Luultavasti johdannaisen käsite on meille jokaiselle tuttu koulusta lähtien. Yleensä opiskelijoiden on vaikea ymmärtää tätä, epäilemättä erittäin tärkeää asiaa. Sitä käytetään aktiivisesti ihmisten elämän eri alueilla, ja monet tekniikan kehitystyöt perustuivat juuri derivaatta käyttämällä saatuihin matemaattisiin laskelmiin. Mutta ennen kuin siirrymme analysoimaan, mitä lukujen derivaatat ovat, kuinka ne lasketaan ja missä ne ovat hyödyllisiä meille, sukeltakaamme historiaan.
Historia
Divataation käsitteen, joka on matemaattisen analyysin perusta, löysi (olisi parempi sanoa "keksitty", koska sitä ei luonnossa sellaisenaan ollut) Isaac Newton, jonka me kaikki tunnemme. universaalin painovoiman lain löytämisestä. Hän sovelsi ensimmäistä kertaa tätä käsitettä fysiikassa liittääkseen kappaleiden nopeuden ja kiihtyvyyden luonteen. Ja monet tiedemiehet ylistävät edelleen Newtonia tästä upeasta keksinnöstä, koska itse asiassa hän keksi differentiaali- ja integraalilaskennan perustan, itse asiassa perustan koko matematiikan alueelle, jota kutsutaan "laskemiseksi". Jos tuolloin Nobel-palkinnon, Newton olisi saanut sen suurella todennäköisyydellä useita kertoja.
Ei ilman muita mahtavia mieliä. Paitsi NewtonSellaiset merkittävät matemaattiset nerot kuin Leonhard Euler, Louis Lagrange ja Gottfried Leibniz työskentelivät derivaatan ja integraalin kehittämisen parissa. Heidän ansiostaan olemme saaneet differentiaalilaskennan teorian siinä muodossa kuin se on olemassa tähän päivään asti. Muuten, Leibniz löysi derivaatan geometrisen merkityksen, joka osoittautui vain funktion kaavion tangentin kulman tangentiksi.
Mitä ovat lukujen johdannaiset? Toistetaan vähän, mitä kävimme läpi koulussa.
Mikä on johdannainen?
Tämä käsite voidaan määritellä useilla eri tavoilla. Yksinkertaisin selitys on, että derivaatta on funktion muutosnopeus. Kuvittele jonkin x:n funktion y kuvaaja. Jos se ei ole suora, siinä on käyriä kaaviossa, kasvu- ja laskujaksoja. Jos otamme tämän kaavion jonkin äärettömän pienen välin, se on suora jana. Joten tämän y-koordinaatin äärettömän pienen segmentin koon suhde x-koordinaatin kokoon on tämän funktion derivaatta tietyssä pisteessä. Jos tarkastelemme funktiota kokonaisuutena, ei tietyssä pisteessä, saamme derivatiivisen funktion, eli y:n tietyn riippuvuuden x:stä.
Lisäksi derivaatan fysikaalisen merkityksen funktion muutosnopeudena on olemassa myös geometrinen merkitys. Puhumme hänestä nyt.
Geometrinen aisti
Lukujen johdannaiset itse edustavat tiettyä lukua, joka ilman asianmukaista ymmärrystä ei sisälläei järkeä. Osoittautuu, että derivaatta ei näytä vain funktion kasvu- tai laskunopeutta, vaan myös tangentin kulmakertoimen tangenttia funktion kuvaajaan tietyssä pisteessä. Ei kovin selkeä määritelmä. Analysoidaan sitä tarkemmin. Oletetaan, että meillä on funktion kaavio (otetaan mielenkiinnon vuoksi käyrä). Sillä on ääretön määrä pisteitä, mutta on alueita, joissa vain yhdellä pisteellä on maksimi tai minimi. Minkä tahansa tällaisen pisteen kautta on mahdollista piirtää viiva, joka olisi kohtisuorassa funktion kuvaajaa vastaan kyseisessä pisteessä. Tällaista suoraa kutsutaan tangentiksi. Oletetaan, että vietimme sen OX-akselin risteykseen. Joten tangentin ja OX-akselin välinen kulma määräytyy derivaatan avulla. Tarkemmin sanottuna tämän kulman tangentti on yhtä suuri kuin se.
Puhutaanpa hieman erikoistapauksista ja analysoidaan lukujen johdannaisia.
Erikoistapaukset
Kuten olemme jo sanoneet, lukujen derivaatat ovat derivaatan arvoja tietyssä pisteessä. Otetaan esimerkiksi funktio y=x2. Derivaata x on luku ja yleisessä tapauksessa funktio, joka on yhtä suuri kuin 2x. Jos meidän on laskettava derivaatta esimerkiksi pisteessä x0=1, niin saadaan y'(1)=21=2. Kaikki on hyvin yksinkertaista. Mielenkiintoinen tapaus on kompleksiluvun derivaatta. Emme mene yksityiskohtaiseen selvitykseen siitä, mikä kompleksiluku on. Sanotaan vain, että tämä on luku, joka sisältää niin sanotun imaginaariyksikön - luvun, jonka neliö on -1. Tällaisen johdannaisen laskeminen on mahdollista vain seuraavissa tapauksissaehdot:
1) Reaali- ja imaginaariosien Y:n ja X:n suhteen on oltava ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat.
2) Ensimmäisessä kappaleessa kuvatut osittaisten derivaattojen yhtäläisyyteen liittyvät Cauchy-Riemannnin ehdot täyttyvät.
Toinen mielenkiintoinen tapaus, vaikkakaan ei niin monimutkainen kuin edellinen, on negatiivisen luvun johdannainen. Itse asiassa mikä tahansa negatiivinen luku voidaan esittää positiivisena lukuna kerrottuna -1:llä. No, vakion ja funktion derivaatta on yhtä suuri kuin vakio kerrottuna funktion derivaatalla.
On mielenkiintoista oppia johdannaisen roolista jokapäiväisessä elämässä, ja tästä keskustelemme nyt.
Hakemus
Todennäköisesti jokainen meistä vähintään kerran elämässään huomaa itsensä ajattelevan, että matematiikasta ei todennäköisesti ole hänelle hyötyä. Ja niin monimutkaisella asialla kuin johdannainen, ei luultavasti ole sovellutusta ollenkaan. Itse asiassa matematiikka on perustiede, ja kaikki sen hedelmät ovat pääasiassa fysiikan, kemian, tähtitieteen ja jopa taloustieteen kehittämiä. Derivaatta oli alku matemaattiselle analyysille, joka antoi meille mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä funktioiden kaavioista ja opimme tulkitsemaan luonnonlakeja ja kääntämään ne eduksemme sen ansiosta.
Johtopäätös
Kaikki eivät tietenkään välttämättä tarvitse johdannaista tosielämässä. Mutta matematiikka kehittää logiikkaa, jota varmasti tarvitaan. Matematiikkaa ei turhaan kutsuta tieteiden kuningattareksi: se muodostaa perustan muiden tiedonalojen ymmärtämiselle.
