missä tahansa kulmassa), myös niiden leikkausviivat ovat yhdensuuntaisia
Viides ominaisuus (ominaisuus, joka kuvaa eri yhdensuuntaisten viivojen segmenttejä, jotka ovat toistensa suuntaisten tasojen välissä). Kahden yhdensuuntaisen tason välissä olevien yhdensuuntaisten viivojen segmentit ovat välttämättä yhtä suuret
Tasojen rinnakkaisuus ei-euklidisissa geometrioissa
Tällaisia lähestymistapoja ovat erityisesti Lobachevskyn ja Riemannin geometria. Jos Euklidesin geometria toteutettiin tasaisissa tiloissa, niin Lobatševskin geometria toteutui negatiivisesti kaarevissa tiloissa (yksinkertaisesti kaarevissa), ja Riemannin geometriassa se toteutuu positiivisesti kaarevissa tiloissa (eli palloissa). On hyvin yleinen stereotyyppinen mielipide, että Lobatševskin yhdensuuntaiset tasot (ja myös suorat) leikkaavat.
Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa. Todellakin, hyperbolisen geometrian synty liittyi Euklidesin viidennen postulaatin todisteeseen ja muutokseen.näkemykset siitä, kuitenkin jo yhdensuuntaisten tasojen ja viivojen määritelmä viittaa siihen, että ne eivät voi leikkiä Lobatševskin tai Riemannin kohdalla, riippumatta siitä, missä tilassa ne toteutuvat. Ja näkemysten ja muotoilujen muutos oli seuraava. Oletus, jonka mukaan vain yksi yhdensuuntainen taso voidaan piirtää pisteen läpi, joka ei ole tietyllä tasolla, on korvattu toisella muotoilulla: pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä tasolla, vähintään kaksi suoraa, jotka sijaitsevat sama taso kuin annettu, äläkä leikkaa sitä.
