Sekunnit, tangentit - kaikki tämä kuultiin satoja kertoja geometrian tunneilla. Mutta valmistuminen koulusta on ohi, vuodet kuluvat ja kaikki tämä tieto unohtuu. Mitä pitää muistaa?
Essence
Termi "ympyrän tangentti" on luultavasti tuttu kaikille. Mutta on epätodennäköistä, että kaikki pystyvät muotoilemaan määritelmänsä nopeasti. Samaan aikaan tangentti on sellainen suora viiva, joka sijaitsee samassa tasossa ympyrän kanssa, joka leikkaa sen vain yhdessä pisteessä. Niitä voi olla v altava valikoima, mutta niillä kaikilla on samat ominaisuudet, joita käsitellään alla. Kuten arvata saattaa, kosketuspiste on paikka, jossa ympyrä ja viiva leikkaavat. Kussakin tapauksessa se on yksi, mutta jos niitä on enemmän, se on sekantti.
Löytö- ja tutkimushistoria
Tangentin käsite ilmestyi antiikissa. Näiden suorien rakentaminen ensin ympyräksi ja sitten ellipseiksi, paraabeleiksi ja hyperboleiksi viivaimen ja kompassin avulla tehtiin jo geometrian kehityksen alkuvaiheessa. Tietenkään historia ei ole säilyttänyt löytäjän nimeä, muttaon selvää, että jo tuolloin ihmiset olivat varsin tietoisia ympyrän tangentin ominaisuuksista.
Nykyaikana kiinnostus tätä ilmiötä kohtaan heräsi jälleen - alkoi tämän käsitteen uusi tutkimuskierros yhdistettynä uusien käyrien löytämiseen. Joten Galileo esitteli sykloidin käsitteen, ja Fermat ja Descartes rakensivat sille tangentin. Mitä tulee ympyröihin, näyttää siltä, että tällä alueella ei ole jäänyt mitään salaisuuksia muinaisille.
Ominaisuudet
Leikkauspisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa viivaa vastaan. Tämä on
pää, mutta ei ainoa ominaisuus, joka ympyrän tangentilla on. Toinen tärkeä ominaisuus sisältää jo kaksi suoraa. Joten yhden ympyrän ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää kaksi tangenttia, kun taas niiden segmentit ovat yhtä suuret. Tästä aiheesta on toinenkin lause, mutta sitä käsitellään harvoin tavallisen koulukurssin puitteissa, vaikka se on erittäin kätevä joidenkin ongelmien ratkaisemiseen. Se kuulostaa tältä. Ympyrän ulkopuolella sijaitsevasta pisteestä piirretään tangentti ja sekantti siihen. Muodostetaan segmentit AB, AC ja AD. A on viivojen leikkauspiste, B on kosketuspiste, C ja D ovat leikkauspisteet. Tässä tapauksessa pätee seuraava yhtälö: ympyrän tangentin pituus neliöitynä on yhtä suuri kuin segmenttien AC ja AD tulo.
Yllä olevasta on tärkeä seuraus. Jokaiselle ympyrän pisteelle voit rakentaa tangentin, mutta vain yhden. Todiste tästä on varsin yksinkertainen: pudottamalla sille teoriassa kohtisuora säteestä saamme selville, että muodostettukolmiota ei voi olla olemassa. Ja tämä tarkoittaa, että tangentti on ainoa.
Rakennus
Muiden geometrian ongelmien joukossa on yleensä erikoisluokka, ei
oppilaiden ja opiskelijoiden rakastama. Tämän kategorian tehtävien ratkaisemiseen tarvitset vain kompassin ja viivaimen. Nämä ovat rakennustehtäviä. On myös menetelmiä tangentin muodostamiseen.
Joten, annettu ympyrä ja piste, joka sijaitsee sen rajojen ulkopuolella. Ja niiden läpi on vedettävä tangentti. Kuinka tehdä se? Ensinnäkin sinun on piirrettävä segmentti ympyrän O keskustan ja tietyn pisteen väliin. Jaa se sitten kompassin avulla kahtia. Tätä varten sinun on asetettava säde - hieman yli puolet alkuperäisen ympyrän keskipisteen ja annetun pisteen välisestä etäisyydestä. Sen jälkeen sinun on rakennettava kaksi risteävää kaarta. Lisäksi kompassin sädettä ei tarvitse muuttaa, ja kunkin ympyrän osan keskipiste on alkupiste ja vastaavasti O. Kaarien leikkauspisteet on yhdistettävä, mikä jakaa segmentin puoliksi. Aseta kompassin säde, joka on yhtä suuri kuin tämä etäisyys. Piirrä seuraavaksi toinen ympyrä keskipisteen ollessa leikkauspisteessä. Sen päällä ovat sekä alkupiste että O. Tässä tapauksessa tehtävässä annetulla ympyrällä on vielä kaksi leikkauspistettä. Ne ovat alun perin annetun pisteen kosketuspisteitä.
Mielenkiintoista
Ympyrän tangenttien rakentaminen johti
differentiaalilaskenta. Ensimmäinen työ tästä aiheesta olijulkaisi kuuluisa saksalainen matemaatikko Leibniz. Hän tarjosi mahdollisuuden löytää maksimit, minimit ja tangentit murto- ja irrationaalisista arvoista riippumatta. No, nyt sitä käytetään myös moniin muihin laskelmiin.
Lisäksi ympyrän tangentti liittyy tangentin geometriseen merkitykseen. Siitä sen nimi tulee. Latinasta käännettynä tangens tarkoittaa "tangenttia". Näin ollen tämä käsite ei liity ainoastaan geometriaan ja differentiaalilaskemiseen, vaan myös trigonometriaan.
Kaksi ympyrää
Ei aina tangentti vaikuta vain yhteen muotoon. Jos yhteen ympyrään voidaan vetää v altava määrä suoria viivoja, niin miksi ei päinvastoin? Voi. Mutta tehtävä tässä tapauksessa on vakavasti monimutkainen, koska kahden ympyrän tangentti ei välttämättä kulje minkään pisteen läpi, ja kaikkien näiden lukujen suhteellinen sijainti voi olla hyvin
erilainen.
Tyypit ja lajikkeet
Kun kyse on kahdesta ympyrästä ja yhdestä tai useammasta viivasta, vaikka tiedettäisiin, että nämä ovat tangentteja, ei heti käy selväksi, kuinka kaikki nämä luvut sijaitsevat suhteessa toisiinsa. Tämän perusteella on olemassa useita lajikkeita. Joten ympyröillä voi olla yksi tai kaksi yhteistä pistettä tai ei niitä ollenkaan. Ensimmäisessä tapauksessa ne leikkaavat, ja toisessa ne koskettavat. Ja tässä on kaksi lajiketta. Jos yksi ympyrä on ikään kuin upotettu toiseen, kosketusta kutsutaan sisäiseksi, jos ei, niin ulkoiseksi. ymmärtää molemminpuolistakuvioiden sijainti on mahdollista paitsi piirustuksen perusteella, myös tieto niiden säteiden summasta ja niiden keskipisteiden välisestä etäisyydestä. Jos nämä kaksi määrää ovat yhtä suuret, ympyrät koskettavat. Jos ensimmäinen on suurempi, ne leikkaavat, ja jos se on pienempi, niillä ei ole yhteisiä pisteitä.
Sama suorilla viivoilla. Kahdessa ympyrässä, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, voit
konstruoi neljä tangenttia. Kaksi niistä leikkaa lukujen välillä, niitä kutsutaan sisäisiksi. Pari muuta ovat ulkoisia.
Jos puhumme ympyröistä, joilla on yksi yhteinen piste, tehtävä yksinkertaistuu huomattavasti. Tosiasia on, että kaikissa keskinäisissä järjestelyissä tässä tapauksessa niillä on vain yksi tangentti. Ja se kulkee heidän leikkauspisteensä läpi. Joten vaikeuden rakentaminen ei aiheuta.
Jos kuvioilla on kaksi leikkauspistettä, niille voidaan rakentaa suora, joka tangentti ympyrää, sekä yksi että toinen, mutta vain ulompi. Ratkaisu tähän ongelmaan on samanlainen kuin se, jota käsitellään alla.
Ongelmanratkaisu
Kahden ympyrän sisäiset ja ulkoiset tangentit eivät ole niin helppoja rakentaa, vaikka tämä ongelma voidaan ratkaista. Tosiasia on, että tähän käytetään apuhahmoa, joten mieti tätä menetelmää itse
melko ongelmallista. Eli annetaan kaksi ympyrää, joilla on eri säteet ja keskipisteet O1 ja O2. Niitä varten sinun on rakennettava kaksi paria tangentteja.
Ensinnäkin lähellä suuremman keskustaaympyrät on rakennettava apuvälineiksi. Tässä tapauksessa kahden alkuluvun säteiden välinen ero on määritettävä kompassilla. Apuympyrän tangentit rakennetaan pienemmän ympyrän keskustasta. Sen jälkeen O1:stä ja O2:sta piirretään kohtisuorat näille viivoille, kunnes ne leikkaavat alkuperäisten kuvioiden kanssa. Kuten tangentin pääominaisuudesta seuraa, molemmista ympyröistä löydetään halutut pisteet. Ongelma ratkaistu, ainakin sen ensimmäinen osa.
Sisäisten tangenttien muodostamiseksi sinun on ratkaistava käytännössä
samanlainen tehtävä. Jälleen tarvitaan apuluku, mutta tällä kertaa sen säde on yhtä suuri kuin alkuperäisten summa. Tangentit rakennetaan sille yhden annetun ympyrän keskustasta. Ratkaisun jatkokulku voidaan ymmärtää edellisestä esimerkistä.
Ympyrän tai jopa kahden tai useamman tangentti ei ole niin vaikea tehtävä. Tietenkin matemaatikot ovat pitkään lakanneet ratkaisemasta tällaisia ongelmia manuaalisesti ja luottavat laskelmiin erikoisohjelmiin. Mutta älä ajattele, että nyt ei tarvitse pystyä tekemään sitä itse, koska sinun on tehtävä ja ymmärrettävä paljon, jotta voit muotoilla tehtävän oikein tietokoneelle. Valitettavasti pelätään, että lopullisen tiedonhallinnan koemuotoon siirtymisen jälkeen rakennustehtävät aiheuttavat opiskelijoille yhä enemmän vaikeuksia.
Ympyröiden yhteisten tangenttien löytäminen ei ole aina mahdollista, vaikka ne olisivat samassa tasossa. Mutta joissakin tapauksissa voit löytää tällaisen suoran.
Elämäesimerkkejä
Kahden ympyrän yhteinen tangentti kohdataan usein käytännössä, vaikka se ei aina ole havaittavissa. Kuljettimet, lohkojärjestelmät, hihnapyörän voimansiirtohihnat, langankireys ompelukoneessa ja jopa vain polkupyörän ketju - kaikki nämä ovat esimerkkejä elämästä. Älä siis ajattele, että geometriset ongelmat jäävät vain teoriaksi: tekniikassa, fysiikassa, rakentamisessa ja monilla muilla aloilla niille löytyy käytännön sovelluksia.
