Sanalla "ääretön" jokaisella ihmisellä on omat assosiaationsa. Monet piirtävät mielikuvituksessaan horisontin yli ulottuvan meren, kun taas toisilla on silmiensä edessä kuva loputtomasta tähtitaivasta. Matemaatikot, jotka ovat tottuneet toimimaan numeroiden kanssa, kuvittelevat äärettömän aivan eri tavalla. He ovat vuosisatojen ajan yrittäneet löytää suurimman mittaamiseen tarvittavista fysikaalisista suureista. Yksi niistä on Grahamin numero. Kuinka monta nollaa siinä on ja mihin sitä käytetään, tämä artikkeli kertoo.
Ärattoman suuri määrä
Matematiikassa tämä on sellaisen muuttujan nimi x , jos jollekin tietylle positiiviselle luvulle M voidaan määrittää luonnollinen luku N siten, että kaikille luvuille n on suurempi kuin N epäyhtälö |x | > M. Ei kuitenkaan esimerkiksi kokonaislukua Z voi pitää äärettömän suurena, koska se on aina pienempi kuin (Z + 1).
Pari sanaa "jättiläisistä"
Suurin fyysistä merkitystä omaavia lukuja pidetään:
- 1080. Tätä numeroa, jota kutsutaan yleisesti kvinquavigintillioniksi, käytetään kuvaamaan kvarkkien ja leptonien (pienimpien hiukkasten) likimääräistä lukumäärää universumissa.
- 1 Google. Tällainen luku desimaalijärjestelmässä kirjoitetaan yksikkönä, jossa on 100 nollaa. Joidenkin matemaattisten mallien mukaan alkuräjähdyksen hetkestä massiivimman mustan aukon räjähdykseen pitäisi kulua 1-1,5 googol-vuotta, jonka jälkeen universumimme siirtyy olemassaolonsa viimeiseen vaiheeseen, eli voimme oletetaan, että tällä numerolla on tietty fyysinen merkitys.
- 8, 5 x 10185. Planckin vakio on 1,616199 x 10-35 m, eli desimaalimuodossa se näyttää 0,0000000000000000000000000000000616199 m. Siellä on noin 1 googol Planck -pituus tuumassa. On arvioitu, että noin 8,5 x 10185 Plankopituudet mahtuvat koko universumiimme.
- 277 232 917 – 1. Tämä on suurin tunnettu alkuluku. Jos sen binäärimerkinnällä on melko kompakti muoto, sen kuvaamiseksi desimaalimuodossa se vaatii vähintään 13 miljoonaa merkkiä. Se löydettiin vuonna 2017 osana hanketta, jossa etsittiin Mersennen numeroita. Jos harrastajat jatkavat työtä tähän suuntaan, niin tietokonetekniikan nykyisellä kehitystasolla he eivät todennäköisesti pysty lähitulevaisuudessa löytämään Mersennen numeroa, joka on suuruusluokkaa suurempi kuin 277 232 917- 1, vaikka sellainenonnekas voittaja saa US$150 000.
- Hugoplex. Tässä otamme vain 1 ja lisäämme sen perään nollia 1 googolin määrässä. Voit kirjoittaa tämän numeron muodossa 10^10^100. Sitä on mahdotonta esittää desimaalimuodossa, koska jos koko maailmankaikkeuden avaruus on täytetty paperipaloilla, joista jokaiselle kirjoitettaisiin 0”Word”-kirjasinkoolla 10, niin tässä tapauksessa vain puolet kaikki 0 luvun 1 jälkeen saadaan googolplex-luvulle.
- 10^10^10^10^10^1.1. Tämä on luku, joka osoittaa vuosien määrän, jonka jälkeen Poincarén lauseen mukaan universumimme palaa satunnaisten kvanttivaihteluiden seurauksena tilaan, joka on lähellä tätä päivää.
Kuinka Grahamin numerot syntyivät
Vuonna 1977 tunnettu tieteen popularisoija Martin Gardner julkaisi Scientific American -lehdessä artikkelin, joka koski Grahamin todistusta yhdestä Ramsen teorian ongelmista. Siinä hän kutsui tiedemiehen asettamaa rajaa suurimmaksi luvuksi, jota on koskaan käytetty vakavassa matemaattisessa päättelyssä.
Kuka on Ronald Lewis Graham
Tieteilija, nyt 80-vuotias, syntyi Kaliforniassa. Vuonna 1962 hän sai matematiikan tohtorin tutkinnon Berkeleyn yliopistosta. Hän työskenteli Bell Labsissa 37 vuotta ja siirtyi myöhemmin AT&T Labsiin. Tiedemies teki aktiivisesti yhteistyötä yhden 1900-luvun suurimmista matemaatikoista, Pal Erdősin kanssa, ja on useiden arvostettujen palkintojen voittaja. Grahamin tieteellinen bibliografia sisältää yli 320 tieteellistä artikkelia.
70-luvun puolivälissä tiedemies oli kiinnostunut teoriaan liittyvästä ongelmastaRamsey. Sen todistuksessa määritettiin ratkaisun yläraja, joka on erittäin suuri luku, joka myöhemmin nimettiin Ronald Grahamin mukaan.
Hyperkuution ongelma
Ymmärtääksesi Graham-luvun olemuksen, sinun on ensin ymmärrettävä, kuinka se saatiin.
Tutkija ja hänen kollegansa Bruce Rothschild ratkaisivat seuraavan ongelman:
On olemassa n-ulotteinen hyperkuutio. Kaikki sen kärkiparit yhdistetään siten, että saadaan täydellinen graafi, jossa on 2kärkeä. Jokainen sen reuna on joko sininen tai punainen. Piti löytää minimimäärä pisteitä, jotka hyperkuutiolla tulisi olla, jotta jokainen tällainen väritys sisältää täydellisen monokromaattisen aligraafin, jossa on 4 kärkeä samassa tasossa.
Päätös
Graham ja Rothschild osoittivat, että ongelmalla on ratkaisu N', joka täyttää ehdon 6 ⩽ N' ⩽N missä N on hyvin määritelty, erittäin suuri luku.
N:n alarajaa tarkensivat myöhemmin muut tutkijat, jotka osoittivat, että N:n on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin 13. Näin ollen hyperkuution pienimmän pistemäärän lauseke, joka täyttää yllä esitetyt ehdot, tuli 13 ⩽ N' ⩽ N.
Knuthin nuolen merkintä
Ennen kuin määrittelet Graham-luvun, sinun tulee tutustua sen symbolisen esitystavan menetelmään, koska desimaali- tai binäärimerkintä ei ole täysin sopiva tähän.
Tällä hetkellä Knuthin nuolta käytetään kuvaamaan tätä määrää. Hänen mukaansa:
ab="nuoli ylös" b.
Moninkertaisen eksponentioinnin käyttöä varten lisättiin merkintä:
a "nuoli ylös" "nuoli ylös" b=ab="torni, joka koostuu a:sta b kappaletta."
Ja pentaatiossa, eli edellisen operaattorin toistuvan eksponentioimisen symbolisessa merkitsemisessä, Knuth käytti jo kolmea nuolta.
Käytettäessä tätä Graham-luvun merkintää, meillä on "nuoli"-sekvenssit sisäkkäin, 64 kpl.
Asteikko
Heidän kuuluisan numeronsa, joka kiihottaa mielikuvitusta ja laajentaa ihmistietoisuuden rajoja viemällä sen maailmankaikkeuden rajojen ulkopuolelle, Graham ja hänen kollegansa saivat sen luvun N ylärajaksi hyperkuution todistuksessa. yllä esitetty ongelma. Tavallisen ihmisen on äärimmäisen vaikea kuvitella, kuinka suuri sen mittakaava on.
Kysymys merkkien määrästä tai, kuten joskus virheellisesti sanotaan, nollia Grahamin numerossa, kiinnostaa melkein kaikkia, jotka kuulevat tästä arvosta ensimmäistä kertaa.
Riittää todeta, että kyseessä on nopeasti kasvava sarja, joka koostuu 64 jäsenestä. Jopa sen ensimmäistä termiä on mahdoton kuvitella, koska se koostuu n:stä "tornista", jotka koostuvat 3:sta. Jo sen 3 kolminkertainen "alempi kerros" on yhtä suuri kuin 7 625 597 484 987, eli se ylittää 7 miljardia, mikä tarkoittaa 64. kerrosta (ei jäsen!). Tällä hetkellä on siis mahdotonta sanoa tarkalleen mikä Graham-luku on, koska se ei riitä laskemaan sitä.kaikkien maan päällä nykyään olevien tietokoneiden yhteisteho.
Ennätys rikki?
Kruskalin lausetta todistettaessa Grahamin luku "heitettiin pois jalust altaan". Tiedemies ehdotti seuraavaa ongelmaa:
On ääretön joukko äärellisiä puita. Kruskal osoitti, että jostain graafista on aina olemassa osa, joka on sekä osa suurempaa graafia että sen tarkka kopio. Tämä lausunto ei herätä epäilyksiä, koska on selvää, että äärettömyydessä on aina täsmälleen toistuva yhdistelmä
Myöhemmin Harvey Friedman hieman kavensi tätä ongelmaa ottamalla huomioon vain sellaiset asykliset graafit (puut), että tietylle kertoimella i on korkeintaan (i + k) kärkipisteitä. Hän päätti selvittää, kuinka monta asyklistä kuvaajaa pitäisi olla, jotta tällä heidän tehtävänsä menetelmällä olisi aina mahdollista löytää alipuu, joka upotetaan toiseen puuhun.
Tätä asiaa koskevan tutkimuksen tuloksena havaittiin, että N, riippuen k:stä, kasvaa v altavalla nopeudella. Erityisesti jos k=1, niin N=3. Kuitenkin, kun k=2, N saavuttaa jo arvon 11. Mielenkiintoisin asia alkaa, kun k=3. Tässä tapauksessa N "nousee" nopeasti ja saavuttaa arvon, joka on monta kertaa suurempi kuin Grahamin luku. Jos haluat kuvitella, kuinka suuri se on, riittää kirjoittaa Ronald Grahamin laskema luku G64:n muodossa (3). Tällöin Friedman-Kruskal-arvo (rev. FinKraskal(3)), on suuruusluokkaa G(G(187196)). Toisin sanoen saadaan mega-arvo, joka on äärettömän suurempikäsittämättömän suuri Graham-luku. Samaan aikaan jopa se on pienempi kuin ääretön v altavan monta kertaa. Tästä konseptista on järkevää puhua tarkemmin.
Infinity
Nyt kun olemme selittäneet, mikä Graham-luku sormissa on, meidän pitäisi ymmärtää merkitys, joka on ollut ja on sijoitettu tähän filosofiseen käsitteeseen. Loppujen lopuksi "ääretön" ja "äärittömän suuri määrä" voidaan pitää identtisinä tietyssä kontekstissa.
Suurimman panoksen tämän kysymyksen tutkimiseen antoi Aristoteles. Antiikin suuri ajattelija jakoi äärettömän potentiaaliseen ja todelliseen. Jälkimmäisellä hän tarkoitti äärettömien asioiden olemassaolon todellisuutta.
Aristoteleen mukaan idean lähteet tästä peruskäsitteestä ovat:
- aika;
- arvojen erottelu;
- rajan käsite ja jonkin sen takana olevan olemassaolo;
- luovan luonteen ehtymättömyys;
- ajattelu, jolla ei ole rajoja.
Nykyaikaisessa äärettömyyden tulkinnassa et voi määrittää kvantitatiivista mittaa, joten suurimman luvun etsiminen voi jatkua ikuisesti.
Johtopäätös
Voidaanko metaforaa "Katso äärettömyyteen" ja Grahamin numeroa pitää jossain mielessä synonyymeinä? Pikemminkin kyllä ja ei. Molempia on mahdoton kuvitella, jopa vahvimmalla mielikuvituksella. Kuten jo mainittiin, sitä ei kuitenkaan voida pitää "eniten, eniten". Toinen asia on, että tällä hetkellä Graham-lukua suuremmilla arvoilla ei ole vakiintuneita arvojafyysinen aisti.
Sillä ei myöskään ole äärettömän luvunominaisuuksia, kuten:
- ∞ + 1=∞;
- sekä parittomia että parillisia lukuja on ääretön määrä;
- ∞ - 1=∞;
- parittomien lukujen määrä on tasan puolet kaikista luvuista;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Yhteenvetona: Grahamin luku on suurin luku matemaattisten todisteiden käytännössä Guinnessin ennätysten kirjan mukaan. On kuitenkin lukuja, jotka ovat monta kertaa suurempia kuin tämä arvo.
Todennäköisesti tulevaisuudessa tarvitaan vielä suurempia "jättiläisiä", varsinkin jos ihminen menee aurinkokuntamme ulkopuolelle tai keksii jotain käsittämätöntä nykyisellä tietoisuutemme tasolla.
