Mikä on logaritmi (lg)

2024 Kirjoittaja: Angel Austin | [email protected]. Viimeksi muokattu: 2024-01-02 17:46

Matematiikassa logaritmi on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio. Tämä tarkoittaa, että lg:n logaritmi on potenssi, johon luku b on nostettava, jotta tuloksena saadaan x. Yksinkertaisimmassa tapauksessa se ottaa huomioon saman arvon toistuvan kertolaskun.

Mieti tiettyä esimerkkiä:

1000=10 × 10 × 10=103

Tässä tapauksessa se on lg:n kymmenen kantalogaritmi. Se on yhtä kuin kolme.

lg_101000=3

Yleensä lauseke näyttää tältä:

lg_bx=a

Exponentointi mahdollistaa minkä tahansa positiivisen reaaliluvun suurentamisen mihin tahansa reaaliarvoon. Tulos on aina suurempi kuin nolla. Siksi minkä tahansa kahden positiivisen reaaliluvun b ja x logaritmi, joissa b ei ole yhtä suuri kuin 1, on aina ainutlaatuinen reaaliluku a. Lisäksi se määrittelee eksponentioinnin ja logaritmin välisen suhteen:

lg_bx=a jos b^a=x.

Historia

Logaritmin (lg) historia juontaa juurensa Euroopasta 1600-luvulla. Tämä on uuden ominaisuuden avaaminenlaajensi analyysin laajuutta algebrallisten menetelmien ulkopuolelle. John Napier ehdotti logaritmien menetelmää julkisesti vuonna 1614 kirjassaan Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ("Logaritmien merkittävien sääntöjen kuvaus"). Ennen tiedemiehen keksintöä vastaavilla alueilla oli muita menetelmiä, kuten Jost Bürggin vuonna 1600 kehittämien etenemistaulukoiden käyttö.

Desimaalilogaritmi lg on logaritmi, jonka kantaluku on kymmenen. Ensimmäistä kertaa todellisia logaritmeja käytettiin heuristiikassa kertomisen muuntamiseksi yhteenlaskemiseksi, mikä helpotti nopeaa laskentaa. Jotkut näistä menetelmistä käyttivät trigonometrisista identiteeteistä johdettuja taulukoita.

Logaritmina (lg) tunnetun funktion löytäminen johtuu Prahassa asuvan belgialaisen Gregory de Saint Vincentin yrityksistä tehdä nelikulmainen suorakulmainen hyperbola.

Käytä

Logaritmeja käytetään usein matematiikan ulkopuolella. Jotkut näistä tapauksista liittyvät mittakaava-invarianssin käsitteeseen. Esimerkiksi nautilus-kuoren jokainen kammio on likimääräinen kopio seuraavasta, pienennetty tai suurennettu tietyn määrän kertoja. Tätä kutsutaan logaritmiseksi spiraaliksi.

Itse tehtyjen geometrioiden mitat, joiden osat näyttävät samanlaisilta kuin lopputuote, perustuvat myös logaritmiin. Logaritmiset asteikot ovat hyödyllisiä suhteellisen muutoksen kvantifiointiinarvot. Lisäksi, koska funktio log_{bx kasvaa hyvin hitaasti suurella x:llä, logaritmisia asteikkoja käytetään suuren mittakaavan tieteellisen tiedon pakkaamiseen. Logaritmit esiintyvät myös lukuisissa tieteellisissä kaavoissa, kuten Fensken yhtälössä tai Nernstin yhtälössä.}

Laskelma

Jotkin logaritmit voidaan laskea helposti, esimerkiksi log_{101000=3. Yleensä ne voidaan laskea käyttämällä potenssisarjoja tai aritmeettis-geometristä keskiarvoa tai erottaa enn alta laskettu taulukkologaritmi, jolla on suuri tarkkuus.}

Newtonin iteratiivista yhtälöiden ratkaisumenetelmää voidaan käyttää myös logaritmin arvon löytämiseen. Koska logaritmisen käänteisfunktio on eksponentiaalinen, laskentaprosessi yksinkertaistuu huomattavasti.