Yksi yleisimmistä stereometrian ongelmista on suorien ja tasojen ylittäminen ja niiden välisten kulmien laskeminen. Tarkastellaanpa tässä artikkelissa tarkemmin niin sanottua koordinaattimenetelmää sekä suoran ja tason välisiä kulmia.
Suora ja taso geometriassa
Ennen kuin harkitset koordinaattimenetelmää sekä suoran ja tason välistä kulmaa, sinun tulee tutustua nimettyihin geometrisiin objekteihin.
Suora on sellainen kokoelma avaruudessa tai tasossa olevia pisteitä, joista jokainen voidaan saada siirtämällä edellinen lineaarisesti tiettyyn vektoriin. Seuraavassa merkitsemme tätä vektoria symbolilla u¯. Jos tämä vektori kerrotaan millä tahansa luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, niin saadaan u¯:n suuntainen vektori. Viiva on lineaarinen ääretön objekti.
Taso on myös joukko pisteitä, jotka sijaitsevat siten, että jos muodostat niistä mieliv altaisia vektoreita, niin ne kaikki ovat kohtisuorassa johonkin vektoriin n¯. Jälkimmäistä kutsutaan normaaliksi tai yksinkertaisesti normaaliksi. Taso, toisin kuin suora, on kaksiulotteinen ääretön esine.
Koordinaattimenetelmä geometrian tehtävien ratkaisemiseen
Menetelmän nimen perusteella voimme päätellä, että kyseessä on ongelmien ratkaisumenetelmä, joka perustuu analyyttisten peräkkäisten laskelmien suorittamiseen. Toisin sanoen koordinaattimenetelmän avulla voit ratkaista geometrisia ongelmia käyttämällä yleisalgebran työkaluja, joista tärkeimmät ovat yhtälöt.
On huomattava, että kyseessä oleva menetelmä ilmestyi modernin geometrian ja algebran kynnyksellä. Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton ja Leibniz antoivat suuren panoksen sen kehitykseen 1600-1700-luvuilla.
Menetelmän ydin on laskea geometristen elementtien etäisyydet, kulmat, pinta-alat ja tilavuudet tunnettujen pisteiden koordinaattien perusteella. Huomaa, että saatujen lopullisten yhtälöiden muoto riippuu koordinaattijärjestelmästä. Useimmiten ongelmissa käytetään suorakaiteen muotoista karteesista järjestelmää, koska sen kanssa on kätevintä työskennellä.
Viivayhtälö
Kun otetaan huomioon koordinaattimenetelmä sekä suoran ja tason väliset kulmat, aloitetaan suoran yhtälön asettamisesta. On olemassa useita tapoja esittää viivoja algebrallisessa muodossa. Tässä otetaan huomioon vain vektoriyhtälö, koska se voidaan helposti saada siitä missä tahansa muussa muodossa ja sen kanssa on helppo työskennellä.
Oletetaan, että pisteitä on kaksi: P ja Q. Tiedetään, että niiden läpi voidaan vetää viiva, ja setulee olemaan ainoa. Elementin vastaava matemaattinen esitys näyttää tältä:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Missä PQ¯ on vektori, jonka koordinaatit saadaan seuraavasti:
PQ¯=Q - P.
Symboli λ tarkoittaa parametria, joka voi ottaa täysin minkä tahansa luvun.
Kirjallisessa lausekkeessa voit muuttaa vektorin suuntaa ja myös korvata pisteen P sijasta koordinaatit Q. Kaikki nämä muunnokset eivät johda muutokseen suoran geometrisessa sijainnissa.
Huomaa, että tehtäviä ratkaistaessa on joskus tarpeen esittää kirjoitettu vektoriyhtälö eksplisiittisessä (parametrisessa) muodossa.
Tason asettaminen avaruuteen
Suoran linjan lisäksi tasolle on olemassa useita matemaattisten yhtälöiden muotoja. Niiden joukossa huomaamme vektorin, yhtälön segmenteissä ja yleisen muodon. Tässä artikkelissa kiinnitämme erityistä huomiota viimeiseen lomakkeeseen.
Yleinen yhtälö mieliv altaiselle tasolle voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Ax + By + Cz + D=0.
Latinalaiset isot kirjaimet ovat tiettyjä numeroita, jotka määrittelevät tason.
Tämän merkinnän mukavuus on, että se sisältää eksplisiittisesti tasoon nähden normaalin vektorin. Se on yhtä suuri kuin:
n¯=(A, B, C).
Tämän vektorin tunteminen mahdollistaa, kun tarkastellaan lyhyesti tason yhtälöä, kuvitella jälkimmäisen sijainti koordinaattijärjestelmässä.
Keskinäinen järjestely sisäänviiva- ja tasoavaruus
Artikkelin seuraavassa kappaleessa siirrymme tarkastelemaan koordinaattimenetelmää sekä suoran ja tason välistä kulmaa. Tässä vastaamme kysymykseen, kuinka tarkasteltavat geometriset elementit voidaan sijoittaa avaruuteen. On kolme tapaa:
- Suora leikkaa tason. Koordinaattimenetelmällä voit laskea, missä yksittäisessä pisteessä suora ja taso leikkaavat.
- Suoran taso on yhdensuuntainen. Tässä tapauksessa geometristen elementtien yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisua. Yhdensuuntaisuuden todistamiseen käytetään yleensä suoran suuntausvektorin skalaaritulon ja tason normaalin ominaisuutta.
- Kone sisältää viivan. Ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän tässä tapauksessa tulemme siihen tulokseen, että mille tahansa parametrin λ arvolle saadaan oikea yhtälö.
Toisessa ja kolmannessa tapauksessa määritettyjen geometristen objektien välinen kulma on nolla. Ensimmäisessä tapauksessa se on välillä 0 ja 90o.
Viivojen ja tasojen välisten kulmien laskenta
Nyt mennään suoraan artikkelin aiheeseen. Mikä tahansa suoran ja tason leikkauspiste tapahtuu jossain kulmassa. Tämä kulma muodostuu itse suorasta ja sen projektiosta tasoon. Projektio voidaan saada, jos mistä tahansa suoran pisteestä kohtisuora lasketaan tasolle ja sitten saadun tason ja kohtisuoran leikkauspisteen sekä tason ja alkuperäisen suoran leikkauspisteen kautta piirretään suora viiva, joka on projektio.
Viivojen ja tasojen välisten kulmien laskeminen ei ole vaikea tehtävä. Sen ratkaisemiseksi riittää, että tietää vastaavien geometristen kohteiden yhtälöt. Oletetaan, että nämä yhtälöt näyttävät tältä:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Haluttu kulma löytyy helposti käyttämällä skalaarivektoreiden u¯ ja n¯ tulon ominaisuutta. Lopullinen kaava näyttää tältä:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Tämä kaava sanoo, että suoran ja tason välisen kulman sini on yhtä suuri kuin merkittyjen vektorien skalaaritulon moduulin suhde niiden pituuksien tuloon. Ymmärtääksemme, miksi sini esiintyi kosinin sijaan, siirrytään alla olevaan kuvaan.
Voidaan nähdä, että jos käytämme kosinifunktiota, saamme vektorien u¯ ja n¯ välisen kulman. Haluttu kulma θ (α kuvassa) saadaan seuraavasti:
θ=90o- β.
Sini ilmestyy pelkistyskaavojen soveltamisen seurauksena.
Esimerkkiongelma
Siirrytään hankitun tiedon käytännön käyttöön. Ratkaistaan tyypillinen suoran ja tason välisen kulman ongelma. Seuraavat neljän pisteen koordinaatit on annettu:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
On tunnettua, että pisteiden kautta PQMsen läpi kulkee taso ja MN:n kautta suora. Koordinaattimenetelmällä on laskettava tason ja suoran välinen kulma.
Kirjoitetaan ensin muistiin suoran ja tason yhtälöt. Suoraa viivaa varten se on helppo muodostaa:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Lataaksemme tason yhtälön, löydämme ensin sille normaalin. Sen koordinaatit ovat yhtä suuret kuin kahden annetussa tasossa olevan vektorin vektoritulo. Meillä on:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Korvataan nyt minkä tahansa siinä olevan pisteen koordinaatit yleistason yhtälöön saadakseen vapaan termin D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Tasoyhtälö on:
11x + 4y + 5z - 7=0.
On vielä sovellettava kaavaa suoran ja tason leikkauskohdassa muodostuneelle kulmille saadaksesi vastaus ongelmaan. Meillä on:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Käyttäen tätä tehtävää esimerkkinä osoitimme, kuinka koordinaattimenetelmää käytetään geometristen ongelmien ratkaisemiseen.
