Yksi matematiikan haaroista, jonka kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavojen avulla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään pi-lukua laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamiseen, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia loogisia ketjuja.
Trigonometrian alkuperä
Tämän tieteen johdannon tulisi alkaa määrittämällä kulman sini, kosini ja tangentti, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.
Historiallisesti suorakulmaiset kolmiot ovat olleet pääasiallinen tutkimuskohde tässä matemaattisen tieteen osassa. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, jotka mahdollistavat kaksisivut ja yksi kulma tai kaksi kulmaa ja yksi sivu määrittääksesi kyseisen kuvan kaikkien parametrien arvot. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän mallin ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.
Aloitus
Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat tämän matematiikan osan arkielämän käytön rajojen laajentamisen.
Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen oppilaat käyttävät opiskelua fysiikassa ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, joiden kanssa työ alkaa lukiossa.
Pyörätrigonometria
Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa sovelletaan muita sääntöjä, ja kolmion kulmien summa on aina suurempi. yli 180 astetta. Tätä osaa ei opiskella koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi, että maan pinta ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pinnan merkinnät ovat "kaaren muotoisia" " kolmiulotteisessa avaruudessa.
Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Se käsittelee sellaisia muotojageodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla käytetty pallogeometria.
Oikea kolmio
Kun on opittu hieman trigonometrian käyttötavoista, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.
Ensinnäkin sinun on ymmärrettävä suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.
Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.
Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.
Määritelmä
Lopuksi, kun ymmärrämme hyvin geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.
Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen haaran suhde hypotenuusaan.
Muista, että sini tai kosini eivät voi olla suurempia kuin yksi! Miksi?Koska hypotenuusa on oletuksena suorakulmaisen kolmion pisin sivu. Riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.
Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.
Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.
Olemme siis tarkastelleet sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin määritelmiä, ja voimme käsitellä kaavoja.
Yksinkertaiset kaavat
Trigonometriassa ei tule toimeen ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Mutta juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.
Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos sinun on selvitettävä kulman arvo, ei sivun arvo.
Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, myös hyvinsuosittu koulutehtävien ratkaisussa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mikä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itsenäisesti johtaa vaaditut monimutkaisemmat kaavat paperille.
Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen
Kaksi muuta opittavaa kaavaa liittyvät kulmien summan ja eron sini- ja kosiniarvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmilla kerroilla ja toisessa tapauksessa sinin ja kosinin parillinen tulo lisätään.
Kaksoiskulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettuja aiemmista. Käytännössä yritä hankkia ne itse ottamalla alfakulmaksi yhtä suuri kuin beetan kulma.
Huomaa lopuksi, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa sinin, kosinin ja tangentin alfa-asteen vähentämiseksi.
Lauseet
Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja suuruuskummallakin puolella jne.
Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin rajatun ympyrän kaksi sädettä, eli ympyrä, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.
Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että kahden sivun neliöiden summasta vähennetään niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.
Virheet huolimattomuudesta
Vaikka tietäisikin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe, joka johtuu hajamielisyydestä tai virheestä yksinkertaisimmissa laskelmissa. Tällaisten virheiden välttämiseksi katsotaanpa suosituimpia.
Ensinnäkin, älä muunna yhteisiä murtolukuja desimaaleiksi ennen lopputuloksen saamista - voit jättää vastauksen yhteiseksi murtoluvuksi, ellei ehdossa toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että tehtävän jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee pyöristystä."Rumat" numerot.
Huomaa seuraavaksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisesti kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärtämisen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.
Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, ja saat väistämättä virheellisen tuloksen.
Hakemus
Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opintoja, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa käytetään muodossa tai toisessa kaikkialla musiikista lääketieteeseen.
Lopuksi
Tiedät siis mitä sini, kosini ja tangentti ovat. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.
Koko pointtitrigonometria rajoittuu siihen, että kolmion tunnettujen parametrien mukaan on tarpeen laskea tuntemattomat. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Tehtävien koko ero on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.
Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja tässä tavallinen koulumatematiikka auttaa sinua.
