Kolmio on yksinkertaisin tasossa suljettu kuvio, joka koostuu vain kolmesta toisiinsa kytketystä segmentistä. Geometriaongelmissa on usein tarpeen määrittää tämän kuvan pinta-ala. Mitä sinun tarvitsee tietää tätä varten? Artikkelissa vastaamme kysymykseen, kuinka löytää kolmion pinta-ala kolmelta sivulta.
Yleinen kaava
Jokainen oppilas tietää, että kolmion pinta-ala lasketaan sen minkä tahansa sivun pituuden tulona - a puolella korkeudella - h, laskettuna valitulle sivulle. Alla on vastaava kaava: S=ah/2.
Tätä lauseketta voidaan käyttää, jos tiedetään vähintään kaksi sivua ja niiden välisen kulman arvo. Tässä tapauksessa korkeus h on helppo laskea trigonometristen funktioiden, kuten sinin, avulla. Mutta kaikki eivät osaa löytää aluetta kolmion kolmelta sivulta.
Heron's Formula
Tämä kaava on vastaus kysymykseen mitenkolme sivua etsivät kolmion alueen. Ennen kuin kirjoitat sen muistiin, merkitään mieliv altaisen kuvion osien pituudet a, b ja c. Heronin kaava kirjoitetaan seuraavasti: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Missä p on kuvion puoliskon ympärysmitta, eli p=(a+b+c)/2.
Näennäisestä vaivallisuudesta huolimatta yllä oleva alue S on helppo muistaa. Tätä varten sinun on ensin laskettava kolmion puolikehä, vähennettävä siitä sitten yhdellä kuvan sivun pituudella, kerrottava kaikki saadut erot ja itse puolikehä. Ota lopuksi tuotteen neliöjuuri.
Tämä kaava on nimetty aikakautemme alussa eläneen Aleksandrian Heronin mukaan. Moderni historia uskoo, että tämä filosofi käytti ensimmäistä kertaa tätä ilmaisua vastaavien laskelmien suorittamiseen. Tämä kaava on julkaistu hänen Metricassa, joka juontaa juurensa 60 jKr. Huomaa, että jotkut Arkhimedesin teoksista, jotka asuivat kaksi vuosisataa aikaisemmin kuin Heronia, sisältävät merkkejä siitä, että kreikkalainen filosofi tiesi jo kaavan. Lisäksi muinaiset kiinalaiset tiesivät myös kuinka löytää kolmion pinta-ala, tietäen kolme sivua.
On tärkeää huomata, että ongelma voidaan ratkaista tietämättä Heronin kaavan olemassaoloa. Piirrä tätä varten pari korkeutta kolmioon ja käytä edellisen kappaleen yleiskaavaa laatimalla sopiva yhtälöjärjestelmä.
Heronin lauseketta voidaan käyttää mieliv altaisten polygonien pinta-alojen laskemiseen sen jälkeen, kun ne on jaettukolmiot ja laskemalla tuloksena olevien diagonaalien pituudet.
Esimerkki ongelmanratkaisusta
Kun tiedämme kuinka löytää kolmion pinta-ala kolmelta sivulta, vahvistetaan tietomme ratkaisemalla seuraava ongelma. Olkoon kuvan sivut 5 cm, 4 cm ja 3 cm. Etsi pinta-ala.
Kolmion kolme sivua tunnetaan, joten voit käyttää Heronin kaavaa. Laskemme puolikehän ja tarvittavat erot, meillä on:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1 cm;
- p-b=2 cm;
- p-c=3 cm.
Sitten saamme alueen: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Tehtävän ehdossa annettu kolmio on suorakulmainen, mikä on helppo tarkistaa, jos käytät Pythagoraan lausetta. Koska tällaisen kolmion pinta-ala on puolet jalkojen tulosta, saadaan: S=43/2=6 cm2.
Saatu arvo on sama kuin Heronin kaavalla, mikä vahvistaa jälkimmäisen pätevyyden.
