Kolmio on monikulmio, jossa on kolme sivua (kolme kulmaa). Useimmiten sivut on merkitty pienillä kirjaimilla, jotka vastaavat isoja kirjaimia, jotka osoittavat vastakkaisia pisteitä. Tässä artikkelissa tutustumme näiden geometristen muotojen tyyppeihin, lauseeseen, joka määrittää kolmion kulmien summan.
Näkymät kulman mukaan
Seuraavat kolmen pisteen monikulmiotyypit erotellaan:
- teräväkulmainen, jossa kaikki kulmat ovat teräviä;
- suorakulmainen, jossa on yksi suora kulma, kun taas sen muodostavia sivuja kutsutaan jaloiksi ja oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi;
- typpy, kun yksi kulma on tylppä;
- tasakylkiset, joissa kaksi sivua ovat yhtä suuret, ja niitä kutsutaan lateraaliseksi, ja kolmas on kolmion kanta;
- tasasivuinen, jolla on kaikki kolme yhtäläistä sivua.
Ominaisuudet
Ne korostavat tärkeimmät ominaisuudet, jotka ovat ominaisia kullekin kolmiotyypille:
- suurempaa puolta vastapäätä on aina suurempi kulma ja päinvastoin;
- samankokoiset vastakkaiset sivut ovat yhtä suuria kulmia ja päinvastoin;
- millä tahansa kolmiolla on kaksi terävää kulmaa;
- ulkokulma on suurempi kuin mikä tahansa sisäkulma, joka ei ole sen vieressä;
- kahden kulman summa on aina pienempi kuin 180 astetta;
- ulompi kulma on yhtä suuri kuin kahden muun kulman summa, jotka eivät leikkaa sen kanssa.
Kolmioiden summan kulmien lause
Lauseessa sanotaan, että jos lasketaan yhteen euklidisella tasolla sijaitsevan geometrisen kuvion kaikki kulmat, niin niiden summa on 180 astetta. Yritetään todistaa tämä lause.
Otetaan mieliv altainen kolmio, jonka kärjet ovat KMN.
Vedä kärjen M kautta suora viiva, joka on yhdensuuntainen suoran KN kanssa (tätä viivaa kutsutaan myös euklidiseksi suoraksi). Merkitsemme siihen pisteen A siten, että pisteet K ja A sijaitsevat suoran MN eri puolilla. Saadaan yhtä suuret kulmat AMN ja KNM, jotka, kuten sisäisetkin, ovat ristikkäin ja jotka muodostuvat sekantista MN yhdessä yhdensuuntaisten suorien KN ja MA kanssa. Tästä seuraa, että kärjessä M ja H sijaitsevan kolmion kulmien summa on yhtä suuri kuin kulman KMA koko. Kaikki kolme kulmaa muodostavat summan, joka on yhtä suuri kuin kulmien KMA ja MKN summa. Koska nämä kulmat ovat sisäpuolelta yksipuolisia suhteessayhdensuuntaiset suorat KN ja MA sekantilla KM, niiden summa on 180 astetta. Lause todistettu.
Seuraus
Yllä todistetusta lauseesta seuraa seuraava seuraus: millä tahansa kolmiolla on kaksi terävää kulmaa. Tämän todistamiseksi oletetaan, että tietyllä geometrisella kuviolla on vain yksi terävä kulma. Voidaan myös olettaa, että mikään kulmista ei ole terävä. Tässä tapauksessa on oltava vähintään kaksi kulmaa, jotka ovat yhtä suuria tai suurempia kuin 90 astetta. Mutta silloin kulmien summa on suurempi kuin 180 astetta. Mutta tämä ei voi olla, koska lauseen mukaan kolmion kulmien summa on 180 ° - ei enempää eikä vähempää. Tämä oli todistettava.
Ulkokulmakiinteistö
Mikä on kolmion ulkoisten kulmien summa? Tähän kysymykseen voidaan vastata kahdella tavalla. Ensimmäinen on, että on tarpeen löytää kulmien summa, jotka otetaan yksi kussakin kärjessä, eli kolme kulmaa. Toinen tarkoittaa, että sinun on löydettävä kaikkien kuuden kulman summa pisteissä. Ensin käsitellään ensimmäistä vaihtoehtoa. Kolmio sisältää siis kuusi ulkokulmaa - kaksi kussakin kärjessä.
Jokaisella parilla on samat kulmat, koska ne ovat pystysuorassa:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Lisäksi tiedetään, että kolmion ulkokulma on yhtä suuri kuin kahden sen kanssa leikkaamattoman sisäisen kulman summa. Siksi
∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Tästä käy ilmi, että ulkoisten summakulmat, jotka otetaan yksi kustakin kärjestä, ovat yhtä suuria kuin:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Kun kulmien summa on 180 astetta, voidaan väittää, että ∟A + ∟B + ∟C=180°. Ja tämä tarkoittaa, että ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Jos käytetään toista vaihtoehtoa, kuuden kulman summa on vastaavasti kaksi kertaa suurempi. Eli kolmion ulkokulmien summa on:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Oikea kolmio
Mikä on suorakulmaisen kolmion terävien kulmien summa? Vastaus tähän kysymykseen seuraa taas lauseesta, jonka mukaan kolmion kulmien summa on 180 astetta. Ja lausuntomme (ominaisuus) kuulostaa tältä: suorakulmaisessa kolmiossa terävät kulmat laskevat yhteen 90 astetta. Todistetaan sen totuus.
Annetaan kolmio KMN, jossa ∟Н=90°. On tarpeen todistaa, että ∟K + ∟M=90°.
Joten kulman summalauseen mukaan ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Ehtomme sanoo, että ∟Н=90°. Joten käy ilmi, ∟K + ∟M + 90°=180°. Eli ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Se meidän piti todistaa.
Yllä olevien suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien lisäksi voit lisätä seuraavat:
- jalkoja vasten olevat kulmat ovat teräviä;
- hypotenuusa on kolmiomainen enemmän kuin mikään jaloista;
- jalkojen summa on suurempi kuin hypotenuusa;
- jalkakolmio, joka sijaitsee vastapäätä 30 asteen kulmaa, on puolet hypotenuusasta, eli yhtä suuri kuin puolet siitä.
Tämän geometrisen kuvion toisena ominaisuutena voidaan erottaa Pythagoraan lause. Hän toteaa, että kolmiossa, jonka kulma on 90 astetta (suorakulmainen), jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö.
Tasakylkisen kolmion kulmien summa
Aiemmin sanoimme, että tasakylkinen on monikulmio, jossa on kolme kärkeä ja jossa on kaksi yhtäläistä sivua. Tämä tietyn geometrisen kuvion ominaisuus tunnetaan: sen pohjan kulmat ovat yhtä suuret. Todistetaan se.
Otetaan kolmio KMN, joka on tasakylkinen, KN on sen kanta.
Meidän on todistettava, että ∟К=∟Н. Oletetaan siis, että MA on kolmiomme KMN puolittaja. MCA-kolmio, kun otetaan huomioon ensimmäinen tasa-arvon merkki, on yhtä suuri kuin MCA-kolmio. Nimittäin ehdolla on annettu, että KM=NM, MA on yhteinen puoli, ∟1=∟2, koska MA on puolittaja. Käyttämällä sitä tosiasiaa, että nämä kaksi kolmiota ovat yhtä suuret, voimme todeta, että ∟K=∟Н. Joten lause on todistettu.
Mutta meitä kiinnostaa, mikä on kolmion (tasakylkinen) kulmien summa. Koska sillä ei tässä suhteessa ole omia erityispiirteitään, lähdetään liikkeelle aiemmin käsitellystä lauseesta. Eli voidaan sanoa, että ∟K + ∟M + ∟H=180° tai 2 x ∟K + ∟M=180° (koska ∟K=∟H). Emme todista tätä ominaisuutta, koska itse kolmion summalause on todistettu aiemmin.
Paitsi kuten on keskusteltuominaisuuksia kolmion kulmista, on myös sellaisia tärkeitä lauseita:
- tasakylkisessä kolmiossa kantaan laskettu korkeus on sekä mediaani, yhtäläisten sivujen välissä olevan kulman puolittaja että sen kannan symmetria-akseli;
- mediaanit (puolittajat, korkeudet), jotka on vedetty tällaisen geometrisen kuvion sivuille, ovat yhtä suuret.
Tasasivuinen kolmio
Sitä kutsutaan myös oikeaksi, se on kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Siksi myös kulmat ovat yhtä suuret. Jokainen on 60 astetta. Todistetaan tämä ominaisuus.
Oletetaan, että meillä on kolmio KMN. Tiedämme, että KM=NM=KN. Ja tämä tarkoittaa, että tasakylkisen kolmion kannalla olevien kulmien ominaisuuden mukaan ∟К=∟М=∟Н. Koska lauseen mukaan kolmion kulmien summa on ∟К + ∟М + ∟Н=180°, niin 3 x ∟К=180° tai ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Siten väite on todistettu.
Kuten yllä olevasta lauseeseen perustuvasta todistuksesta näkyy, tasasivuisen kolmion kulmien summa, kuten minkä tahansa muun kolmion kulmien summa, on 180 astetta. Tätä lausetta ei tarvitse todistaa uudelleen.
On myös sellaisia tasasivuiselle kolmiolle ominaisia ominaisuuksia:
- mediaani, puolittaja, korkeus tällaisessa geometrisessa kuviossa ovat samat ja niiden pituus lasketaan seuraavasti (a x √3): 2;
- jos kuvaat ympyrää tietyn monikulmion ympärillä, sen säde onon yhtä kuin (a x √3): 3;
- jos piirrät ympyrän tasasivuiseen kolmioon, sen säde on (a x √3): 6;
- tämän geometrisen kuvion pinta-ala lasketaan kaavalla: (a2 x √3): 4.
Obt-kulmainen kolmio
Tylppään kolmion määritelmän mukaan yksi sen kulmista on 90-180 astetta. Mutta koska tämän geometrisen kuvion kaksi muuta kulmaa ovat teräviä, voimme päätellä, että ne eivät ylitä 90 astetta. Siksi kolmion kulmien summa -lause toimii laskettaessa tylpän kolmion kulmien summaa. Osoittautuu, että voimme turvallisesti sanoa edellä mainitun lauseen perusteella, että tylpän kolmion kulmien summa on 180 astetta. Jälleen, tätä lausetta ei tarvitse todistaa uudelleen.
