Kolmio on yksi yleisimmistä geometrisista muodoista, jonka tunnemme jo peruskoulussa. Kysymys siitä, kuinka löytää kolmion pinta-ala, joutuu jokaisen opiskelijan eteen geometrian tunneilla. Joten, mitkä ovat piirteet, joilla tietyn hahmon alueen löytäminen voidaan erottaa? Tässä artikkelissa tarkastelemme peruskaavoja, jotka ovat välttämättömiä tällaisen tehtävän suorittamiseksi, sekä analysoimme kolmiotyyppejä.
Kolmioiden tyypit
Voit löytää kolmion pinta-alan täysin eri tavoilla, koska geometriassa on useampi kuin yksi kuvatyyppi, joka sisältää kolme kulmaa. Näitä lajeja ovat:
- Akuutti kolmio.
- Obt-kulma.
- Tasasivuinen (oikein).
- Oikea kolmio.
- Tasakylkinen.
Katsotaanpa lähemmin kutakin olemassa olevaa kolmiotyyppiä.
Akuuttikolmio
Tällaista geometristä kuviota pidetään yleisimpänä geometristen ongelmien ratkaisemisessa. Kun on tarpeen piirtää mieliv altainen kolmio, tämä vaihtoehto tulee apuun.
Jätevässä kolmiossa, kuten nimestä voi päätellä, kaikki kulmat ovat teräviä ja lasketaan yhteen 180°.
Obt-kulmainen kolmio
Tämä kolmio on myös hyvin yleinen, mutta se on hieman harvinaisempi kuin teräväkulmainen. Esimerkiksi kun ratkaiset kolmioita (eli tiedät useita sen sivuja ja kulmia ja sinun on löydettävä loput elementit), joskus sinun on määritettävä, onko kulma tylpä vai ei. Tylsän kulman kosini on negatiivinen luku.
Tylpässä kolmiossa yhden kulman arvo ylittää 90°, joten kahdella muulla kulmalla voi olla pieniä arvoja (esimerkiksi 15° tai jopa 3°).
Löytääksesi tämän tyyppisen kolmion alueen, sinun on tiedettävä joitain vivahteita, joista puhumme myöhemmin.
Säännölliset ja tasakylkiset kolmiot
Säännöllinen monikulmio on kuvio, joka sisältää n kulmaa ja kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. Tämä on oikea kolmio. Koska kolmion kaikkien kulmien summa on 180°, jokainen kolmesta kulmasta on 60°.
Säännöllistä kolmiota kutsutaan ominaisuutensa vuoksi myös tasasivuiseksi hahmoksi.
On myös syytä huomata, ettäsäännöllinen kolmio voidaan piirtää vain yhdellä ympyrällä ja vain yksi ympyrä sen ympärille, ja niiden keskipisteet sijaitsevat yhdessä pisteessä.
Tasasivuisen tyypin lisäksi voidaan valita myös tasakylkinen kolmio, joka poikkeaa siitä hieman. Tällaisessa kolmiossa kaksi sivua ja kaksi kulmaa ovat yhtä suuria toistensa kanssa, ja kolmas sivu (johon yhtäläiset kulmat rajoittuvat) on kanta.
Kuvassa on tasakylkinen kolmio DEF, jonka kulmat D ja F ovat yhtä suuret ja DF on kanta.
Oikea kolmio
Suorakulmainen kolmio on nimetty siten, että yksi sen kulmista on suora kulma, eli yhtä suuri kuin 90°. Kaksi muuta kulmaa ovat yhteensä 90°.
Tällaisen kolmion suurin sivu, joka sijaitsee vastapäätä 90°:n kulmaa, on hypotenuusa, kun taas sen kaksi muuta sivua ovat jalat. Tämän tyyppisille kolmioille voidaan soveltaa Pythagoraan lausetta:
Jalkojen pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden neliö.
Kuvassa on suorakulmainen kolmio BAC, jossa on hypotenuusa AC ja jalat AB ja BC.
Löytääksesi suorakulmaisen kolmion alueen, sinun on tiedettävä sen jalkojen numeeriset arvot.
Siirrytään kaavoihin tämän kuvion alueen löytämiseksi.
Perusaluekaavat
Geometriassa on kaksi kaavaa, jotka sopivat useimpien kolmioiden pinta-alan löytämiseen, nimittäin teräväkulmaisille, tylppäkulmaisille, säännöllisille jatasakylkiset kolmiot. Analysoidaan jokainen niistä.
Riedellä ja korkeudella
Tämä kaava on universaali tarkastelemamme kuvion alueen löytämiseen. Tätä varten riittää, että tietää sivun pituus ja siihen vedetyn korkeuden pituus. Itse kaava (puolet pohjan ja korkeuden tulosta) näyttää tältä:
S=½AH, jossa A on annetun kolmion sivu ja H on kolmion korkeus.
Esimerkiksi teräväkulmaisen kolmion ACB alueen löytämiseksi sinun on kerrottava sen sivu AB korkeudella CD ja jaettava saatu arvo kahdella.
Aina ei kuitenkaan ole helppoa löytää kolmion pinta-alaa tällä tavalla. Jos esimerkiksi haluat käyttää tätä kaavaa tylpäkulmaiselle kolmiolle, sinun on jatkettava yhtä sen sivuista ja vasta sen jälkeen piirrettävä siihen korkeus.
Käytännössä tätä kaavaa käytetään useammin kuin muita.
Kahdella sivulla ja kulmassa
Tämä kaava, kuten edellinen, sopii useimpiin kolmioihin ja on merkitykseltään seurausta kaavasta, jolla etsitään kolmion sivun ja korkeuden mukainen pinta-ala. Eli tarkasteltava kaava voidaan helposti johtaa edellisestä. Hänen sanamuotonsa näyttää tältä:
S=½sinOAB, jossa A ja B ovat kolmion sivuja ja O on sivujen A ja B välinen kulma.
Muista, että kulman siniä voidaan tarkastella erityisessä taulukossa, joka on nimetty erinomaisen neuvostomatemaatikon V. M. Bradisin mukaan.
Ja nyt siirrytään muihin kaavoihin,sopii vain poikkeuksellisille kolmiotyypeille.
Suorakulmaisen kolmion pinta-ala
Yleisen kaavan lisäksi, joka sisältää tarpeen piirtää korkeus kolmioon, suoran kulman sisältävän kolmion pinta-ala löytyy sen jaloista.
Siten suoran kulman sisältävän kolmion pinta-ala on puolet sen jalkojen tulosta, tai:
S=½ab, jossa a ja b ovat suorakulmaisen kolmion haarat.
säännöllinen kolmio
Tämän tyyppiset geometriset kuviot eroavat toisistaan siinä, että sen pinta-ala löytyy vain sen yhden sivun määritetyllä arvolla (koska säännöllisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret). Joten, kun olet kohdannut tehtävän "löytää kolmion pinta-ala, kun sivut ovat yhtä suuret", sinun on käytettävä seuraavaa kaavaa:
S=A2√3 / 4, jossa A on tasasivuisen kolmion sivu.
Heron's Formula
Viimeinen vaihtoehto kolmion alueen löytämiseksi on Heronin kaava. Jotta voit käyttää sitä, sinun on tiedettävä kuvion kolmen sivun pituudet. Heronin kaava näyttää tältä:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), jossa a, b ja c ovat tämän kolmion sivut.
Joskus annettu tehtävä: "säännöllisen kolmion pinta-ala - etsi sen sivun pituus." Tässä tapauksessa sinun on käytettävä jo tunnettua kaavaa säännöllisen kolmion alueen löytämiseen ja johdettava siitä sivun (tai sen neliön) arvo:
A2=4S / √3.
Koeongelmat
GIA-tehtävissäMatematiikassa on monia kaavoja. Lisäksi on usein tarpeen löytää kolmion pinta-ala ruudulliselta paperilta.
Tässä tapauksessa on kätevintä piirtää korkeus kuvion yhdelle sivulle, määrittää sen pituus soluittain ja käyttää yleiskaavaa alueen löytämiseen:
S=½AH.
Joten artikkelissa esitettyjen kaavojen tutkimisen jälkeen sinulla ei ole ongelmia löytää minkäänlaisen kolmion pinta-ala.
