Goldbachin ongelma on yksi vanhimmista ja huudetuimmista ongelmista kaiken matematiikan historiassa.
Tämä olettamus on osoittautunut todeksi kaikille kokonaisluvuille, jotka ovat pienempiä kuin 4 × 1018, mutta sitä ei ole todistettu matemaatikoiden huomattavista ponnisteluista huolimatta.
Numero
Goldbach-luku on positiivinen parillinen kokonaisluku, joka on parittoman alkulukuparin summa. Toinen Goldbach-oletuksen muoto on, että kaikki neljää suuremmat parilliset kokonaisluvut ovat Goldbach-lukuja.
Tällaisten numeroiden erottamista kutsutaan Goldbachin osioksi (tai osioksi). Alla on esimerkkejä samanlaisista osioista joidenkin parillisten lukujen kohdalla:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Hypoteesin löytäminen
Goldbachilla oli kollega nimeltä Euler, joka halusi laskea, kirjoittaa monimutkaisia kaavoja ja esittää ratkaisemattomia teorioita. Tässä he olivat samanlaisia kuin Goldbach. Euler teki samanlaisen matemaattisen arvoituksen jo ennen Goldbachia, jonka kanssa hänjatkuva kirjeenvaihto. Sitten hän ehdotti toista ehdotusta käsikirjoituksensa marginaaliin, jonka mukaan 2:ta suurempi kokonaisluku voitaisiin kirjoittaa kolmen alkuluvun summana. Hän piti 1:tä alkulukuna.
Näiden kahden hypoteesin tiedetään nyt olevan samanlaisia, mutta tämä ei näyttänyt tuolloin olevan ongelma. Goldbachin ongelman moderni versio sanoo, että jokainen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 5, voidaan kirjoittaa kolmen alkuluvun summana. Euler vastasi 30. kesäkuuta 1742 päivätyllä kirjeellä ja muistutti Goldbachia heidän aikaisemmasta keskustelustaan ("… puhumme siis alkuperäisestä (eikä marginaalista) hypoteesista, joka johtuu seuraavasta lausunnosta").
Euler-Goldbach-ongelma
2 ja sen parilliset luvut voidaan kirjoittaa kahden alkuluvun summana, mikä on myös Goldbachin olettamus. 30. kesäkuuta 1742 päivätyssä kirjeessä Euler totesi, että jokainen parillinen kokonaisluku on kahden alkuluvun yhteenlaskettu tulos, mitä hän pitää hyvin määriteltynä lauseena, vaikka hän ei voikaan todistaa sitä.
Kolmas versio
Goldbachin ongelman kolmas versio (vastaa kahta muuta versiota) on muoto, jossa olettamus yleensä esitetään nykyään. Se tunnetaan myös nimellä "vahva", "parillinen" tai "binaarinen" Goldbach-oletus, jotta se erottuisi heikommasta hypoteesista, joka tunnetaan nykyään nimellä "heikko", "pariton" tai "kolmiosainen" Goldbach-oletus. Heikko oletus väittää, että kaikki parittomat luvut, jotka ovat suurempia kuin 7, ovat kolmen parittoman alkuluvun summa. Heikko olettamus todettiin vuonna 2013. Heikko hypoteesi onvahvan hypoteesin seuraus. Käänteinen seuraus ja vahva Goldbachin olettamus ovat edelleen todistamattomia.
Tarkista
Pienillä n:n arvoilla Goldbachin ongelma (ja siten Goldbachin olettamus) voidaan varmistaa. Esimerkiksi Nils Pipping vuonna 1938 testasi huolellisesti hypoteesin arvoon n ≦ 105 asti. Ensimmäisten tietokoneiden tultua n:lle laskettiin paljon enemmän arvoja.
Oliveira Silva suoritti hajautetun tietokonehaun, joka vahvisti hypoteesin n ≦ 4 × 1018 (ja kaksinkertaisesti tarkistettu jopa 4 × 1017) vuodesta 2013 lähtien. Yksi tämän haun merkintä on, että 3 325 581 707 333 960 528 on pienin luku, jolla ei ole Goldbach-jakoa, jonka alkuluku on alle 9781.
Heuristiikka
Goldbachin arvelun vahvan muodon versio on seuraava: koska suurella on taipumus äärettömään n kasvaessa, odotamme, että jokaisella suurella parillisella kokonaisluvulla on enemmän kuin yksi esitys kahden alkuluvun summana. Mutta itse asiassa tällaisia esityksiä on paljon. Kuka ratkaisi Goldbach-ongelman? Valitettavasti ei vieläkään kukaan.
Tämä heuristinen argumentti on itse asiassa hieman epätarkka, koska se olettaa, että m on tilastollisesti riippumaton n:stä. Esimerkiksi, jos m on pariton, niin n - m on myös pariton, ja jos m on parillinen, niin n - m on parillinen, ja tämä on ei-triviaali (kompleksi)relaatio, koska luvun 2 lisäksi vain pariton luvut voivat olla alkulukuja. Vastaavasti, jos n on jaollinen 3:lla ja m oli jo muu alkuluku kuin 3, niin n - m on myös keskenäänalkuluku 3:lla, joten se on todennäköisemmin alkuluku kuin kokonaisluku. Hardy ja Littlewood suorittivat tämäntyyppisen analyysin huolellisemmin vuonna 1923 osana kuuluisaa Hardy-Littlewoodin yksinkertaista monikkooletusta, ja tekivät edellä mainitun koko teorian jalostuksen. Mutta se ei ole toistaiseksi auttanut ratkaisemaan ongelmaa.
Vahva hypoteesi
Vahva Goldbach-arvaus on paljon monimutkaisempi kuin heikko Goldbach-arvaus. Shnirelman osoitti myöhemmin, että mikä tahansa luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, voidaan kirjoittaa enintään C alkuluvun summaksi, missä C on tehokkaasti laskettava vakio. Monet matemaatikot yrittivät ratkaista sen laskemalla ja kertomalla lukuja, tarjoamalla monimutkaisia kaavoja jne. Mutta he eivät koskaan onnistuneet, koska hypoteesi on liian monimutkainen. Mikään kaava ei auttanut.
Mutta kannattaa siirtyä hieman pois kysymyksestä Goldbachin ongelman todistamisesta. Shnirelman-vakio on pienin C-luku tällä ominaisuudella. Shnirelman itse sai C <800 000. Tätä tulosta täydensivät myöhemmin monet kirjoittajat, kuten Olivier Ramaret, joka osoitti vuonna 1995, että jokainen parillinen luku n ≧ 4 on itse asiassa enintään kuuden alkuluvun summa. Tunnetuin tulos, joka tällä hetkellä liittyy Harald Helfgottin Goldbach-teoriaan.
Jatkokehitys
Vuonna 1924 Hardy ja Littlewood olettivat G. R. H. osoitti, että parillisten lukujen määrä X:ään asti, mikä rikkoo binaarista Goldbach-tehtävää, on paljon pienempi kuin pienillä c.
Vuonna 1973 Chen JingyunYritin ratkaista tätä ongelmaa, mutta se ei toiminut. Hän oli myös matemaatikko, joten hän rakasti arvoituksia ja lauseiden todistamista.
Vuonna 1975 kaksi amerikkalaista matemaatikkoa osoitti, että on olemassa positiivisia vakioita c ja C - ne, joille N on riittävän suuri. Erityisesti parillisten kokonaislukujen joukolla on nollatiheys. Kaikesta tästä oli hyötyä kolminaisen Goldbach-ongelman ratkaisutyössä, joka tapahtuu tulevaisuudessa.
Vuonna 1951 Linnik todisti vakion K olemassaolon siten, että jokainen riittävän suuri parillinen luku on tulosta yhden alkuluvun ja toisen alkuluvun yhteenlaskemisesta. Roger Heath-Brown ja Jan-Christoph Schlage-Puchta havaitsivat vuonna 2002, että K=13 toimii. Tämä on erittäin mielenkiintoista kaikille ihmisille, jotka haluavat lisätä toisiaan, laskea yhteen eri numeroita ja katsoa mitä tapahtuu.
Goldbach-ongelman ratkaisu
Kuten monien matematiikan tunnettujen olettamusten kohdalla, Goldbach-oletuksesta on olemassa useita väitettyjä todisteita, joita matemaattinen yhteisö ei hyväksy.
Vaikka Goldbachin olettamus viittaa siihen, että jokainen yhtä suurempi positiivinen kokonaisluku voidaan kirjoittaa enintään kolmen alkuluvun summana, ei aina ole mahdollista löytää sellaista summaa käyttämällä ahnetta algoritmia, joka käyttää suurinta mahdollista alkulukua jokaisessa vaiheessa. Pillai-sekvenssi pitää kirjaa numeroista, jotka vaativat eniten alkulukuja ahneissa esityksissään. Siksi ratkaisu Goldbach-ongelmaanedelleen kysymys. Siitä huolimatta ennemmin tai myöhemmin se todennäköisesti ratkeaa.
On olemassa teorioita, jotka ovat samanlaisia kuin Goldbachin ongelma, jossa alkuluvut korvataan muilla määrätyillä lukujoukoilla, kuten neliöillä.
Christian Goldbach
Christian Goldbach oli saksalainen matemaatikko, joka opiskeli myös lakia. Hänet muistetaan tänään Goldbach-oletuksesta.
Hän työskenteli matemaatikkona koko ikänsä - hän piti kovasti numeroiden lisäämisestä ja uusien kaavojen keksimisestä. Hän osasi myös useita kieliä, joista jokaisella hän piti henkilökohtaista päiväkirjaansa. Nämä kielet olivat saksa, ranska, italia ja venäjä. Joidenkin lähteiden mukaan hän puhui myös englantia ja latinaa. Hänet tunnettiin elinaikanaan melko tunnettuna matemaatikkona. Goldbach oli myös melko läheisesti sidoksissa Venäjään, koska hänellä oli monia venäläisiä kollegoita ja kuninkaallisen perheen henkilökohtainen suosio.
Hän jatkoi työskentelyä vastikään avatussa Pietarin tiedeakatemiassa vuonna 1725 matematiikan professorina ja akatemian historioitsijana. Vuonna 1728, kun Pietari II:sta tuli Venäjän tsaari, Goldbachista tuli hänen mentorinsa. Vuonna 1742 hän tuli Venäjän ulkoministeriöön. Eli hän todella työskenteli maassamme. Tuolloin Venäjälle tuli monia tiedemiehiä, kirjailijoita, filosofeja ja sotilaita, koska Venäjä oli tuolloin Amerikan k altainen mahdollisuuksien maa. Monet ovat tehneet uran täällä. Eikä sankarimme ole poikkeus.
Christian Goldbach oli monikielinen - hän kirjoitti päiväkirjan saksaksi ja latinaksi, hänen kirjeensäkirjoitettiin saksaksi, latinaksi, ranskaksi ja italiaksi, ja virallisissa asiakirjoissa hän käytti venäjää, saksaa ja latinaa.
Hän kuoli 20. marraskuuta 1764 74-vuotiaana Moskovassa. Päivä, jolloin Goldbachin ongelma ratkaistaan, on sopiva kunnianosoitus hänen muistolleen.
Johtopäätös
Goldbach oli suuri matemaatikko, joka antoi meille yhden tämän tieteen suurimmista mysteereistä. Ei tiedetä, ratkeaako se koskaan vai ei. Tiedämme vain, että sen oletettu resoluutio, kuten Fermatin lauseen tapauksessa, avaa uusia näkökulmia matematiikalle. Matemaatikot pitävät kovasti sen ratkaisemisesta ja analysoinnista. Se on erittäin mielenkiintoinen ja utelias heuristisesta näkökulmasta. Jopa matematiikan opiskelijat haluavat ratkaista Goldbach-tehtävän. Kuinka muuten? Loppujen lopuksi nuoria houkuttelee jatkuvasti kaikki valoisa, kunnianhimoinen ja ratkaisematon, koska voittamalla vaikeudet voi puolustaa itseään. Toivotaan, että pian nuoret, kunnianhimoiset ja utelias mielit ratkaisevat tämän ongelman.
