Epätasa-arvot ja epätasa-arvojärjestelmät on yksi lukion algebrassa opetetuista aiheista. Vaikeudeltaan se ei ole vaikein, koska siinä on yksinkertaiset säännöt (niistä hieman myöhemmin). Pääsääntöisesti koululaiset oppivat eriarvoisuusjärjestelmien ratkaisun melko helposti. Tämä johtuu myös siitä, että opettajat yksinkertaisesti "kouluttavat" oppilaitaan tästä aiheesta. Ja he eivät voi muuta kuin tehdä tätä, koska sitä tutkitaan tulevaisuudessa muiden matemaattisten suureiden avulla, ja se tarkistetaan myös OGE:n ja Unified State Examinationin os alta. Koulukirjoissa eriarvoisuuden ja eriarvoisuusjärjestelmien aihetta käsitellään erittäin yksityiskohtaisesti, joten jos aiot opiskella sitä, on parasta turvautua niihin. Tämä artikkeli on vain parafraasi suuresta materiaalista ja saattaa sisältää joitain puutteita.
Epätasa-arvojärjestelmän käsite
Jos käännymme tieteelliseen kieleen, voimme määritellä "järjestelmän" käsitteeneriarvoisuudet". Tämä on sellainen matemaattinen malli, joka edustaa useita eriarvoisuuksia. Tietenkin tämä malli vaatii ratkaisun, ja se on yleinen vastaus tehtävässä ehdotetuille järjestelmän epäyhtälöille (yleensä se kirjoitetaan näin, esimerkki: "Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä 4 x + 1 > 2 ja 30 - x > 6… ").
Epäyhtälöjärjestelmät ja yhtälöjärjestelmät
Uutta aihetta oppiessa syntyy usein väärinkäsityksiä. Toisa alta kaikki on selvää ja aloin mieluummin ratkaista tehtäviä, mutta toisa alta jotkut hetket jäävät "varjoon", niitä ei ymmärretä kunnolla. Joitakin jo hankitun tiedon elementtejä voidaan myös yhdistää uusiin. Tämän päällekkäisyyden seurauksena tapahtuu usein virheitä.
Siksi, ennen kuin siirrymme aiheemme analysointiin, meidän on muistettava yhtälöiden ja epäyhtälöiden väliset erot, niiden järjestelmät. Tätä varten on tarpeen vielä kerran selventää, mitä nämä matemaattiset käsitteet ovat. Yhtälö on aina yhtälö, ja se on aina yhtä suuri kuin jokin (matematiikassa tätä sanaa merkitään merkillä "="). Epäyhtälö on malli, jossa yksi arvo on joko suurempi tai pienempi kuin toinen tai sisältää väitteen, että ne eivät ole samoja. Näin ollen ensimmäisessä tapauksessa on tarkoituksenmukaista puhua tasa-arvosta ja toisessa tapauksessa, vaikka se kuulostaa kuinka ilmeiseltäitse nimi, alkutietojen epätasa-arvoisuudesta. Yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmät eivät käytännössä eroa toisistaan ja niiden ratkaisumenetelmät ovat samat. Ainoa ero on, että edellinen käyttää yhtäläisyyksiä, kun taas jälkimmäinen käyttää epäyhtälöitä.
Epätasa-arvotyypit
Epäyhtälöitä on kahden tyyppisiä: numeerisia ja tuntemattomilla muuttujilla. Ensimmäiselle tyypille annetaan arvot (numerot), jotka eivät ole keskenään samanarvoisia, esimerkiksi 8 > 10. Toinen tyyppi on epäyhtälöt, jotka sisältävät tuntemattoman muuttujan (merkitty jollain latinalaisten aakkosten kirjaimella, useimmiten X). Tämä muuttuja on löydettävä. Riippuen siitä, kuinka monta niitä on, matemaattinen malli erottaa epäyhtälöt yhdellä (ne muodostavat epäyhtälöjärjestelmän yhdellä muuttujalla) tai useamman muuttujan (ne muodostavat epäyhtälöjärjestelmän, jossa on useita muuttujia).
Kaksi viimeistä tyyppiä jaetaan rakenteensa ja ratkaisun monimutkaisuuden tason mukaan yksinkertaisiin ja monimutkaisiin. Yksinkertaisia kutsutaan myös lineaarisiksi epäyhtälöiksi. Ne puolestaan jaetaan tiukoihin ja ei-tiukoihin. Tiukka nimenomaan "sanoa", että yhden arvon on oltava joko pienempi tai suurempi, joten tämä on puhdasta epätasa-arvoa. Esimerkkejä on useita: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 jne. Ei-tiukat sisältävät myös tasa-arvon. Toisin sanoen yksi arvo voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin toinen arvo (merkki "≧") tai pienempi tai yhtä suuri kuin toinen arvo (merkki "≦"). Edelleen jonossaEpäyhtälöissä muuttuja ei ole juuressa, neliössä, ei ole jaollinen millään, minkä vuoksi niitä kutsutaan "yksinkertaisiksi". Monimutkaiset sisältävät tuntemattomia muuttujia, joiden löytäminen vaatii enemmän matemaattisia operaatioita. Ne ovat usein neliössä, kuutiossa tai juuren alla, ne voivat olla modulaarisia, logaritmisia, murtolukuja jne. Mutta koska tehtävämme on ymmärtää epäyhtälöjärjestelmien ratkaisu, puhumme lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmästä. Ennen sitä on kuitenkin sanottava muutama sana niiden ominaisuuksista.
Epätasa-arvojen ominaisuudet
Epäyhtälöiden ominaisuudet sisältävät seuraavat ehdot:
- Epäyhtälömerkki käännetään, jos sivujen järjestystä muutetaan (esimerkiksi jos t1 ≦ t2, sitten t 2 ≧ t1).
- Molemmat epäyhtälön osat antavat sinun lisätä itsellesi saman luvun (esimerkiksi jos t1 ≦ t2, sitten t 1 + numero ≦ t2 + numero).
- Kaksi tai useampi epäyhtälö, joilla on saman suunnan etumerkki, mahdollistaa niiden vasemman ja oikean osan lisäämisen (esimerkiksi jos t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, sitten t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Epäyhtälön molemmat osat antavat itsensä kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla (esimerkiksi jos t1 ≦ t2ja numero ≦ 0, sitten numero t1 ≧ numero t2).
- Kaksi tai useampi epätasa-arvo, joilla on positiivinen termi ja merkki samasta suunnasta, mahdollistaakertovat toisensa (esimerkiksi jos t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 sitten t1 t3 ≦ t2 t4).
- Epäyhtälön molemmat osat antavat itsensä kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, mutta epäyhtälömerkki muuttuu (esimerkiksi jos t1 ≦ t2 ja numero ≦ 0, sitten numero t1 ≧ numero t2).
- Kaikki epäyhtälöt ovat transitiivisia (esimerkiksi jos t1 ≦ t2 ja t2≦ t3, sitten t1 ≦ t3).
Nyt, tutkittuaan eriarvoisuuteen liittyvät teorian pääsäännöt, voimme siirtyä suoraan niiden järjestelmien ratkaisusääntöjen tarkasteluun.
Epätasa-arvojärjestelmien ratkaisu. Yleistä tietoa. Ratkaisut
Kuten edellä mainittiin, ratkaisu on muuttujan arvot, jotka sopivat kaikkiin annetun järjestelmän epäyhtälöihin. Epäyhtälöjärjestelmien ratkaisu on matemaattisten operaatioiden toteuttaminen, jotka lopulta johtavat koko järjestelmän ratkaisuun tai osoittavat, ettei sillä ole ratkaisuja. Tässä tapauksessa muuttujan sanotaan viittaavan tyhjään lukujoukkoon (kirjoitetaan seuraavasti: muuttujaa ∈ merkitsevä kirjain (merkki "kuuluu") ø (merkki "tyhjä joukko"), esimerkiksi x ∈ ø (se luetaan näin: "Muuttuja "x" kuuluu tyhjään joukkoon." On olemassa useita tapoja ratkaista epäyhtälösysteemejä:graafinen, algebrallinen, korvausmenetelmä. On syytä huomata, että ne viittaavat niihin matemaattisiin malleihin, joissa on useita tuntemattomia muuttujia. Jos niitä on vain yksi, välitysmenetelmä toimii.
Graafinen menetelmä
Voit ratkaista epäyhtälöjärjestelmän, jossa on useita tuntemattomia (kahdesta tai useammasta). Tämän menetelmän ansiosta lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmä ratkaistaan melko helposti ja nopeasti, joten se on yleisin menetelmä. Tämä johtuu siitä, että piirtäminen vähentää matemaattisten operaatioiden kirjoittamista. Erityisen mukavaa on pitää pieni tauko kynästä, nostaa lyijykynä viivaimella ja jatkaa heidän avullaan jatkotoimenpiteitä, kun töitä on tehty paljon ja haluat vähän vaihtelua. Jotkut eivät kuitenkaan pidä tästä menetelmästä, koska sinun on irtauduttava tehtävästä ja vaihdettava henkinen toimintasi piirtämiseen. Se on kuitenkin erittäin tehokas tapa.
Epäyhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi graafisella menetelmällä on tarpeen siirtää jokaisen epäyhtälön kaikki jäsenet niiden vasemmalle puolelle. Etumerkit käännetään, oikealle kirjoitetaan nolla, sitten jokainen epäyhtälö on kirjoitettava erikseen. Tämän seurauksena epäyhtälöistä saadaan funktioita. Sen jälkeen saat kynän ja viivaimen: nyt sinun on piirrettävä kaavio jokaisesta saadusta funktiosta. Koko joukko lukuja, jotka ovat niiden leikkauspisteen välissä, on ratkaisu epäyhtälöjärjestelmälle.
Algebrallinen tapa
Mahdollistaa epäyhtälöjärjestelmän ratkaisemisen kahdella tuntemattomalla muuttujalla. Epäyhtälöillä on myös oltava sama epäyhtälömerkki (eli niissä on oltava joko vain "suurempi"-merkki tai vain "pienempi kuin"-merkki jne.) Tämä menetelmä on rajoituksistaan huolimatta myös monimutkaisempi. Sitä sovelletaan kahdessa vaiheessa.
Ensimmäinen sisältää eroon yhdestä tuntemattomista muuttujista. Ensin sinun on valittava se ja tarkistettava sitten, onko tämän muuttujan edessä numeroita. Jos niitä ei ole (muuttuja näyttää yhdeltä kirjaimelta), emme muuta mitään, jos on (muuttujan tyyppi on esim. 5y tai 12y), niin on varmistettava, että että jokaisessa epäyhtälössä valitun muuttujan edessä oleva luku on sama. Tätä varten sinun on kerrottava jokainen epäyhtälön jäsen yhteisellä kertoimella, esimerkiksi jos 3y on kirjoitettu ensimmäiseen epäyhtälöön ja 5y toiseen, sinun on kerrottava kaikki ensimmäisen epäyhtälön jäsenet 5:llä., ja toinen 3:lla. Saat 15v ja 15v, vastaavasti.
Päätöksen toinen vaihe. Jokaisen epäyhtälön vasen puoli on siirrettävä niiden oikealle puolelle muuttamalla kunkin termin etumerkkiä päinvastaiseksi, kirjoita oikealle nolla. Sitten tulee hauska osa: valitusta muuttujasta eroon pääseminen (tunnetaan muuten nimellä "vähennys") samalla kun lasketaan yhteen epätasa-arvo. Saat epäyhtälön yhdellä muuttujalla, joka on ratkaistava. Tämän jälkeen sinun tulee tehdä sama, vain toisella tuntemattomalla muuttujalla. Saadut tulokset ovat järjestelmän ratkaisu.
Korvaamistapa
Mahdollistaa epäyhtälöjärjestelmän ratkaisemisen, kun sinulla on mahdollisuus ottaa käyttöön uusi muuttuja. Yleensä tätä menetelmää käytetään, kun epäyhtälön yhden termin tuntematon muuttuja nostetaan neljänteen potenssiin ja toisessa termissä se neliötetään. Näin ollen tällä menetelmällä pyritään vähentämään järjestelmän epätasa-arvoa. Näyteyhtälö x4 - x2 - 1 ≦ 0 ratkaistaan tällä tavalla seuraavasti. Uusi muuttuja otetaan käyttöön, esimerkiksi t. He kirjoittavat: "Anna t=x2", sitten malli kirjoitetaan uudelleen uuteen muotoon. Meidän tapauksessamme saamme t2 - t - 1 ≦0. Tämä epäyhtälö on ratkaistava intervallimenetelmällä (siitä vähän myöhemmin), palaa sitten takaisin muuttujaan X ja tee sama toisella epäyhtälöllä. Saadut vastaukset ovat järjestelmän päätös.
Intervallimenetelmä
Tämä on helpoin tapa ratkaista epätasa-arvojärjestelmiä, ja samalla se on universaali ja laajalle levinnyt. Sitä käytetään lukiossa ja jopa lukiossa. Sen olemus piilee siinä, että opiskelija etsii epätasa-arvovälejä numeroviiv alta, joka on piirretty muistikirjaan (tämä ei ole kaavio, vaan tavallinen suora numeroilla). Siellä missä epäyhtälöiden välit leikkaavat, järjestelmän ratkaisu löytyy. Käytä välilyöntimenetelmää seuraavasti:
- Jokaisen epäyhtälön kaikki jäsenet siirretään vasemmalle etumerkin muutoksella vastakkaiselle puolelle (nolla kirjoitetaan oikealle).
- Epäyhtälöt kirjoitetaan erikseen, kunkin ratkaisu määritetään.
- Epäyhtälöiden leikkauspisteet numeerisella numerollasuoraan. Kaikki näiden risteysten luvut ovat ratkaisu.
Mitä tapaa käyttää?
Ilmeisesti se, joka vaikuttaa helpoimm alta ja kätevimmältä, mutta joskus tehtävät vaativat tietyn menetelmän. Useimmiten he sanovat, että sinun on ratkaistava joko kaaviolla tai intervallimenetelmällä. Algebrallista menetelmää ja substituutiota käytetään erittäin harvoin tai ei ollenkaan, koska ne ovat melko monimutkaisia ja hämmentäviä, ja lisäksi niitä käytetään enemmän yhtälöjärjestelmien kuin epäyhtälöiden ratkaisemiseen, joten sinun tulee turvautua kaavioiden ja intervallien piirtämiseen. Ne tuovat näkyvyyttä, mikä vain edistää matemaattisten operaatioiden tehokasta ja nopeaa suorittamista.
Jos jokin ei toimi
Kun tutkitaan tiettyä aihetta algebrassa, sen ymmärtämisessä voi tietysti esiintyä ongelmia. Ja tämä on normaalia, koska aivomme on suunniteltu siten, etteivät ne pysty ymmärtämään monimutkaista materiaalia kerralla. Usein joudut lukemaan kappaleen uudelleen, käyttämään opettajan apua tai harjoittelemaan tyypillisten ongelmien ratkaisemista. Meidän tapauksessamme ne näyttävät esimerkiksi tältä: "Ratkaise epäyhtälöjärjestelmä 3 x + 1 ≧ 0 ja 2 x - 1 > 3". Näin ollen henkilökohtainen pyrkimys, ulkopuolisten apu ja harjoitus auttavat ymmärtämään minkä tahansa monimutkaisen aiheen.
Reshebnik?
Ja ratkaisukirja on myös erittäin hyvä, mutta ei läksyjen huijaamiseen, vaan itseapuun. Niistä voit löytää eriarvoisuusjärjestelmiä ratkaisulla, katsoyritä ymmärtää ne (kuten mallit) tarkasti, kuinka ratkaisun tekijä selvisi tehtävästä, ja yritä sitten tehdä se itse.
Johtopäätökset
Algebra on yksi koulun vaikeimmista aineista. No, mitä voit tehdä? Matematiikka on aina ollut tällaista: toisille se tulee helposti ja toisille vaikeaa. Mutta joka tapauksessa on muistettava, että yleissivistävä ohjelma on suunniteltu siten, että jokainen opiskelija voi selviytyä siitä. Lisäksi sinun on pidettävä mielessä v altava määrä avustajia. Jotkut niistä on mainittu edellä.
