Neliöyhtälöt esiintyvät usein useissa matematiikan ja fysiikan ongelmissa, joten jokaisen opiskelijan pitäisi pystyä ratkaisemaan ne. Tässä artikkelissa kerrotaan tärkeimmistä menetelmistä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi ja annetaan myös esimerkkejä niiden käytöstä.
Mitä yhtälöä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi
Ensinnäkin vastaamme tämän kappaleen kysymykseen ymmärtääksemme paremmin, mistä artikkelissa on kyse. Toisen yhtälön yleinen muoto on siis seuraava: c + bx+ax2=0, missä a, b, c ovat joitain lukuja, joita kutsutaan kertoimilla. Tässä a≠0 on pakollinen ehto, muuten osoitettu yhtälö rappeutuu lineaariseksi. Jäljelle jäävät kertoimet (b, c) voivat saada mitä tahansa arvoa, mukaan lukien nolla. Siten lausekkeet, kuten ax2=0, missä b=0 ja c=0, tai c+ax2=0, missä b=0, tai bx+ax2=0, missä c=0 ovat myös toisen asteen yhtälöitä, joita kutsutaan epätäydellisiksi, koska joko lineaarinen kerroin b niissä on nolla tai nollaon vapaa termi c, tai ne molemmat katoavat.
Yhtälö, jossa a=1:tä kutsutaan pelkistetyksi, eli sen muoto on: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Neliöyhtälön ratkaisu on löytää sellaiset x-arvot, jotka täyttävät sen yhtälön. Näitä arvoja kutsutaan juuriksi. Koska kyseessä oleva yhtälö on toisen asteen lauseke, tämä tarkoittaa, että sen juurien enimmäismäärä ei voi ylittää kahta.
Mitä menetelmiä neliöyhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa
Yleensä on olemassa 4 ratkaisumenetelmää. Heidän nimensä on lueteltu alla:
- Factoring.
- Lisäys neliöön.
- Käyttäen tunnettua kaavaa (diskriminantin kautta).
- Ratkaisumenetelmä on geometrinen.
Kuten yllä olevasta luettelosta näet, kolme ensimmäistä menetelmää ovat algebrallisia, joten niitä käytetään useammin kuin viimeistä, joka sisältää funktion piirtämisen.
On toinenkin tapa ratkaista neliöyhtälöt käyttämällä Vieta-lausetta. Se voitaisiin sisällyttää viidenneksi yllä olevassa luettelossa, mutta näin ei tehdä, koska Vietan lause on yksinkertainen seuraus 3. menetelmästä.
Myöhemmin artikkelissa tarkastelemme tarkemmin nimettyjä ratkaisumenetelmiä ja annamme myös esimerkkejä niiden käytöstä tiettyjen yhtälöiden juurien löytämiseen.
Menetelmä 1. Factoring
Tälle toisen asteen yhtälöiden matematiikan menetelmälle on kaunisnimi: factorization. Tämän menetelmän olemus on seuraava: on välttämätöntä esittää toisen asteen yhtälö kahden termin (lausekkeen) tulona, joiden tulee olla nolla. Tällaisen esityksen jälkeen voit käyttää tuotteen ominaisuutta, joka on yhtä suuri kuin nolla vain, kun yksi tai useampi (kaikki) sen jäsenistä on nolla.
Mieti nyt tiettyjen toimintojen sarjaa, jotka on suoritettava löytääksesi yhtälön juuret:
- Siirrä kaikki jäsenet yhteen lausekkeen osaan (esimerkiksi vasemmalle), jotta vain 0 jää sen toiseen osaan (oikealle).
- Esitä yhtälön yhden osan termien summa kahden lineaarisen yhtälön tulona.
- Aseta jokainen lineaarinen lauseke nollaan ja ratkaise ne.
Kuten näet, tekijöiden jakamisalgoritmi on melko yksinkertainen, mutta useimmilla opiskelijoilla on vaikeuksia toisen kohdan toteuttamisessa, joten selitämme sen tarkemmin.
Jos voit arvata, mitkä 2 lineaarista lauseketta keskenään kerrottuna antavat halutun toisen asteen yhtälön, sinun on muistettava kaksi yksinkertaista sääntöä:
- Kahden lineaarisen lausekkeen lineaariset kertoimet, kun ne kerrotaan keskenään, antavat toisen asteen yhtälön ensimmäisen kertoimen, eli luvun a.
- Lineaaristen lausekkeiden vapaat termit kerrottuna antavat halutun yhtälön luvun c.
Kun kaikki tekijöiden lukumäärät on valittu, ne tulee kertoa, ja jos ne antavat halutun yhtälön, siirry vaiheeseen 3yllä olevaa algoritmia, muuten sinun tulee muuttaa kertoimia, mutta sinun on tehtävä tämä, jotta yllä olevia sääntöjä noudatetaan aina.
Esimerkki ratkaisusta faktorointimenetelmällä
Näytetään selkeästi, kuinka toisen asteen yhtälön ratkaisualgoritmi on muodostaa ja löytää tuntemattomat juuret. Annetaan mieliv altainen lauseke, esimerkiksi 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Siirrytään sen ratkaisuun tarkkailemalla pisteiden järjestystä 1-3, jotka on esitetty artikkelin edellisessä kappaleessa.
Kohde 1. Siirrä kaikki termit vasemmalle puolelle ja järjestä ne toisen asteen yhtälön klassiseen järjestykseen. Meillä on seuraava yhtäläisyys: 2x+(-8)+x2=0.
Kohde 2. Jaamme sen lineaaristen yhtälöiden tuloksi. Koska a=1 ja c=-8, niin valitsemme esimerkiksi tällaisen tuotteen (x-2)(x+4). Se täyttää yllä olevassa kappaleessa esitetyt odotettujen tekijöiden löytämistä koskevat säännöt. Jos avaamme sulut, saamme: -8+2x+x2, eli saamme täsmälleen saman lausekkeen kuin yhtälön vasemmalla puolella. Tämä tarkoittaa, että arvasimme kertoimet oikein, ja voimme siirtyä algoritmin kolmanteen vaiheeseen.
Kohde 3. Yhdistä jokainen tekijä nollaan, saamme: x=-4 ja x=2.
Jos tuloksesta on epäilyksiä, on suositeltavaa tarkistaa korvaamalla löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön. Tässä tapauksessa meillä on: 22+22-8=0 ja 2(-4)+(-4)2 -8=0. Juuret löytyi oikein.
Siksi, käyttämällä tekijöiden jakomenetelmää, havaitsimme, että annetulla yhtälöllä on kaksi eri juurtaon: 2 ja -4.
Menetelmä 2. Täydennä koko neliötä
Neliöyhtälöiden algebrassa kerroinmenetelmää ei aina voida käyttää, koska neliöyhtälön kertoimien murto-arvojen tapauksessa syntyy vaikeuksia algoritmin kappaleen 2 toteuttamisessa.
Täysi neliömenetelmä puolestaan on universaali ja sitä voidaan soveltaa minkä tahansa tyyppisiin neliöyhtälöihin. Sen ydin on suorittaa seuraavat toiminnot:
- Yhtälön ehdot, jotka sisältävät kertoimet a ja b, on siirrettävä yhtälön yhteen osaan ja vapaa termi c toiseen.
- Seuraavaksi yhtälön osat (oikea ja vasen) tulee jakaa kertoimella a, eli esittää yhtälö pelkistetyssä muodossa (a=1).
- Summaa termit kertoimilla a ja b edustamaan lineaarisen yhtälön neliötä. Koska a \u003d 1, niin lineaarinen kerroin on yhtä suuri kuin 1, kuten lineaarisen yhtälön vapaalla termillä, sen tulisi olla puolet pelkistetyn toisen yhtälön lineaarisesta kertoimesta. Kun lineaarilausekkeen neliö on piirretty, on tarpeen lisätä vastaava luku yhtälön oikealle puolelle, jossa vapaa termi sijaitsee, joka saadaan laajentamalla neliötä.
- Ota neliöjuuri "+"- ja "-"-merkeillä ja ratkaise jo saatu lineaarinen yhtälö.
Kuvattu algoritmi saattaa ensisilmäyksellä tuntua melko monimutkaiselta, mutta käytännössä se on helpompi toteuttaa kuin faktorointimenetelmä.
Esimerkki ratkaisusta, jossa käytetään täysneliötäydennystä
Annetaan esimerkki toisen asteen yhtälöstä sen ratkaisun harjoittelemiseksi edellisessä kappaleessa kuvatulla menetelmällä. Olkoon toisen asteen yhtälö -10 - 6x+5x2=0. Aloitamme sen ratkaisemisen edellä kuvatulla algoritmilla.
Kohde 1. Käytämme siirtomenetelmää neliöyhtälöiden ratkaisemisessa, saamme: - 6x+5x2=10.
Piste 2. Tämän yhtälön pelkistetty muoto saadaan jakamalla sen kunkin jäsenen numerolla 5 (jos molemmat osat jaetaan tai kerrotaan samalla luvulla, yhtälö säilyy). Muutosten tuloksena saamme: x2 - 6/5x=2.
Kohde 3. Puolet kertoimesta - 6/5 on -6/10=-3/5, käytä tätä numeroa neliön täydentämiseen, saamme: (-3/5+x) 2 . Laajennamme sitä ja tuloksena saatu vapaa termi tulee vähentää yhtälön vasemm alta puolelta, jotta se tyydyttää toisen asteen yhtälön alkuperäisen muodon, mikä vastaa sen lisäämistä oikealle puolelle. Tuloksena saadaan: (-3/5+x)2=59/25.
Kohde 4. Laske neliöjuuri positiivisilla ja negatiivisilla etumerkeillä ja etsi juuret: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Kahdella löydetyllä juurilla on seuraavat arvot: x1=(√59+3)/5 ja x1=(3-√59)/5.
Koska suoritetut laskelmat liittyvät juuriin, on suuri todennäköisyys tehdä virhe. Siksi on suositeltavaa tarkistaa juurten x2 ja x1 oikeellisuus. Saat x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Korvaa nytx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Olemme siis osoittaneet, että yhtälön löydetyt juuret ovat tosia.
Menetelmä 3. Tunnetun kaavan
soveltaminen
Tämä menetelmä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi on ehkä yksinkertaisin, koska se koostuu kertoimien korvaamisesta tunnetulla kaavalla. Sen käyttämiseksi sinun ei tarvitse ajatella ratkaisualgoritmien laatimista, riittää, että muistat vain yhden kaavan. Se näkyy yllä olevassa kuvassa.
Tässä kaavassa radikaalilauseketta (b2-4ac) kutsutaan diskriminantiksi (D). Sen arvo riippuu siitä, mitä juuria saadaan. Tapauksia on 3:
- D>0, niin kakkosjuuren yhtälöllä on todelliset ja erilaiset.
- D=0, niin saadaan juuri, joka voidaan laskea lausekkeesta x=-b/(a2).
- D<0, niin saat kaksi erilaista imaginaarijuurta, jotka esitetään kompleksilukuina. Esimerkiksi luku 3-5i on kompleksi, kun taas imaginaariyksikkö i täyttää ominaisuuden: i2=-1.
Esimerkki ratkaisusta laskemalla erotin
Annetaan esimerkki toisen asteen yhtälöstä, jota voidaan harjoitella käyttämällä yllä olevaa kaavaa. Etsi juuret arvolle -3x2-6+3x+4x=0. Laske ensin diskriminantin arvo, saamme: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Koska D<0 on saatu, se tarkoittaa, että tarkasteltavan yhtälön juuret ovat kompleksilukuja. Etsitään ne korvaamalla löydetty arvo D edellisessä kappaleessa annettuun kaavaan (se näkyy myös yllä olevassa kuvassa). Saamme: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Menetelmä 4. Funktiokaavion käyttäminen
Se kutsutaan myös graafiseksi menetelmäksi neliöyhtälöiden ratkaisemiseen. On sanottava, että sitä ei yleensä käytetä tarkasteltavan yhtälön kvantitatiiviseen, vaan kvalitatiiviseen analyysiin.
Menetelmän ydin on piirtää neliöfunktio y=f(x), joka on paraabeli. Sitten on tarpeen määrittää, missä pisteissä paraabeli leikkaa x-akselin (X), ne ovat vastaavan yhtälön juuria.
Jotta tietää, leikkaako paraabeli X-akselin, riittää, että tietää sen minimin (maksimi) sijainti ja haarojen suunta (ne voivat joko kasvaa tai pienentyä). Tämän käyrän kaksi ominaisuutta on muistettava:
- Jos a>0 - haaran paraabelit on suunnattu ylöspäin, päinvastoin, jos a<0, niin ne menevät alas.
- Paraabelin pienin (maksimi) koordinaatti on aina x=-b/(2a).
Sinun on esimerkiksi määritettävä, onko yhtälöllä -4x+5x2+10=0 juuret. Vastaava paraabeli suunnataan ylöspäin, koska=5>0. Sen ääripäässä on koordinaatit: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Koska käyrän minimi on x-akselin yläpuolella (y=9, 2), silloin se ei leikkaa jälkimmäistä milläänx arvot. Toisin sanoen annetulla yhtälöllä ei ole todellisia juuria.
Vietan lause
Kuten edellä mainittiin, tämä lause on seurausta menetelmästä nro 3, joka perustuu kaavan soveltamiseen erottimen kanssa. Vieta-lauseen ydin on, että sen avulla voit yhdistää yhtälön kertoimet ja sen juuret tasa-arvoon. Otetaan vastaavat yhtäläisyydet.
Käytetään kaavaa juurten laskemiseen diskriminantin kautta. Lisää kaksi juuria, saamme: x1+x2=-b/a. Kerrotaan nyt juuret keskenään: x1x2, sarjan yksinkertaistamisen jälkeen saadaan luku c/a.
Siten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi Vieta-lauseen avulla voit käyttää saatua kahta yhtälöä. Jos kaikki kolme yhtälön kerrointa tunnetaan, juuret voidaan löytää ratkaisemalla näiden kahden yhtälön sopiva järjestelmä.
Esimerkki Vietan lauseen käytöstä
Sinun on kirjoitettava toisen asteen yhtälö, jos tiedät, että sen muoto on x2+c=-bx ja sen juuret ovat 3 ja -4.
Koska a=1 tarkasteltavassa yhtälössä, Vieta-kaavat näyttävät tältä: x2+x1=-b ja x2x1=s. Korvaamalla juurten tunnetut arvot, saamme: b=1 ja c=-12. Tämän seurauksena palautettu neliöllinen pelkistetty yhtälö näyttää tältä: x2-12=-1x. Voit korvata sen juurten arvon ja varmistaa, että yhtäläisyys pätee.
Vieta-lauseen käänteinen soveltaminen, eli juurien laskeminenyhtälön tunnettu muoto, mahdollistaa pienten kokonaislukujen a, b ja c löytämisen nopeasti (intuitiivisesti) ratkaisuja.
