Liikkuminen pyörimisakselin ympäri on yksi tavallisimmista esineiden liiketyypeistä luonnossa. Tässä artikkelissa tarkastelemme tämäntyyppistä liikettä dynamiikan ja kinematiikan näkökulmasta. Annamme myös tärkeimpiä fyysisiä suureita koskevia kaavoja.
Mistä liikkeestä puhumme?
Kirjaimellisessa merkityksessä puhumme kappaleiden siirtämisestä ympyrän ympäri, eli niiden pyörimisestä. Silmiinpistävä esimerkki tällaisesta liikkeestä on auton tai polkupyörän pyörän pyöriminen ajoneuvon liikkuessa. Pyöriminen akselinsa ympäri taitoluistelijassa, joka tekee monimutkaisia piruetteja jäällä. Tai planeettamme pyöriminen Auringon ympäri ja oman akselinsa ympäri kallistettuna ekliptiikan tasoon.
Kuten näet, tärkeä elementti tarkasteltavassa liiketyypissä on pyörimisakseli. Jokainen mieliv altaisen muotoisen kappaleen piste tekee ympyräliikkeitä ympärillään. Etäisyyttä pisteestä akseliin kutsutaan kiertosäteeksi. Monet koko mekaanisen järjestelmän ominaisuudet riippuvat sen arvosta, esimerkiksi hitausmomentti, lineaarinopeus jamuut.
Kiertodynamiikka
Jos kappaleiden lineaarisen translaatioliikkeen syynä avaruudessa on niihin vaikuttava ulkoinen voima, niin pyörimisakselin ympäri tapahtuvan liikkeen syynä on ulkoinen voimamomentti. Tätä arvoa kuvataan kohdistetun voiman F¯ ja etäisyysvektorin tulona sen kohdistamispisteestä akseliin r¯, eli
M¯=[r¯F¯]
Hetken M¯ toiminta johtaa kulmakiihtyvyyden α¯ esiintymiseen järjestelmässä. Molemmat suureet liittyvät toisiinsa jonkin kertoimen I kautta seuraavalla yhtälöllä:
M¯=Iα¯
Arvoa I kutsutaan hitausmomentiksi. Se riippuu sekä rungon muodosta että sen sisällä olevan massan jakautumisesta ja etäisyydestä pyörimisakseliin. Materiaalipisteelle se lasketaan kaavalla:
I=mr2
Jos ulkoinen voimamomentti on nolla, järjestelmä säilyttää liikemäärän L¯. Tämä on toinen vektorisuure, joka määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin:
L¯=[r¯p¯]
Tässä p¯ on lineaarinen liikemäärä.
Momentin L¯ säilymislaki kirjoitetaan yleensä seuraavasti:
Iω=jatkuva
Missä ω on kulmanopeus. Hänestä keskustellaan lisää artikkelissa.
Kiertokinematiikka
Toisin kuin dynamiikassa, tämä fysiikan osa käsittelee yksinomaan käytännön tärkeitä suureita, jotka liittyvät kappaleiden sijainnin ajalliseen muutokseentilaa. Eli pyörimisen kinematiikan tutkimuskohteita ovat nopeudet, kiihtyvyydet ja kiertokulmat.
Ensin esitellään kulmanopeus. Se ymmärretään kulmaksi, jonka läpi keho tekee käännöksen aikayksikköä kohden. Hetkellisen kulmanopeuden kaava on:
ω=dθ/dt
Jos kappale pyörii yhtäläisten kulmien läpi samoilla aikaväleillä, kiertoa kutsutaan tasaiseksi. Hänelle pätee keskimääräisen kulmanopeuden kaava:
ω=Δθ/Δt
Mitattu ω radiaaneina sekunnissa, mikä SI-järjestelmässä vastaa käänteissekunteja (c-1).
Epätasaisen pyörimisen tapauksessa käytetään kulmakiihtyvyyden α käsitettä. Se määrittää arvon ω ajanmuutosnopeuden, eli:
α=dω/dt=d2θ/dt2
Mitattu α radiaaneina neliösekunnissa (SI - c-2).
Jos kappale aluksi pyörii tasaisesti nopeudella ω0 ja sitten alkoi lisätä nopeuttaan vakiokiihtyvyydellä α, niin tällaista liikettä voidaan kuvata seuraavasti kaava:
θ=ω0t + αt2/2
Tämä yhtälö saadaan integroimalla kulmanopeusyhtälöt ajan kuluessa. θ:n kaavan avulla voit laskea kierrosten lukumäärän, jonka järjestelmä tekee pyörimisakselin ympäri ajassa t.
Lineaariset ja kulmanopeudet
Molemmat nopeudet keskenäänyhdistetty toiseen. Kun puhutaan pyörimisnopeudesta akselin ympäri, ne voivat tarkoittaa sekä lineaarisia että kulmaominaisuuksia.
Oletetaan, että jokin materiaalipiste pyörii akselin ympäri etäisyydellä r nopeudella ω. Silloin sen lineaarinen nopeus v on yhtä suuri kuin:
v=ωr
Lineaarisen ja kulmanopeuden välinen ero on merkittävä. Siten ω ei riipu etäisyydestä akseliin tasaisen pyörimisen aikana, kun taas v:n arvo kasvaa lineaarisesti r:n kasvaessa. Jälkimmäinen seikka selittää, miksi kiertosäteen kasvaessa on vaikeampaa pitää kappaletta ympyräradalla (sen lineaarinen nopeus ja sen seurauksena inertiavoimat kasvavat).
Maan akselinsa ympäri pyörimisnopeuden laskemisen ongelma
Kaikki tietävät, että planeettamme aurinkokunnassa suorittaa kahden tyyppistä pyörimisliikettä:
- akselinsa ympäri;
- tähden ympärillä.
Laske nopeudet ω ja v ensimmäiselle.
Kulmanopeutta ei ole vaikea määrittää. Muista, että planeetta tekee täydellisen kierroksen, joka vastaa 2pi radiaania, 24 tunnissa (tarkka arvo on 23 tuntia 56 minuuttia 4,1 sekuntia). Silloin ω:n arvo on:
ω=2pi/(243600)=7, 2710-5rad/s
Laskettu arvo on pieni. Osoitetaan nyt kuinka paljon ω:n itseisarvo eroaa v:n arvosta.
Laske lineaarinopeus v pisteille, jotka sijaitsevat planeetan pinnalla päiväntasaajan leveysasteella. Sikäli kuinMaa on litteä pallo, päiväntasaajan säde on hieman suurempi kuin napa. Se on 6378 km. Käyttämällä kaavaa kahden nopeuden yhdistämiseksi saamme:
v=ωr=7, 2710-56378000 ≈ 464 m/s
Tuloksena oleva nopeus on 1670 km/h, mikä on suurempi kuin äänen nopeus ilmassa (1235 km/h).
Maan pyöriminen akselinsa ympäri johtaa ns. Coriolis-voiman ilmaantumiseen, mikä tulee ottaa huomioon ballististen ohjusten lentämisessä. Se on myös syynä moniin ilmakehän ilmiöihin, kuten pasaatituulten suunnan poikkeamiseen länteen.
