Tyypillinen geometrinen ongelma on viivojen välisen kulman löytäminen. Tasossa, jos suorien yhtälöt ovat tiedossa, ne voidaan piirtää ja kulma mitata astelevyllä. Tämä menetelmä on kuitenkin työläs eikä aina mahdollista. Nimetyn kulman selvittämiseksi ei tarvitse piirtää suoria viivoja, se voidaan laskea. Tämä artikkeli vastaa, miten tämä tehdään.
Suora viiva ja sen vektoriyhtälö
Mikä tahansa suora voidaan esittää vektorina, joka alkaa pisteestä -∞ ja päättyy kohtaan +∞. Tässä tapauksessa vektori kulkee jonkin avaruuden pisteen läpi. Siten kaikki vektorit, jotka voidaan vetää minkä tahansa kahden suoran pisteen väliin, ovat yhdensuuntaisia toistensa kanssa. Tämän määritelmän avulla voit asettaa suoran yhtälön vektorimuodossa:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Tässä vektori koordinaatteineen (a; b; c) on opas tälle pisteen kautta kulkevalle suoralle (x0; y0; z0). Parametrilla α voit siirtää määritetyn pisteen mihin tahansa muuhun tällä rivillä. Tämä yhtälö on intuitiivinen ja sen kanssa on helppo työskennellä sekä 3D-tilassa että tasossa. Tasolle se ei sisällä z-koordinaatteja ja kolmatta suuntavektorikomponenttia.
Vektoriyhtälön käytön ansiosta laskelmien suorittamisen ja suorien suhteellisen sijainnin tutkimisen helppous johtuu siitä, että sen suuntavektori tunnetaan. Sen koordinaatteja käytetään viivojen välisen kulman ja niiden välisen etäisyyden laskemiseen.
Yleinen yhtälö suoralle tasolle
Kirjoitetaan eksplisiittisesti suoran vektoriyhtälö kaksiulotteiselle tapaukselle. Se näyttää tältä:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nyt lasketaan parametri α jokaiselle yhtälölle ja lasketaan saatujen yhtälöiden oikeat osat:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Avaa sulut ja siirrä kaikki ehdot tasa-arvon puolelle, saamme:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, missä A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Tuloksena olevaa lauseketta kutsutaan kaksiulotteisessa avaruudessa annetun suoran yleiseksi yhtälöksi (kolmiulotteisessa yhtälössä tämä yhtälö vastaa z-akselin suuntaista tasoa, ei suoraa).
Jos kirjoitamme eksplisiittisesti y:n kautta x:n tähän lausekkeeseen, saamme seuraavan muodon, joka tunnetaanjokainen opiskelija:
y=kx + p, missä k=-A/B, p=-C/B
Tämä lineaarinen yhtälö määrittää yksiselitteisesti suoran tasossa. Sen piirtäminen tunnetun yhtälön mukaan on erittäin helppoa, tätä varten kannattaa laittaa x=0 ja y=0 vuorotellen, merkitä koordinaattijärjestelmään vastaavat pisteet ja piirtää saatuja pisteitä yhdistävä suora.
Viivojen välisen kulman kaava
Tasossa kaksi suoraa voivat joko leikata tai olla yhdensuuntaisia toistensa kanssa. Avaruudessa näihin vaihtoehtoihin lisätään mahdollisuus vinojen viivojen olemassaoloon. Mitä tahansa versiota näiden yksiulotteisten geometristen objektien suhteellisesta sijainnista toteutetaan, niiden välinen kulma voidaan aina määrittää seuraavalla kaavalla:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Missä v1¯ ja v2¯ ovat rivin 1 ja 2 ohjevektorit. Osoittaja on pistetulon moduuli, joka sulkee pois tylpät kulmat ja ottaa huomioon vain terävät.
Vektorit v1¯ ja v2¯ voidaan antaa kahdella tai kolmella koordinaatilla, kun taas kulman kaava φ pysyy ennallaan.
Viivojen rinnakkaisuus ja kohtisuoraisuus
Jos yllä olevalla kaavalla lasketun kahden suoran välinen kulma on 0o, niiden sanotaan olevan yhdensuuntaisia. Kulmaa ei voi laskea sen määrittämiseksi, ovatko suorat yhdensuuntaiset vai eivätφ, riittää osoittamaan, että yksi suuntavektori voidaan esittää samanlaisen toisen suoran vektorin kautta, eli:
v1¯=qv2¯
Tässä q on joku reaaliluku.
Jos suorien yhtälöt annetaan seuraavasti:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
niin ne ovat rinnakkaisia vain, kun x:n kertoimet ovat yhtä suuret, eli:
k1=k2
Tämä tosiasia voidaan todistaa, jos tarkastellaan kuinka kerroin k ilmaistaan suoran suuntavektorin koordinaatteina.
Jos viivojen leikkauskulma on 90o, niitä kutsutaan kohtisuoraksi. Viivojen kohtisuoran määrittämiseksi ei myöskään tarvitse laskea kulmaa φ, tätä varten riittää laskemaan vain vektorien v1¯ ja v skalaaritulo. 2¯. Sen on oltava nolla.
Jos avaruudessa leikkaavat suorat, voidaan käyttää myös kulman φ kaavaa. Tässä tapauksessa tulos on tulkittava oikein. Laskettu φ näyttää kulman sellaisten viivojen suuntavektorien välillä, jotka eivät leikkaa ja ole yhdensuuntaisia.
Tehtävä 1. kohtisuorat viivat
Tiedetään, että suorien yhtälöiden muoto on:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
On tarpeen määrittää, ovatko nämä rivitkohtisuorassa.
Kuten edellä mainittiin, kysymykseen vastaamiseksi riittää laskea koordinaatteja (1; 2) ja (-4; 2) vastaavien ohjainten vektorien skalaaritulo. Meillä on:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Koska saimme 0, tämä tarkoittaa, että tarkastelut suorat leikkaavat suorassa kulmassa, eli ne ovat kohtisuorassa.
Tehtävä 2. Viivan leikkauskulma
On tunnettua, että kahdella suoralla yhtälöllä on seuraava muoto:
y=2x - 1;
y=-x + 3
On tarpeen löytää viivojen välinen kulma.
Koska x:n kertoimilla on eri arvot, nämä suorat eivät ole yhdensuuntaisia. Löytääksemme kulman, joka muodostuu, kun ne leikkaavat, käännämme kukin yhtälöistä vektorimuotoon.
Ensimmäiselle riville saamme:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Yhtälön oikealla puolella on vektori, jonka koordinaatit riippuvat x:stä. Esitetään se kahden vektorin summana, ja ensimmäisen koordinaatit sisältävät muuttujan x ja toisen koordinaatit koostuvat yksinomaan numeroista:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Koska x ottaa mieliv altaiset arvot, se voidaan korvata parametrilla α. Ensimmäisen rivin vektoriyhtälöstä tulee:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Teemme samat toiminnot suoran toisen yhtälön kanssa, saamme:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Kirjoitimme alkuperäiset yhtälöt uudelleen vektorimuodossa. Nyt voit käyttää leikkauskulman kaavaa korvaamalla siinä viivojen suuntavektorien koordinaatit:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Siten tarkasteltavat suorat leikkaavat kulmassa 71,565o eli 1,249 radiaania.
Tämä ongelma olisi voitu ratkaista toisin. Tätä varten oli tarpeen ottaa jokaisesta suorasta kaksi mieliv altaista pistettä, muodostaa niistä suorat vektorit ja käyttää sitten kaavaa φ.
