Tasoyhtälöt. Kahden tason välinen kulma

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Taso yhdessä pisteen ja suoran kanssa on geometrinen peruselementti. Sen avulla rakennetaan monia tilageometrian hahmoja. Tässä artikkelissa tarkastelemme yksityiskohtaisemmin kysymystä siitä, kuinka löytää kulma kahden tason välillä.

Konsepti

Ennen kuin puhut kahden tason välisestä kulmasta, sinun tulee ymmärtää hyvin, mistä geometrian elementistä puhumme. Ymmärretään terminologia. Taso on loputon kokoelma avaruuden pisteitä, joita yhdistämällä saamme vektoreita. Jälkimmäinen on kohtisuorassa johonkin vektoriin. Sitä kutsutaan yleisesti tason normaaliksi.

Yllä oleva kuva esittää tason ja kaksi normaalivektoria siihen. Voidaan nähdä, että molemmat vektorit ovat samalla suoralla. Niiden välinen kulma on 180o.

Yhtälöt

Kahden tason välinen kulma voidaan määrittää, jos tarkasteltavan geometrisen elementin matemaattinen yhtälö tunnetaan. Tällaisia yhtälöitä on useita,joiden nimet on lueteltu alla:

• yleinen tyyppi;
• vektori;
• osissa.

Nämä kolme tyyppiä ovat kätevimmät erilaisten ongelmien ratkaisemiseen, joten niitä käytetään useimmiten.

Yleinen tyyppiyhtälö näyttää tältä:

Ax + By + Cz + D=0.

Tässä x, y, z ovat annettuun tasoon kuuluvan mieliv altaisen pisteen koordinaatit. Parametrit A, B, C ja D ovat numeroita. Tämän merkinnän mukavuus piilee siinä, että luvut A, B, C ovat tasoon nähden normaalin vektorin koordinaatteja.

Tason vektorimuoto voidaan esittää seuraavasti:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Tässä (a₂, b₂, c₂) ja (a ₁, b₁, c₁) - kahden koordinaattivektorin parametrit, jotka kuuluvat tarkasteltuun tasoon. Piste (x₀, y₀, z_{0) sijaitsee myös tällä tasolla. Parametrit α ja β voivat saada itsenäisiä ja mieliv altaisia arvoja.}

Lopuksi tason yhtälö segmenteissä esitetään seuraavassa matemaattisessa muodossa:

x/p + y/q + z/l=1.

Tässä p, q, l ovat tiettyjä lukuja (myös negatiiviset). Tällainen yhtälö on hyödyllinen, kun on tarpeen kuvata taso suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, koska luvut p, q, l osoittavat leikkauspisteitä x-, y- ja z-akselien kanssa.kone.

Huomaa, että jokainen yhtälötyyppi voidaan muuntaa mihin tahansa muuhun yksinkertaisten matemaattisten operaatioiden avulla.

Kahden tason välisen kulman kaava

Mieti nyt seuraavaa vivahdetta. Kolmiulotteisessa avaruudessa kaksi tasoa voidaan sijoittaa vain kahdella tavalla. Joko leikkaa tai olla yhdensuuntainen. Kahden tason välinen kulma on niiden ohjausvektorien välissä oleva kulma (normaali). Leikkaavat, 2 vektoria muodostavat 2 kulmaa (yleisessä tapauksessa akuutti ja tylppä). Tasojen välisen kulman katsotaan olevan terävä. Harkitse yhtälöä.

Kahden tason välisen kulman kaava on:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

On helppo arvata, että tämä lauseke on suora seuraus normaalivektorien n₁¯ ja n₂ skalaaritulosta. ¯ tarkasteltaville lentokoneille. Pistetulon moduuli osoittajassa osoittaa, että kulma θ ottaa arvot vain 0^o - 90^{o. Normaalivektorien moduulien tulo nimittäjässä tarkoittaa niiden pituuksien tuloa.}

Huomaa, jos (n₁¯n_{2¯)=0, niin tasot leikkaavat suorassa kulmassa.}

Esimerkkiongelma

Kun on selvitetty, mitä kutsutaan kahden tason väliseksi kulmaksi, ratkaisemme seuraavan ongelman. Esimerkiksi. Joten on tarpeen laskea tällaisten tasojen välinen kulma:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Ongelman ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä tasojen suuntavektorit. Ensimmäiselle tasolle normaalivektori on: n₁¯=(2, -3, 0). Toisen tason normaalivektorin löytämiseksi tulee kertoa vektorit parametrien α ja β jälkeen. Tuloksena on vektori: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Kulman θ määrittämiseksi käytämme edellisen kappaleen kaavaa. Saamme:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Laskettu kulma radiaaneina vastaa 31.26^o. Siten tehtävän ehdon tasot leikkaavat kulmassa 31, 26^o.