Jopa koulussa, jokainen meistä opiskeli yhtälöitä ja varmasti yhtälöjärjestelmiä. Mutta monet ihmiset eivät tiedä, että on olemassa useita tapoja ratkaista ne. Tänään analysoimme yksityiskohtaisesti kaikkia menetelmiä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi, joka yhtälö koostuu useammasta kuin kahdesta yhtälöstä.
Historia
Nykyään tiedetään, että yhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisemisen taito sai alkunsa muinaisesta Babylonista ja Egyptistä. Tasa-arvot tavanomaisessa muodossaan ilmestyivät kuitenkin yhtäläisyysmerkin "=" ilmestymisen jälkeen, jonka englantilainen matemaatikko Record otti käyttöön vuonna 1556. Muuten, tämä merkki valittiin syystä: se tarkoittaa kahta rinnakkaista yhtä suurta segmenttiä. Todellakin, ei ole parempaa esimerkkiä tasa-arvosta.
Tuntemattomien ja asteen merkkien nykyaikaisten kirjainnimitysten perustaja on ranskalainen matemaatikko Francois Viet. Hänen nimensä erosivat kuitenkin merkittävästi nykyisestä. Hän merkitsi esimerkiksi tuntemattoman luvun neliötä kirjaimella Q (lat. "quadratus") ja kuutiota kirjaimella C (lat. "cubus"). Nämä nimitykset näyttävät nyt epämukavilta, mutta sittense oli ymmärrettävin tapa kirjoittaa lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä.
Silloisten ratkaisumenetelmien haittana oli kuitenkin se, että matemaatikot pitivät vain positiivisia juuria. Ehkä tämä johtuu siitä, että negatiivisilla arvoilla ei ollut käytännön hyötyä. Tavalla tai toisella, italialaiset matemaatikot Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Rafael Bombelli olivat ensimmäisiä, jotka pohtivat negatiivisia juuria 1500-luvulla. Ja moderni ulkoasu, tärkein menetelmä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi (diskriminantin kautta), luotiin vasta 1600-luvulla Descartesin ja Newtonin työn ansiosta.
1700-luvun puolivälissä sveitsiläinen matemaatikko Gabriel Cramer löysi uuden tavan helpottaa lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemista. Tämä menetelmä nimettiin myöhemmin hänen mukaansa ja käytämme sitä tähän päivään asti. Mutta puhumme Cramer-menetelmästä hieman myöhemmin, mutta toistaiseksi keskustelemme lineaarisista yhtälöistä ja menetelmistä niiden ratkaisemiseksi järjestelmästä erikseen.
Lineaariset yhtälöt
Lineaariset yhtälöt ovat yksinkertaisimpia yhtälöitä, joissa on muuttuja(t). Ne luokitellaan algebrallisiksi. Lineaariset yhtälöt kirjoitetaan yleisessä muodossa seuraavasti: 2+…a x =b. Tarvitsemme heidän esityksensä tässä muodossa, kun käännämme järjestelmiä ja matriiseja edelleen.
Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät
Tämän termin määritelmä on tämä: se on joukko yhtälöitä, joilla on yhteisiä tuntemattomia ja yhteinen ratkaisu. Yleensä koulussa kaikki päätettiin järjestelmien mukaankahdella tai jopa kolmella yhtälöllä. Mutta on olemassa järjestelmiä, joissa on vähintään neljä komponenttia. Mietitään ensin, kuinka ne kirjoitetaan muistiin, jotta ne on kätevä ratkaista myöhemmin. Ensinnäkin lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät näyttävät paremmilta, jos kaikki muuttujat kirjoitetaan x:llä sopivalla indeksillä: 1, 2, 3 ja niin edelleen. Toiseksi kaikki yhtälöt tulee pelkistää kanoniseen muotoon: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Kaikkien näiden vaiheiden jälkeen voimme alkaa puhua siitä, kuinka löytää ratkaisu lineaarisille yhtälöjärjestelmille. Matriisit ovat erittäin hyödyllisiä tähän.
Matriisit
Matriisi on taulukko, joka koostuu riveistä ja sarakkeista ja sen elementit sijaitsevat niiden leikkauskohdassa. Nämä voivat olla joko tiettyjä arvoja tai muuttujia. Useimmiten elementtien osoittamiseksi niiden alle sijoitetaan alaindeksit (esimerkiksi a11 tai a23). Ensimmäinen indeksi tarkoittaa rivin numeroa ja toinen sarakkeen numeroa. Matriiseilla, kuten myös muilla matemaattisilla elementeillä, voit suorittaa erilaisia toimintoja. Joten voit:
1) Vähennä ja lisää samankokoisia taulukoita.
2) Kerro matriisi jollakin luvulla tai vektorilla.
3) Transponoi: Muuta matriisirivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi.
4) Kerro matriisit, jos yhden niistä rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen sarakkeiden lukumäärä.
Keskustelemme kaikista näistä tekniikoista yksityiskohtaisemmin, koska niistä on meille hyötyä tulevaisuudessa. Matriisien vähentäminen ja lisääminen on erittäin helppoa. Niinkun otamme samankokoisia matriiseja, niin yhden taulukon jokainen elementti vastaa toisen taulukon jokaista elementtiä. Joten lisäämme (vähennämme) nämä kaksi elementtiä (on tärkeää, että ne ovat samoissa paikoissa matriiseissaan). Kun kerrot matriisin luvulla tai vektorilla, sinun on yksinkertaisesti kerrottava jokainen matriisin elementti tällä numerolla (tai vektorilla). Transponointi on erittäin mielenkiintoinen prosessi. Joskus on erittäin mielenkiintoista nähdä se tosielämässä, esimerkiksi tabletin tai puhelimen asentoa muuttaessa. Työpöydän kuvakkeet ovat matriisia, ja kun muutat sijaintia, se transponoituu ja levenee, mutta pienenee korkeudeltaan.
Katsotaanpa vielä sellainen prosessi kuin matriisikerto. Vaikka siitä ei ole meille hyötyä, on silti hyödyllistä tietää se. Voit kertoa kaksi matriisia vain, jos yhden taulukon sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen taulukon rivien lukumäärä. Otetaan nyt yhden matriisin rivin alkiot ja toisen vastaavan sarakkeen elementit. Kerromme ne keskenään ja lisäämme ne sitten yhteen (eli esimerkiksi elementtien a11 ja a12 tulo b 12ja b22 on yhtä suuri kuin: a11b12 + a 12 b22). Näin saadaan yksi taulukon elementti ja se täytetään edelleen vastaavalla menetelmällä.
Nyt voimme alkaa tarkastella, kuinka lineaariyhtälöjärjestelmä ratkaistaan.
Gaussin menetelmä
Tämä aihe alkaa mennä ohi jo koulussa. Tiedämme hyvin käsitteen "kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä" ja tiedämme kuinka ratkaista ne. Mutta entä jos yhtälöiden lukumäärä on enemmän kuin kaksi? Gaussin menetelmä auttaa meitä tässä.
Tietenkin tätä menetelmää on kätevä käyttää, jos teet matriisin järjestelmästä. Mutta et voi muuttaa sitä ja ratkaista sitä puhtaimmassa muodossaan.
Miten tämä menetelmä ratkaisee lineaarisen Gaussin yhtälöjärjestelmän? Muuten, vaikka tämä menetelmä on nimetty hänen mukaansa, se löydettiin muinaisina aikoina. Gauss ehdottaa seuraavaa: operaatioiden suorittaminen yhtälöillä, jotta koko joukko lopulta pelkistyy porrastettuun muotoon. Eli on välttämätöntä, että ylhäältä alas (jos sijoitetaan oikein) ensimmäisestä yhtälöstä viimeiseen yksi tuntematon vähenee. Toisin sanoen meidän on varmistettava, että saamme esimerkiksi kolme yhtälöä: ensimmäisessä - kolme tuntematonta, toisessa - kaksi, kolmannessa - yksi. Sitten viimeisestä yhtälöstä löydämme ensimmäisen tuntemattoman, korvaamme sen arvon toisella tai ensimmäisellä yhtälöllä ja etsimme sitten loput kaksi muuttujaa.
Cramer-menetelmä
Tämän menetelmän hallitsemiseksi on elintärkeää hallita matriisien yhteen- ja vähennystaidot, ja sinun on myös pystyttävä löytämään determinantteja. Siksi, jos teet kaiken tämän huonosti tai et tiedä miten, sinun on opittava ja harjoitettava.
Mikä on tämän menetelmän ydin ja miten se tehdään niin, että saadaan lineaarinen Cramer-yhtälöjärjestelmä? Kaikki on hyvin yksinkertaista. Meidän on rakennettava matriisi lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän numeerisista (melkein aina) kertoimista. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti ottamalla numerot tuntemattomien eteen ja järjestämällä netaulukkoon siinä järjestyksessä, jossa ne kirjataan järjestelmään. Jos numeroa edeltää "-"-merkki, kirjoitamme negatiivisen kertoimen. Joten, olemme koonneet ensimmäisen matriisin tuntemattomien kertoimista, ilman yhtäläisyysmerkkien jälkeisiä lukuja (luonnollisesti yhtälö tulisi pelkistää kanoniseen muotoon, kun vain luku on oikealla ja kaikki tuntemattomat kertoimet vasemmalla). Sitten sinun on luotava useita lisää matriiseja - yksi jokaiselle muuttujalle. Tätä varten korvaamme vuorotellen jokaisen sarakkeen kertoimilla ensimmäisessä matriisissa numerosarakkeella yhtäläisyysmerkin jälkeen. Siten saamme useita matriiseja ja sitten löydämme niiden determinantit.
Kun olemme löytäneet tekijät, asia on pieni. Meillä on alkumatriisi, ja tuloksena on useita eri muuttujia vastaavia matriiseja. Saadaksemme järjestelmän ratkaisut jaamme tuloksena olevan taulukon determinantin alkutaulukon determinantilla. Tuloksena oleva luku on yhden muuttujan arvo. Samalla tavalla löydämme kaikki tuntemattomat.
Muut menetelmät
On olemassa useita muita menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisun saamiseksi. Esimerkiksi ns. Gauss-Jordan menetelmä, jolla etsitään ratkaisuja toisen asteen yhtälöjärjestelmälle ja joka liittyy myös matriisien käyttöön. On myös Jacobin menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi. Se on helpoin mukauttaa tietokoneeseen ja sitä käytetään tietojenkäsittelyssä.
Vaikeat tapaukset
Monimutkaisuutta ilmenee yleensä, kun yhtälöiden lukumäärä on pienempi kuin muuttujien lukumäärä. Silloin voidaan varmuudella sanoa, että joko järjestelmä on epäjohdonmukainen (eli sillä ei ole juuria) tai sen ratkaisujen määrä pyrkii äärettömään. Jos meillä on toinen tapaus, meidän on kirjoitettava lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu. Se sisältää vähintään yhden muuttujan.
Johtopäätös
Tässä tullaan loppuun. Yhteenvetona: olemme analysoineet, mitä järjestelmä ja matriisi ovat, olemme oppineet löytämään yleisen ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle. Lisäksi mietittiin muita vaihtoehtoja. Saimme selville, kuinka lineaarinen yhtälöjärjestelmä ratkaistaan: Gaussin menetelmä ja Cramer-menetelmä. Keskustelimme vaikeista tapauksista ja muista tavoista löytää ratkaisuja.
Itse asiassa tämä aihe on paljon laajempi, ja jos haluat ymmärtää sitä paremmin, suosittelemme lukemaan enemmän erikoiskirjallisuutta.
