Ympyrä on geometrian päähahmo, jonka ominaisuuksia tarkastellaan koulussa 8. luokalla. Yksi tyypillisistä ympyrään liittyvistä ongelmista on löytää sen jonkin osan alue, jota kutsutaan pyöreäksi sektoriksi. Artikkelissa on kaavoja sektorin pinta-alalle ja sen kaaren pituudelle sekä esimerkki niiden käytöstä tietyn ongelman ratkaisemiseen.
Ympyrän ja ympyrän käsite
Ennen kuin annat kaavan ympyrän sektorin pinta-alalle, pohditaan mikä on esitetty luku. Matemaattisen määritelmän mukaan ympyrä on sellainen tasossa oleva kuvio, jonka kaikki pisteet ovat yhtä kaukana jostakin pisteestä (keskipisteestä).
Ympyrää tarkasteltaessa käytetään seuraavaa terminologiaa:
- Säde - jana, joka piirretään keskipisteestä ympyrän käyrälle. Se on yleensä merkitty kirjaimella R.
- Halkaisija on jana, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, mutta kulkee myös kuvion keskipisteen läpi. Se on yleensä merkitty kirjaimella D.
- Kaari on osa kaarevaa ympyrää. Se mitataan joko pituusyksiköissä tai kulmien avulla.
Ympyrä on toinen tärkeä geometria, se on kokoelma pisteitä, joita rajoittaa kaareva ympyrä.
Ympyrän pinta-ala ja ympärysmitta
Kohteen otsikossa mainitut arvot lasketaan kahdella yksinkertaisella kaavalla. Ne on lueteltu alla:
- Ympärysmitta: L=2piR.
- Ympyrän pinta-ala: S=piR2.
Näissä kaavoissa pi on jokin vakio nimeltä Pi. Se on irrationaalinen, eli sitä ei voida ilmaista täsmälleen yksinkertaisena murtolukuna. Pi on noin 3,1416.
Kuten yllä olevista lausekkeista näet, pinta-alan ja pituuden laskemiseksi riittää, että tiedät vain ympyrän säteen.
Ympyrän sektorin pinta-ala ja sen kaaren pituus
Ennen kuin tarkastelemme vastaavia kaavoja, muistamme, että kulma geometriassa ilmaistaan yleensä kahdella päätavalla:
- seksagesimaaliasteina, ja täysi kierto sen akselin ympäri on 360o;
- radiaaneina, ilmaistuna pi:n murto-osina ja suhteessa asteineen seuraavalla yhtälöllä: 2pi=360o.
Ympyrän sektori on kuvio, jota rajoittaa kolme suoraa: ympyrän kaari ja kaksi sädettä, jotka sijaitsevat tämän kaaren päissä. Esimerkki pyöreästä sektorista näkyy alla olevassa kuvassa.
Ympyrän sektorin käsityksen saaminen on helppoaymmärtää kuinka sen pinta-ala ja vastaavan kaaren pituus lasketaan. Yllä olevasta kuvasta voidaan nähdä, että sektorin kaari vastaa kulmaa θ. Tiedämme, että täysi ympyrä vastaa 2pi radiaania, joten ympyränmuotoisen sektorin pinta-alan kaava on muotoa: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Tässä kulma θ ilmaistaan radiaaneina. Samanlainen kaava sektorialueelle, jos kulma θ mitataan asteina, näyttää tältä: S1=piθR2 /360.
Sektorin muodostavan kaaren pituus lasketaan kaavalla: L1=θ2piR/(2pi)=θR. Ja jos θ tunnetaan asteina, niin: L1=piθR/180.
Esimerkki ongelmanratkaisusta
Käytetään esimerkkiä yksinkertaisesta tehtävästä, kuinka käytetään kaavoja ympyrän sektorin pinta-alalle ja sen kaaren pituudelle.
Pyörässä tiedetään olevan 12 pinnoja. Kun pyörä tekee yhden täyden kierroksen, se kattaa 1,5 metrin matkan. Mikä on pyörän kahden vierekkäisen pinnan välinen alue ja mikä on niiden välisen kaaren pituus?
Kuten vastaavista kaavoista näkyy, käyttääksesi niitä, sinun on tiedettävä kaksi suuretta: ympyrän säde ja kaaren kulma. Säde voidaan laskea pyörän ympärysmitan tiedosta, sillä sen yhdellä kierroksella kulkema matka vastaa sitä täsmälleen. Meillä on: 2Rpi=1,5, mistä: R=1,5/(2pi)=0,2387 metriä. Lähimpien pinnojen välinen kulma voidaan määrittää tietämällä niiden lukumäärä. Olettaen, että kaikki 12 pinnaa jakavat ympyrän tasaisesti yhtä suuriin sektoreihin, saadaan 12 identtistä sektoria. Vastaavasti kahden puolan välisen kaaren kulmamitta on: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiaania.
Olemme löytäneet kaikki tarvittavat arvot, nyt ne voidaan korvata kaavoilla ja laskea ongelman ehdon vaatimat arvot. Saamme: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, tai 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m tai 12,5 cm.
