Jotkin matemaattiset tehtävät edellyttävät kykyä laskea neliöjuuri. Näihin ongelmiin kuuluu toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen. Tässä artikkelissa esittelemme tehokkaan menetelmän neliöjuurien laskemiseen ja käytämme sitä käytettäessä kaavoja toisen asteen yhtälön juurille.
Mikä on neliöjuuri?
Matematiikassa tämä käsite vastaa symbolia √. Historiallisten tietojen mukaan sitä alettiin käyttää ensimmäisen kerran 1500-luvun ensimmäisellä puoliskolla Saksassa (ensimmäinen saksalainen Christoph Rudolfin algebra-teos). Tutkijat uskovat, että tämä symboli on muunnettu latinalainen kirjain r (radix tarkoittaa "juurta" latinaksi).
Jokaisen luvun juuri on yhtä suuri kuin sellainen arvo, jonka neliö vastaa juurilauseketta. Matematiikan kielellä tämä määritelmä näyttää tältä: √x=y jos y2=x.
Positiivisen luvun juuri (x > 0) on myöspositiivinen luku (y > 0), mutta jos juuri otetaan negatiivisesta luvusta (x < 0), niin sen tulos on jo kompleksiluku, sisältäen imaginaariyksikön i.
Tässä on kaksi yksinkertaista esimerkkiä:
√9=3, koska 32 =9; √(-9)=3i, koska i2=-1.
Heronin iteratiivinen kaava neliöjuurien löytämiseksi
Yllä olevat esimerkit ovat hyvin yksinkertaisia, eikä niiden juurten laskeminen ole vaikeaa. Vaikeuksia alkaa ilmetä jo löydettäessä juuriarvoja mille tahansa arvolle, jota ei voida esittää luonnollisen luvun neliönä, esimerkiksi √10, √11, √12, √13, puhumattakaan siitä, että käytännössä se on tarpeen löytää juuret ei-kokonaisluvuille: esimerkiksi √(12, 15), √(8, 5) ja niin edelleen.
Kaikissa yllä mainituissa tapauksissa tulee käyttää erityistä neliöjuuren laskentamenetelmää. Tällä hetkellä tunnetaan useita tällaisia menetelmiä: esimerkiksi laajentaminen Taylor-sarjassa, jako sarakkeella ja joitain muita. Kaikista tunnetuista menetelmistä ehkä yksinkertaisin ja tehokkain on käyttää Heronin iteratiivista kaavaa, joka tunnetaan myös babylonialaisena neliöjuuren määritysmenetelmänä (on näyttöä siitä, että muinaiset babylonialaiset käyttivät sitä käytännön laskelmissaan).
Olkoon tarpeen määrittää √x:n arvo. Kaava neliöjuuren löytämiseksi on seuraava:
an+1=1/2(a+x/a), jossa limn->∞(a)=> x.
Poista tämä matemaattinen merkintä. √x:n laskemiseksi sinun tulee ottaa jokin luku a0 (se voi olla mieliv altainen, mutta nopean tuloksen saamiseksi se kannattaa valita siten, että (a0) 2 oli mahdollisimman lähellä x:ää, korvaa se sitten määritettyyn neliöjuurikaavalla ja saat uuden luvun a1, joka on jo olla lähempänä haluttua arvoa. on tarpeen korvata lausekkeeseen 1 ja saada 2 Tämä toimenpide tulee toistaa, kunnes vaadittu tarkkuus on saavutettu.
Esimerkki Heronin iteratiivisen kaavan soveltamisesta
Yllä kuvattu algoritmi tietyn luvun neliöjuuren saamiseksi saattaa kuulostaa monille melko monimutkaiselta ja hämmentävältä, mutta todellisuudessa kaikki on paljon yksinkertaisempaa, koska tämä kaava konvergoi hyvin nopeasti (varsinkin jos onnenluku on valittu a0).
Otetaan yksinkertainen esimerkki: meidän on laskettava √11. Valitsemme 0=3, koska 32=9, mikä on lähempänä lukua 11 kuin 42=16. Korvaamalla kaavaan saamme:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Ei ole mitään järkeä jatkaa laskelmia, koska olemme saaneet tuloksen, että a2 ja a3 alkavat erota vain viidennellä desimaalilla paikka. Näin ollen riitti vain 2 kertaa kaavan levittäminenlaske √11 tarkkuudella 0,0001.
Tällä hetkellä laskimia ja tietokoneita käytetään laajasti juurien laskemiseen, mutta on hyvä muistaa merkitty kaava, jotta niiden tarkka arvo voidaan laskea manuaalisesti.
Toisen asteen yhtälöt
Neliöjuuren ymmärtämistä ja kykyä laskea se käytetään ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. Nämä yhtälöt ovat yhtälöitä yhden tuntemattoman kanssa, jonka yleinen muoto on esitetty alla olevassa kuvassa.
Tässä c, b ja a ovat joitakin lukuja, ja a ei saa olla nolla, ja c:n ja b:n arvot voivat olla täysin mieliv altaisia, mukaan lukien nolla.
Kaikkia x:n arvoja, jotka täyttävät kuvassa esitetyn yhtälön, kutsutaan sen juuriksi (tätä käsitettä ei pidä sekoittaa neliöjuureen √). Koska tarkasteltavalla yhtälöllä on 2. kertaluku (x2), sen juurissa ei voi olla enempää kuin kaksi numeroa. Katsotaanpa kuinka löytää nämä juuret myöhemmin artikkelista.
Ennellisen yhtälön (kaavan) juurten löytäminen
Tätä menetelmää tarkasteltavan tyyppisten yhtäläisyyksien ratkaisemiseksi kutsutaan myös universaaliksi tai menetelmäksi diskriminantin kautta. Sitä voidaan soveltaa mihin tahansa toisen asteen yhtälöihin. Kaava toisen asteen yhtälön diskriminantille ja juurille on seuraava:
Se osoittaa, että juuret riippuvat yhtälön kunkin kolmen kertoimen arvosta. Lisäksi laskelmax1 eroaa laskennasta x2 vain neliöjuuren edessä olevalla merkillä. Radikaalilauseke, joka on yhtä suuri kuin b2 -4ac, ei ole mitään muuta kuin tarkasteltavan tasa-arvon erottaja. Toisen yhtälön juurien kaavan erottimella on tärkeä rooli, koska se määrittää ratkaisujen lukumäärän ja tyypin. Joten jos se on nolla, on vain yksi ratkaisu, jos se on positiivinen, yhtälöllä on kaksi reaalijuurta, lopuksi negatiivinen diskriminantti johtaa kahteen kompleksiseen juureen x1 ja x 2.
Vietan lause tai jotkin toisen asteen yhtälöiden juurien ominaisuudet
1500-luvun lopulla yksi modernin algebran perustajista, ranskalainen Francois Viet, joka tutki toisen asteen yhtälöitä, sai selville sen juurien ominaisuudet. Matemaattisesti ne voidaan kirjoittaa näin:
x1 + x2=-b / a ja x1 x 2=c / a.
Molemmat yhtäläisyydet ovat kuka tahansa helposti hankittavissa, tätä varten tarvitsee vain suorittaa asianmukaiset matemaattiset operaatiot kaavan ja diskriminantin kautta saatujen juurien kanssa.
Näiden kahden lausekkeen yhdistelmää voidaan perustellusti kutsua toisen asteen yhtälön juurien kaavaksi, jonka avulla on mahdollista arvata sen ratkaisut ilman erottajaa. Tässä on huomattava, että vaikka molemmat lausekkeet ovat aina voimassa, on kätevää käyttää niitä yhtälön ratkaisemiseen vain, jos se voidaan ottaa huomioon.
Omattujen tietojen lujittaminen
Ratkaistaan matemaattinen ongelma, jossa esittelemme kaikki artikkelissa käsitellyt tekniikat. Ongelman ehdot ovat seuraavat: sinun on löydettävä kaksi lukua, joiden tulo on -13 ja summa on 4.
Tämä ehto muistuttaa heti Vietan lausetta, jossa neliöjuurien ja niiden tulon summan kaavoja soveltaen kirjoitamme:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Olettaessaan a=1, niin b=-4 ja c=-13. Näiden kertoimien avulla voimme kirjoittaa toisen kertaluvun yhtälön:
x2 - 4x - 13=0.
Käytä kaavaa erottimen kanssa, saamme seuraavat juuret:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Toisin sanoen tehtävä supistettiin numeron √68 löytämiseen. Huomaa, että 68=417, jolloin neliöjuuren ominaisuuden avulla saamme: √68=2√17.
Käytetään nyt tarkasteltua neliöjuurikaavaa: a0=4, sitten:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Ei tarvitse laskea a3, koska löydetyt arvot eroavat vain 0,02. Siten √68=8,246. Korvaa se kaavaan x 1, 2, saamme:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 ja x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Kuten näet, löydettyjen lukujen summa on todellakin 4, mutta jos löydät heidän tuotteensa, se on yhtä suuri kuin -12,999, joka täyttää ongelman ehdon 0.001 tarkkuudella.
