Vektori on tärkeä geometrinen esine, jonka ominaisuuksien avulla on kätevä ratkaista monia ongelmia tasossa ja avaruudessa. Tässä artikkelissa määrittelemme sen, tarkastelemme sen pääominaisuuksia ja näytämme myös kuinka avaruudessa olevaa vektoria voidaan käyttää tasojen määrittelemiseen.
Mikä on vektori: kaksiulotteinen tapaus
Ensinnäkin on ymmärrettävä selvästi, mistä esineestä puhumme. Geometriassa suunnattua segmenttiä kutsutaan vektoriksi. Kuten kaikki segmentit, sille on ominaista kaksi pääelementtiä: aloitus- ja loppupiste. Näiden pisteiden koordinaatit määrittävät yksiselitteisesti kaikki vektorin ominaisuudet.
Katsotaanpa esimerkkiä vektorista tasossa. Tätä varten piirretään kaksi keskenään kohtisuoraa akselia x ja y. Merkitään mieliv altainen piste P(x, y). Jos yhdistämme tämän pisteen origoon (piste O) ja määritämme sitten suunnan P:hen, niin saadaan vektori OP¯ (myöhemmin artikkelissa symbolin päällä oleva palkki osoittaa, että harkitsemme vektoria). Vektoripiirros tasossa näkyy alla.
Tässä näkyy myös toinen vektori AB¯, ja voit nähdä, että sen ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin OP¯, mutta se on eri osassa koordinaattijärjestelmää. Rinnakkaiskäännöksellä OP¯ voit saada äärettömän määrän vektoreita, joilla on samat ominaisuudet.
Vektori avaruudessa
Kaikki meitä ympäröivät todelliset esineet ovat kolmiulotteisessa avaruudessa. Kolmiulotteisten kuvioiden geometristen ominaisuuksien tutkimus käsittelee stereometriaa, joka toimii kolmiulotteisten vektorien käsitteen kanssa. Ne eroavat kaksiulotteisista vain siinä, että niiden kuvaus vaatii lisäkoordinaatin, joka mitataan kolmatta kohtisuoraa x- ja y-akselia z pitkin.
Alla olevassa kuvassa näkyy vektori avaruudessa. Sen pään koordinaatit kutakin akselia pitkin on merkitty värillisillä segmenteillä. Vektorin alku sijaitsee kaikkien kolmen koordinaattiakselin leikkauspisteessä, eli sillä on koordinaatit (0; 0; 0).
Koska tasossa oleva vektori on avaruudellisesti suunnatun segmentin erikoistapaus, käsittelemme artikkelissa vain kolmiulotteista vektoria.
Vektorikoordinaatit perustuvat sen alun ja lopun tunnettuihin koordinaatteihin
Oletetaan, että on kaksi pistettä P(x1; y1; z1) ja Q(x2; y2; z2). Kuinka määrittää vektorin PQ¯ koordinaatit. Ensin on tarpeen sopia, mikä pisteistä on vektorin alku ja mikä loppu. Matematiikassa on tapana kirjoittaa kyseessä oleva objekti sen suuntaa pitkin, eli P on alku, Q- loppu. Toiseksi vektorin PQ¯ koordinaatit lasketaan lopun ja alun vastaavien koordinaattien erotuksena, eli:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Huomaa, että muuttamalla vektorin suuntaa, sen koordinaatit muuttavat etumerkkiä seuraavasti:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Tämä tarkoittaa PQ¯=-QP¯.
On tärkeää ymmärtää vielä yksi asia. Yllä sanottiin, että tasossa on ääretön määrä vektoreita, jotka ovat yhtä suuria kuin annettu. Tämä tosiasia pätee myös spatiaaliseen tapaukseen. Itse asiassa, kun laskemme PQ¯:n koordinaatit yllä olevassa esimerkissä, suoritimme tämän vektorin rinnakkaismuunnosoperaation siten, että sen origo osui origon kanssa. Vektori PQ¯ voidaan piirtää suunnattuna segmenttinä origosta pisteeseen M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektorin ominaisuudet
Kuten kaikilla geometriaobjektilla, vektorilla on joitain luontaisia ominaisuuksia, joita voidaan käyttää ongelmien ratkaisemiseen. Listataan ne lyhyesti.
Vektorimoduuli on suunnatun segmentin pituus. Kun tiedät koordinaatit, se on helppo laskea. Yllä olevan esimerkin vektorille PQ¯ moduuli on:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektorimoduuli päällätaso lasketaan samalla kaavalla, vain ilman kolmatta koordinaattia.
Vektoreiden summa ja erotus suoritetaan kolmiosäännön mukaan. Alla oleva kuva näyttää, kuinka nämä objektit lisätään ja vähennetään.
Saat summavektorin lisäämällä toisen alun ensimmäisen vektorin loppuun. Haluttu vektori alkaa ensimmäisen alusta ja päättyy toisen vektorin loppuun.
Erotus suoritetaan ottaen huomioon, että vähennetty vektori korvataan vastakkaisella, ja sitten suoritetaan yllä kuvattu yhteenlaskutoiminto.
Yhteyden ja vähennyksen lisäksi on tärkeää pystyä kertomaan vektori luvulla. Jos luku on yhtä suuri kuin k, saadaan vektori, jonka moduuli on k kertaa erilainen kuin alkuperäinen ja suunta on joko sama (k>0) tai vastakkainen alkuperäiseen (k<0).
Vektoreiden keskinäinen kertolasku on myös määritelty. Erottelemme siitä erillisen kappaleen artikkelissa.
Skalaari- ja vektorin kertolasku
Oletetaan, että on kaksi vektoria u¯(x1; y1; z1) ja v¯(x2; y2; z2). Vektori vektorilta voidaan kertoa kahdella eri tavalla:
- Skalaari. Tässä tapauksessa tulos on numero.
- Vektori. Tuloksena on uusi vektori.
Vektoreiden u¯ ja v¯ skalaaritulo lasketaan seuraavasti:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Missä α on annettujen vektorien välinen kulma.
Voidaan osoittaa, että tietäen koordinaatit u¯ ja v¯, niiden pistetulo voidaan laskea seuraavalla kaavalla:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalaarituloa on kätevä käyttää, kun vektori jaetaan kahdeksi kohtisuoraan suunnatuksi segmentiksi. Sitä käytetään myös vektorien yhdensuuntaisuuden tai ortogonaalisuuden laskemiseen ja niiden välisen kulman laskemiseen.
U¯:n ja v¯:n ristitulo antaa uuden vektorin, joka on kohtisuorassa alkuperäisiin nähden ja jonka moduuli on:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Uuden vektorin suunta alas tai ylös määräytyy oikean käden säännön mukaan (oikean käden neljä sormea on suunnattu ensimmäisen vektorin lopusta toisen loppuun, ja peukalo nousee ylös osoittaa uuden vektorin suunnan). Alla olevassa kuvassa näkyy ristitulon tulos mieliv altaisille a¯ ja b¯.
Ristituloa käytetään kuvien pinta-alojen laskemiseen sekä tiettyä tasoa vastaan kohtisuoran vektorin koordinaattien määrittämiseen.
Vektoreita ja niiden ominaisuuksia on kätevä käyttää määritettäessä tason yhtälöä.
Tason normaali- ja yleinen yhtälö
On olemassa useita tapoja määritellä taso. Yksi niistä on tason yleisen yhtälön johtaminen, joka seuraa suoraan sitä vastaan kohtisuorassa olevan vektorin ja jonkin tunnetun tasoon kuuluvan pisteen tiedosta.
Oletetaan, että on olemassa vektori n¯ (A; B; C) ja piste P (x0; y0; z 0). Mikä ehto täyttää kaikki tason Q(x; y; z) pisteet? Tämä ehto koostuu minkä tahansa vektorin PQ¯ kohtisuorasta normaaliin n¯ nähden. Kahden kohtisuorassa vektorissa pistetulosta tulee nolla (cos(90o)=0), kirjoita tämä:
(n¯PQ¯)=0 tai
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Hakasulkeet avattaessa saamme:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 tai
Ax + By + Cz +D=0 missä D=-Ax0-By0-Cz0.
Tätä yhtälöä kutsutaan yleiseksi tasolle. Näemme, että kertoimet x:n, y:n ja z:n edessä ovat kohtisuoran vektorin n¯ koordinaatteja. Sitä kutsutaan lentooppaaksi.
Tason vektoriparametriyhtälö
Toinen tapa määritellä taso on käyttää kahta siinä olevaa vektoria.
Oletetaan, että on vektoreita u¯(x1; y1; z1) ja v¯(x2; y2; z2). Kuten sanottiin, jokainen niistä avaruudessa voidaan esittää äärettömällä määrällä identtisiä suunnattuja segmenttejä, joten tarvitaan yksi piste lisää tason yksiselitteiseen määrittämiseen. Olkoon tämä piste P(x0;y0; z0). Mikä tahansa piste Q(x; y; z) on halutussa tasossa, jos vektori PQ¯ voidaan esittää u¯:n ja v¯:n yhdistelmänä. Eli meillä on:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Missä α ja β ovat joitain reaalilukuja. Tästä yhtälöstä seuraa lauseke:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Se on nimeltään tason parametrinen vektoriyhtälö suhteessa 2 vektoriin u¯ ja v¯. Korvaamalla mieliv altaiset parametrit α ja β voidaan löytää kaikki tähän tasoon kuuluvat pisteet (x; y; z).
Tästä yhtälöstä on helppo saada tason yleinen lauseke. Tätä varten riittää, että löydetään suuntavektori n¯, joka on kohtisuorassa molempiin vektoreihin u¯ ja v¯ nähden, eli niiden vektorituloa tulisi soveltaa.
tason yleisen yhtälön määrittämisongelma
Näytetään, kuinka yllä olevia kaavoja käytetään geometristen ongelmien ratkaisemiseen. Oletetaan, että tason suuntavektori on n¯(5; -3; 1). Sinun pitäisi löytää tason yhtälö tietäen, että piste P(2; 0; 0) kuuluu siihen.
Yleinen yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:
Ax + By + Cz +D=0.
Koska tasoon nähden kohtisuorassa oleva vektori tunnetaan, yhtälö on muotoa:
5x - 3y + z +D=0.
Jää jäljellä vapaa termi D. Laskemme sen koordinaattien P tiedosta:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Siten halutulla tason yhtälöllä on muoto:
5x - 3y + z -10=0.
Alla oleva kuva näyttää, miltä tuloksena saatu taso näyttää.
Pisteiden ilmoitetut koordinaatit vastaavat tason leikkauspisteitä x-, y- ja z-akselien kanssa.
tason määrittämisen ongelma kahden vektorin ja pisteen kautta
Oletetaan nyt, että edellinen taso on määritelty eri tavalla. Kaksi vektoria u¯(-2; 0; 10) ja v¯(-2; -10/3; 0) tunnetaan sekä piste P(2; 0; 0). Kuinka kirjoittaa tasoyhtälö vektoriparametrisessa muodossa? Tarkastelun vastaavan kaavan avulla saamme:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Huomaa, että tämän tason yhtälön määritelmät, vektorit u¯ ja v¯ voidaan ottaa täysin mitkä tahansa, mutta yhdellä ehdolla: ne eivät saa olla yhdensuuntaisia. Muussa tapauksessa tasoa ei voida määrittää yksiselitteisesti, mutta yhtälö voidaan löytää säteelle tai tasojoukolle.
