Maailma on järjestetty siten, että suuren joukon ongelmia ratkaistaan toisen asteen yhtälön juurien löytämisessä. Yhtälöiden juuret ovat tärkeitä erilaisten kuvioiden kuvaamisessa. Tämän tiesivät jopa muinaisen Babylonin katsastajat. Tähtitieteilijät ja insinöörit joutuivat myös ratkaisemaan tällaisia ongelmia. Intialainen tiedemies Aryabhata kehitti 6. vuosisadalla jKr perusteet toisen asteen yhtälön juurien löytämiseksi. Kaavat valmistuivat 1800-luvulla.
Yleiset käsitteet
Pyydämme sinua tutustumaan toisen asteen yhtäläisyyksiin. Yleensä tasa-arvo voidaan kirjoittaa seuraavasti:
ax2 + bx + c=0, Neliöyhtälön juurien lukumäärä voi olla yksi tai kaksi. Nopea analyysi voidaan tehdä käyttämällä erottelun käsitettä:
D=b2 - 4ac
Riippuen lasketusta arvosta saamme:
- Kun D > 0 on kaksi eri juurta. Yleinen kaava toisen asteen yhtälön juurten määrittämiseksi näyttää tältä (-b± √D) / (2a).
- D=0, tässä tapauksessa juuri on yksi ja vastaa arvoa x=-b / (2a)
- D < 0, diskriminantin negatiiviselle arvolle yhtälölle ei ole ratkaisua.
Huomaa: jos diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole juuria vain reaalilukujen alueella. Jos algebraa laajennetaan monimutkaisten juurien käsitteeseen, yhtälöllä on ratkaisu.
Annetaan toimintaketju, joka vahvistaa juurien löytämisen kaavan.
Yhtälön yleisestä muodosta seuraa:
ax2 + bx=-c
Kerromme oikean ja vasemman osan 4a:lla ja lisäämme b2, saamme
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Muunna vasen puoli polynomin neliöksi (2ax + b)2. Otetaan yhtälön 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2) neliöjuuri molemmista puolista, siirretään kerroin b oikealle puolelle, saadaan:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Tästä seuraa:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Mitä piti näyttää.
Erikoistapaus
Joissakin tapauksissa ongelman ratkaisua voidaan yksinkertaistaa. Joten parilliselle kertoimelle b saamme yksinkertaisemman kaavan.
Meritä k=1/2b, niin toisen asteen yhtälön juurten yleisen muodon kaava on muotoa:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Kun D=0, saamme x=-k / a
Toinen erikoistapaus on yhtälön ratkaisu, jossa a=1.
Muodolle x2 + bx + c=0 juuret ovat x=-k ± √(k2 - c), jonka erottaja on suurempi kuin 0. Jos D=0, juuri määritetään yksinkertaisella kaavalla: x=-k.
Käytä kaavioita
Jokainen ihminen, tietämättään sitä, kohtaa jatkuvasti fysikaalisia, kemiallisia, biologisia ja jopa sosiaalisia ilmiöitä, jotka kuvataan hyvin neliöfunktiolla.
Huom: neliöfunktion perusteella muodostettua käyrää kutsutaan paraabeliksi.
Tässä muutamia esimerkkejä.
- Amuksen liikeradan laskennassa käytetään ominaisuutta liikkua horisonttiin nähden kulmassa ammutun kappaleen paraabelia pitkin.
- Paraabelin ominaisuus jakaa kuormituksen tasaisesti käytetään laaj alti arkkitehtuurissa.
Ymmärtääksemme parabolisen funktion tärkeyden, selvitetään, kuinka kuvaajaa käytetään sen ominaisuuksien tutkimiseen käyttämällä käsitteitä "diskriminantti" ja "neliöyhtälön juuret".
Riippuen kertoimien a ja b arvosta käyrän sijainnille on vain kuusi vaihtoehtoa:
- Diskriminantti on positiivinen, a:lla ja b:llä on eri etumerkit. Paraabelin haarat katsovat ylöspäin, toisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua.
- Diskriminantti ja kerroin b ovat nolla, kerroin a on suurempi kuin nolla. Kaavio on positiivisella vyöhykkeellä, yhtälöllä on 1 juuri.
- Diskriminantti ja kaikki kertoimet ovat positiivisia. Toisen yhtälöllä ei ole ratkaisua.
- Diskriminantti ja kerroin a ovat negatiivisia, b on suurempi kuin nolla. Kaavion haarat on suunnattu alaspäin, yhtälöllä on kaksi juuria.
- Erotteleva jakerroin b ovat nolla, kerroin a on negatiivinen. Paraabeli katsoo alas, yhtälöllä on yksi juuri.
- Diskriminantin ja kaikkien kertoimien arvot ovat negatiivisia. Ratkaisuja ei ole, funktioarvot ovat täysin negatiivisella alueella.
Huom: vaihtoehtoa a=0 ei oteta huomioon, koska tässä tapauksessa paraabeli muuttuu suoraksi.
Kaikki yllä oleva havainnollistetaan hyvin alla olevassa kuvassa.
Esimerkkejä ongelmanratkaisusta
Ehto: tee yleisten ominaisuuksien avulla toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat keskenään yhtä suuret.
Ratkaisu:
ongelman tilanteen mukaan x1 =x2 tai -b + √(b2-4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Merkintämerkinnän yksinkertaistaminen:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, avaa sulut ja anna vastaavat termit. Yhtälöstä tulee 2√(b2 - 4ac)=0. Tämä väite on totta, kun b2 - 4ac=0, joten b 2=4ac, niin arvo b=2√(ac) korvataan yhtälöllä
ax2 + 2√(ac)x + c=0, supistetussa muodossa saadaan x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Vastaus:
jos a ei ole yhtä suuri kuin 0 ja mikä tahansa c, on vain yksi ratkaisu, jos b=2√(c / a).
Neliöyhtälöillä on yksinkertaisuudestaan huolimatta suuri merkitys teknisissä laskelmissa. Melkein mikä tahansa fyysinen prosessi voidaan kuvata jollain approksimaatiollaluokan n tehofunktiot. Neliöyhtälö on ensimmäinen tällainen approksimaatio.
