Menetelmät suorien yhtälöiden asettamiseen tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Suora viiva on tärkein geometrinen kohde tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa. Suorista viivoista rakennetaan monia kuvioita, esimerkiksi: suunnikas, kolmio, prisma, pyramidi ja niin edelleen. Harkitse artikkelissa erilaisia tapoja asettaa suorayhtälöitä.

Suoran määrittely ja yhtälötyypit sitä kuvaamaan

Jokaisella opiskelijalla on hyvä käsitys siitä, mistä geometrisesta esineestä hän puhuu. Suoraa viivaa voidaan esittää kokoelmana pisteitä, ja jos yhdistämme jokaisen niistä vuorotellen kaikkiin muihin, niin saadaan joukko rinnakkaisia vektoreita. Toisin sanoen jokaiseen suoran pisteeseen on mahdollista päästä yhdestä sen kiinteästä pisteestä siirtämällä se johonkin yksikkövektoriin kerrottuna reaaliluvulla. Tätä suoran määritelmää käytetään vektoriyhtälön määrittelemiseen sen matemaattista kuvausta varten sekä tasossa että kolmiulotteisessa avaruudessa.

Suora viiva voidaan esittää matemaattisesti seuraavan tyyppisillä yhtälöillä:

yleinen;
vektori;
parametrinen;
osissa;
symmetrinen (kanoninen).

Seuraavaksi tarkastelemme kaikkia nimettyjä tyyppejä ja näytämme, kuinka niiden kanssa työskennellään esimerkkien avulla ongelmien ratkaisusta.

Suoran vektori- ja parametrinen kuvaus

Aloitetaan määrittämällä suora tunnetun vektorin läpi. Oletetaan, että avaruudessa M(x₀; y₀; z_{0) on kiinteä piste. Tiedetään, että suora kulkee sen läpi ja on suunnattu pitkin vektorisegmenttiä v¯(a; b; c). Kuinka löytää mieliv altainen suoran piste näistä tiedoista? Vastaus tähän kysymykseen antaa seuraavan yhtäläisyyden:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Missä λ on mieliv altainen luku.

Samanlainen lauseke voidaan kirjoittaa kaksiulotteiselle tapaukselle, jossa vektorien ja pisteiden koordinaatit esitetään kahdella numerolla:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Kirjattuja yhtälöitä kutsutaan vektoriyhtälöiksi, ja itse suunnattu segmentti v¯ on suoran suuntavektori.

Kirjoitetuista lausekkeista saadaan yksinkertaisesti vastaavat parametriyhtälöt, riittää, että kirjoitat ne uudelleen. Esimerkiksi avaruuden tapaukselle saamme seuraavan yhtälön:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

On kätevää työskennellä parametristen yhtälöiden kanssa, jos sinun on analysoitava käyttäytymistäjokainen koordinaatti. Huomaa, että vaikka parametri λ voi saada mieliv altaisia arvoja, sen on oltava sama kaikissa kolmessa yhtälössä.

Yleinen yhtälö

Toinen tapa määrittää suora, jota usein käytetään tarkasteltavan geometrisen kohteen kanssa työskentelemiseen, on käyttää yleistä yhtälöä. Kaksiulotteisessa kotelossa se näyttää tältä:

Ax + By + C=0

Tässä latinalaiset isot kirjaimet edustavat tiettyjä numeroarvoja. Tämän tasa-arvon mukavuus ongelmien ratkaisemisessa on siinä, että se sisältää eksplisiittisesti vektorin, joka on kohtisuorassa suoraa viivaa vastaan. Jos merkitsemme sitä n¯:lla, voimme kirjoittaa:

n¯=[A; B]

Lisäksi lauseketta on kätevä käyttää määrittämään etäisyys suorasta johonkin pisteeseen P(x₁; y_{1). Etäisyyden d kaava on:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

On helppo osoittaa, että jos ilmaisemme muuttujan y eksplisiittisesti yleisestä yhtälöstä, saadaan seuraava tunnettu suoran kirjoitusmuoto:

y=kx + b

Missä k ja b määritetään yksiselitteisesti luvuilla A, B, C.

Yhtälö segmenteissä ja kanoninen

Suoran koordinaattiakselien leikkauspiste

Segmenttien yhtälö on helpoin saada yleisnäkymästä. Näytämme sinulle, kuinka se tehdään.

Oletetaan, että meillä on seuraava rivi:

Ax + By + C=0

Siirrä vapaa termi yhtälön oikealle puolelle ja jaa sitten koko yhtälö sillä, saamme:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, missä q=-C / A, p=-C / B

Saimme ns. yhtälön segmenteissä. Se sai nimensä johtuen siitä, että nimittäjä, jolla jokainen muuttuja jaetaan, näyttää suoran ja vastaavan akselin leikkauspisteen koordinaatin arvon. Tätä tosiasiaa on kätevä käyttää kuvaamaan suoraa viivaa koordinaattijärjestelmässä sekä analysoimaan sen suhteellista sijaintia suhteessa muihin geometrisiin objekteihin (suorat viivat, pisteet).

Siirrytään nyt kanonisen yhtälön saamiseen. Tämä on helpompi tehdä, jos harkitsemme parametrista vaihtoehtoa. Lentokonetta varten meillä on:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Ilmoitamme parametrin λ jokaisessa yhtälössä, sitten rinnastamme ne, saamme:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Tämä on haluttu yhtälö, joka on kirjoitettu symmetriseen muotoon. Aivan kuten vektorilauseke, se sisältää eksplisiittisesti suuntavektorin koordinaatit ja yhden suoralle kuuluvan pisteen koordinaatit.

Voidaan nähdä, että tässä kappaleessa olemme antaneet yhtälöitä kaksiulotteiselle tapaukselle. Vastaavasti voit kirjoittaa suoran yhtälön avaruuteen. Tässä on huomattava, että jos kanoninen muototietueilla ja lausekkeilla segmenteissä on sama muoto, jolloin suoran suoran avaruuden yleinen yhtälö on esitetty kahden yhtälön järjestelmällä leikkaustasoille.

Suoran yhtälön muodostamisen ongelma

Geometriasta jokainen oppilas tietää, että kahden pisteen kautta voit piirtää yhden suoran. Oletetaan, että koordinaattitasossa on annettu seuraavat pisteet:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

On tarpeen löytää sen suoran yhtälö, johon molemmat pisteet kuuluvat, segmenteissä, vektoreissa, kanonisessa ja yleisessä muodossa.

Otetaan ensin vektoriyhtälö. Voit tehdä tämän määrittämällä suoralle suuntavektorille M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Nyt voit luoda vektoriyhtälön ottamalla jommankumman tehtävälausekkeessa määritetystä pisteestä, esimerkiksi M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Kanonisen yhtälön saamiseksi riittää, että muunnetaan löydetty yhtälö parametrimuotoon ja jätetään pois parametri λ. Meillä on:

x=-1 - 2λ, joten λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, niin saadaan λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Jäljellä olevat kaksi yhtälöä (yleinen ja segmentoitu) löytyvät kanonisesta yhtälöstä muuntamalla se seuraavasti:

x + 1=-2y + 6;

yleinen yhtälö: x + 2y - 5=0;

segmenttien yhtälössä: x / 5 + y / 2, 5=1

Saadun yhtälöt osoittavat, että vektorin (1; 2) on oltava kohtisuorassa suoraa vastaan. Todellakin, jos löydät sen skalaaritulon suuntavektorin kanssa, se on yhtä suuri kuin nolla. Janayhtälö kertoo, että suora leikkaa x-akselin kohdassa (5; 0) ja y-akselin kohdassa (2, 5; 0).

Viivojen leikkauspisteen määrittämisen ongelma

Kaksi suoraa on annettu tasossa seuraavilla yhtälöillä:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

On tarpeen määrittää pisteen koordinaatit, jossa nämä viivat leikkaavat.

On kaksi tapaa ratkaista ongelma:

Muunna vektoriyhtälö yleiseen muotoon ja ratkaise sitten kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä.
Älä tee mitään muunnoksia, vaan yksinkertaisesti korvaa leikkauspisteen koordinaatti parametrilla λ ilmaistuna ensimmäisellä yhtälöllä. Etsi sitten parametrin arvo.

Tehdään toinen tapa. Meillä on: