Jalat ja hypotenuusa ovat suorakulmaisen kolmion sivuja. Ensimmäiset ovat segmenttejä, jotka ovat oikean kulman vieressä, ja hypotenuusa on kuvion pisin osa ja on kulmaa vastapäätä kohdassa 90o. Pythagoraan kolmio on kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret kuin luonnolliset luvut; niiden pituuksia tässä tapauksessa kutsutaan "Pytagoraan kolmioksi".
Egyptin kolmio
Jotta nykyinen sukupolvi voisi oppia geometriaa siinä muodossa, jossa sitä nyt opetetaan koulussa, se on kehittynyt useiden vuosisatojen ajan. Peruskohta on Pythagoraan lause. Suorakulmaisen kolmion sivut (kuvio tunnetaan kaikkialla maailmassa) ovat 3, 4, 5.
Harvat ihmiset eivät tunne lausetta "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin." Lause kuulostaa kuitenkin itse asiassa tältä: c2 (hypotenuusan neliö)=a2+b2(neliöiden jalkojen summa).
Matemaatikoiden keskuudessa kolmiota, jonka sivut ovat 3, 4, 5 (cm, m jne.), kutsutaan "egyptiläiseksi". On mielenkiintoista, että ympyrän säde, joka on merkitty kuvaan, on yhtä suuri kuin yksi. Nimi sai alkunsa noin 500-luvulla eKr., kun kreikkalaiset filosofit matkustivat Egyptiin.
Pyramidien rakentamisessa arkkitehdit ja katsastajat käyttivät suhdetta 3:4:5. Tällaiset rakenteet osoittautuivat oikeasuhteisiksi, silmää miellyttäviksi ja tilaviksi, ja myös harvoin romahtaneiksi.
Suorakulman rakentamiseksi rakentajat käyttivät köyttä, johon sidottiin 12 solmua. Tässä tapauksessa suorakulmaisen kolmion rakentamisen todennäköisyys nousi 95 %:iin.
Yhtälukujen merkit
- Teräkulma suorakulmaisessa kolmiossa ja iso sivu, jotka ovat yhtä suuria kuin samat elementit toisessa kolmiossa, on kiistaton merkki kuvioiden yhtäläisyydestä. Kulmien summa huomioon ottaen on helppo todistaa, että myös toiset terävät kulmat ovat yhtä suuret. Siten kolmiot ovat identtisiä toisessa piirteessä.
- Kun kaksi hahmoa asetetaan päällekkäin, käännä niitä siten, että niistä tulee yhdessä tasakylkinen kolmio. Sen ominaisuuden mukaan sivut tai pikemminkin hypotenuusat ovat yhtä suuret, samoin kuin kulmat tyvessä, mikä tarkoittaa, että nämä luvut ovat samat.
Ensimmäisellä merkillä on erittäin helppo todistaa, että kolmiot ovat todella yhtä suuret, pääasia, että kaksi pienempää sivua (eli jalat) ovat keskenään yhtä suuret.
Kolmiot ovat samat II ominaisuudessa, jonka ydin on jalan ja terävän kulman yhtäläisyys.
Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet
Oikeasta kulmasta laskettu korkeus jakaa hahmon kahteen yhtä suureen osaan.
Suorakulmaisen kolmion sivut ja sen mediaani on helppo tunnistaa säännöstä: hypotenuusaan laskettu mediaani on puolet siitä. Figuurin pinta-ala voidaan löytää sekä Heronin kaavalla että väittämällä, että se on yhtä suuri kuin puolet jalkojen tulosta.
Suorakulmaisessa kolmiossa kulmien ominaisuudet kohdissa 30o, 45o ja 60o.
- Kulmassa, joka on 30o, muista, että vastakkainen jalka on yhtä suuri kuin 1/2 suurimmasta sivusta.
- Jos kulma on 45o, niin toinen terävä kulma on myös 45o. Tämä viittaa siihen, että kolmio on tasakylkinen ja sen jalat ovat samat.
- Kulman 60o ominaisuus on, että kolmannen kulman astemitta on 30o.
Alue on helppo selvittää jollakin kolmesta kaavasta:
- korkeuden ja puolen läpi, jolle se putoaa;
- Heronin kaavan mukaan;
- sivuilla ja niiden välisessä kulmassa.
Suorakulmaisen kolmion sivut, tai pikemminkin jalat, yhtyvät kahteen korkeuteen. Kolmannen löytämiseksi on otettava huomioon tuloksena oleva kolmio ja laskettava sitten Pythagoraan lauseen avulla tarvittava pituus. Tämän kaavan lisäksi on olemassa myös hypotenuusan pinta-alan ja pituuden kaksinkertainen suhde. Opiskelijoiden keskuudessa yleisin ilmaus on ensimmäinen, koska se vaatii vähemmän laskelmia.
Suorakulmioon sovelletut lauseetkolmio
Suorakulmaisen kolmion geometriaan sisältyy lauseiden käyttö, kuten:
- Pytagoraan lause. Sen ydin on siinä, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. Euklidisessa geometriassa tämä suhde on avainasemassa. Voit käyttää kaavaa, jos kolmio on annettu, esimerkiksi SNH. SN on hypotenuusa ja se on löydettävä. Sitten SN2=NH2+HS2.
- Kosinilause. Yleistää Pythagoraan lauseen: g2=f2+s2-2fscos niiden välisestä kulmasta. Esimerkiksi annettu kolmio DOB. Jalka DB ja hypotenuusa DO tunnetaan, on tarpeen löytää OB. Sitten kaava on seuraavanlainen: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos kulma D. Seurauksia on kolme: kolmion kulma on terävä, jos kolmanneksen pituuden neliö vähennetään kahden sivun neliöiden summasta, tuloksen on oltava pienempi kuin nolla. Kulma on tylppä, jos tämä lauseke on suurempi kuin nolla. Kulma on suora kulma, kun se on nolla.
- Sinilause. Se näyttää sivujen suhteen vastakkaisiin kulmiin. Toisin sanoen tämä on sivujen pituuksien suhde vastakkaisten kulmien sineihin. Kolmiossa HFB, jossa hypotenuusa on HF, se on totta: HF/sin kulman B=FB/sini kulman H=HB/sini kulman F.
