Kiinogeometrian koulukurssilla yksi yksinkertaisimmista hahmoista, jonka mitat ovat nollasta poikkeavat kolmella tila-akselilla, on nelikulmainen prisma. Mieti artikkelissa, millainen kuvio se on, mistä elementeistä se koostuu ja kuinka voit laskea sen pinta-alan ja tilavuuden.
Prisman käsite
Geometriassa prisma on tilahahmo, joka muodostuu kahdesta identtisestä pohjasta ja sivupinnasta, jotka yhdistävät näiden kantojen sivut. Huomaa, että molemmat emäkset muunnetaan toisikseen käyttämällä jonkin vektorin rinnakkaismuunnosoperaatiota. Tämä prisman määrittäminen johtaa siihen, että sen kaikki sivut ovat aina suunnikkaita.
Pohjan sivujen lukumäärä voi olla mieliv altainen, alkaen kolmesta. Kun tämä luku pyrkii äärettömyyteen, prisma muuttuu tasaisesti sylinteriksi, koska sen kanta muuttuu ympyräksi ja sivusuunnikas, jotka yhdistävät toisiinsa, muodostavat sylinterimäisen pinnan.
Kuten mikä tahansa monitahoinen prisma on ominaistasivut (tasot, jotka rajoittavat kuviota), reunat (segmentit, joita pitkin mitkä tahansa kaksi sivua leikkaavat) ja kärjet (kolmen sivun kohtauspisteet, prismassa kaksi niistä on lateraalisia ja kolmas on kanta). Kuvan nimettyjen kolmen elementin määrät yhdistetään seuraavalla lausekkeella:
P=C + B - 2
Tässä P, C ja B ovat reunojen, sivujen ja pisteiden lukumäärä, vastaavasti. Tämä lauseke on Eulerin lauseen matemaattinen merkintä.
Yllä olevassa kuvassa on kaksi prismaa. Yhden niistä (A) pohjassa on säännöllinen kuusikulmio, ja sivusivut ovat kohtisuorassa kantaan nähden. Kuvassa B on toinen prisma. Sen sivut eivät ole enää kohtisuorassa kantaan nähden, ja kanta on säännöllinen viisikulmio.
Mikä on nelikulmainen prisma?
Kuten yllä olevasta kuvauksesta käy ilmi, prisman tyyppi määräytyy ensisijaisesti kantaosan muodostavan polygonin tyypin mukaan (molemmat kantakannat ovat samat, joten voimme puhua niistä toisesta). Jos tämä monikulmio on suuntaviiva, saamme nelikulmaisen prisman. Siten tämän tyyppisen prisman kaikki sivut ovat suunnikkaita. Nelikulmaisella prismalla on oma nimensä - suuntaissärmiö.
Suuntasärmiön sivujen lukumäärä on kuusi, ja kummallakin sivulla on samansuuntainen sen kanssa. Koska laatikon jalustalla on kaksi sivua, loput neljä ovat sivuttain.
Suurekärmiön kärkien lukumäärä on kahdeksan, mikä on helppo havaita, jos muistamme, että prisman kärjet muodostuvat vain kantamonikulmion kärkipisteistä (4x2=8). Eulerin lausetta soveltaen saamme reunojen lukumäärän:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 kylkiluusta vain 4 on muodostettu erikseen sivuilla. Loput 8 sijaitsevat kuvion kannan tasoissa.
Jatkossa artikkelissa puhumme vain nelikulmaisista prismoista.
Ruussairkkaiden tyypit
Ensimmäinen luokittelutyyppi on alla olevan suunnikkaan ominaisuudet. Se voi näyttää tältä:
- säännöllinen, jonka kulmat eivät ole 90o;
- suorakulmio;
- neliö on säännöllinen nelikulmio.
Toinen luokittelutyyppi on kulma, jossa sivu ylittää pohjan. Tässä on kaksi eri tapausta mahdollista:
- tämä kulma ei ole suora, silloin prismaa kutsutaan vinoksi tai vinoksi;
- kulma on 90o, silloin tällainen prisma on suorakaiteen muotoinen tai vain suora.
Kolmas luokittelutyyppi liittyy prisman korkeuteen. Jos prisma on suorakaiteen muotoinen ja kanta on joko neliö tai suorakulmio, sitä kutsutaan kuutioksi. Jos pohjassa on neliö, prisma on suorakaiteen muotoinen ja sen korkeus on yhtä suuri kuin neliön sivun pituus, niin saadaan tunnettu kuutiokuva.
Prisman pinta ja pinta-ala
Kaikkien pisteiden joukko, jotka sijaitsevat prisman kahdella kannalla(rinnakkaiset) ja sen sivuilla (neljä suunnikkaa) muodostavat kuvion pinnan. Tämän pinnan pinta-ala voidaan laskea laskemalla pohjan pinta-ala ja tämä sivupinnan arvo. Sitten niiden summa antaa halutun arvon. Matemaattisesti tämä on kirjoitettu seuraavasti:
S=2So+ Sb
Tässä So ja Sb ovat pohja- ja sivupinnan pinta-ala, vastaavasti. Numero 2 ennen So tulee näkyviin, koska kantaa on kaksi.
Huomaa, että kirjoitettu kaava pätee mille tahansa prismille, ei vain nelikulmaisen prisman alueelle.
On hyödyllistä muistaa, että suuntaviivan pinta-ala Sp lasketaan kaavalla:
Sp=ah
Missä symbolit a ja h tarkoittavat sen toisen sivun pituutta ja tämän sivun korkeutta.
Suorakulmaisen prisman pinta-ala neliömäisellä pohjalla
Tavallisen nelikulmaisen prisman kanta on neliö. Varmuuden vuoksi merkitsemme sen puolta kirjaimella a. Säännöllisen nelikulmaisen prisman alueen laskemiseksi sinun tulee tietää sen korkeus. Tämän suuren määritelmän mukaan se on yhtä suuri kuin alustasta toiseen pudotetun kohtisuoran pituus, eli yhtä suuri kuin niiden välinen etäisyys. Merkitään se kirjaimella h. Koska kaikki sivupinnat ovat kohtisuorassa tarkasteltavana olevan prisman tyypin kantaan nähden, säännöllisen nelikulmaisen prisman korkeus on yhtä suuri kuin sen sivureunan pituus.
BPrisman pinta-alan yleinen kaava on kaksi termiä. Pohjan pinta-ala tässä tapauksessa on helppo laskea, se on yhtä suuri kuin:
So=a2
Laskeaksemme sivupinnan pinta-alan väitämme seuraavasti: tämä pinta muodostuu 4 identtisestä suorakulmiosta. Lisäksi kunkin sivut ovat yhtä suuret a ja h. Tämä tarkoittaa, että Sb pinta-ala on yhtä suuri kuin:
Sb=4ah
Huomaa, että tulo 4a on neliökannan ympärysmitta. Jos yleistetään tämä lauseke mieliv altaisen kannan tapaukselle, niin suorakulmaisen prisman sivupinta voidaan laskea seuraavasti:
Sb=Poh
Missä Po on kannan ympärysmitta.
Palaamme säännöllisen nelikulmaisen prisman pinta-alan laskemisen ongelmaan, voimme kirjoittaa lopullisen kaavan:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Viiston suuntaissärmiön alue
Sen laskeminen on hieman vaikeampaa kuin suorakaiteen laskeminen. Tässä tapauksessa nelikulmaisen prisman kantapinta-ala lasketaan samalla kaavalla kuin suunnikkaalle. Muutokset koskevat tapaa, jolla sivupinta-ala määritetään.
Tee tämä käyttämällä samaa kaavaa kehän läpi kuin yllä olevassa kappaleessa. Vain nyt sillä on hieman erilaiset kertoimet. Yleinen kaava Sb vinoprisman tapauksessa on:
Sb=Psrc
Tässä c on kuvion sivureunan pituus. Arvo Psr on suorakaiteen muotoisen viipaleen ympärysmitta. Tämä ympäristö on rakennettu seuraavasti: kaikki sivupinnat on leikattava tason kanssa siten, että se on kohtisuorassa niitä kaikkia vastaan. Tuloksena oleva suorakaide on haluttu leikkaus.
Yllä olevassa kuvassa on esimerkki vinosta laatikosta. Sen poikkiviivottu osa muodostaa suoran kulman sivujen kanssa. Leikkauksen ympärysmitta on Psr. Se muodostuu neljän korkeuden sivusuuntaisista suuntakuvista. Tämän nelikulmaisen prisman sivupinta-ala lasketaan käyttämällä yllä olevaa kaavaa.
Kuvaisen diagonaalin pituus
Suuntasärmiön lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi kärkeä, joilla ei ole niitä muodostavia yhteisiä sivuja. Jokaisessa nelikulmaisessa prismassa on vain neljä diagonaalia. Kun kulmio on suorakulmio pohjassa, kaikkien diagonaalien pituudet ovat keskenään yhtä suuret.
Alla oleva kuva näyttää vastaavan kuvan. Punainen segmentti on sen diagonaali.
Sen pituuden laskeminen on hyvin yksinkertaista, jos muistat Pythagoraan lauseen. Jokainen opiskelija voi saada haluamansa kaavan. Sillä on seuraava muoto:
D=√(A2+ B2 + C2)
Tässä D on diagonaalin pituus. Loput merkit ovat laatikon sivujen pituuksia.
Monet ihmiset sekoittavat suuntaissärmiön lävistäjän sen sivujen diagonaaleihin. Alla on kuva, jossa värillinensegmentit edustavat kuvan sivujen diagonaaleja.
Niiden kunkin pituus määräytyy myös Pythagoraan lauseella ja on yhtä suuri kuin vastaavien sivujen pituuksien neliöiden summan neliöjuuri.
Prisman äänenvoimakkuus
Säännöllisen nelikulmaisen prisman tai muuntyyppisten prismien pinta-alan lisäksi joidenkin geometristen ongelmien ratkaisemiseksi sinun tulee tietää myös niiden tilavuus. Tämä arvo absoluuttisesti mille tahansa prismille lasketaan seuraavalla kaavalla:
V=Soh
Jos prisma on suorakaiteen muotoinen, niin lasketaan sen pohjan pinta-ala ja kerrotaan se sivun reunan pituudella, jotta saadaan kuvion tilavuus.
Jos prisma on säännöllinen nelikulmainen prisma, sen tilavuus on:
V=a2h.
On helppo nähdä, että tämä kaava muunnetaan kuution tilavuuden lausekkeeksi, jos sivureunan h pituus on yhtä suuri kuin kannan a sivu.
Ongelma kuution kanssa
Tutkitun aineiston yhdistämiseksi ratkaisemme seuraavan tehtävän: on suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö, jonka sivut ovat 3 cm, 4 cm ja 5 cm. Sen pinta-ala, diagonaalin pituus ja tilavuus on laskettava.
Varmuuden vuoksi oletetaan, että kuvion kanta on suorakulmio, jonka sivut ovat 3 cm ja 4 cm. Silloin sen pinta-ala on 12 cm2 ja jakso on 14 cm. Prisman pinta-alan kaavalla saadaan:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94 cm2
Määrittääksesi kuvan diagonaalin pituuden ja tilavuuden, voit käyttää suoraan yllä olevia lausekkeita:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60 cm3.
Viisto suuntaissärmiön ongelma
Alla olevassa kuvassa on vino prisma. Sen sivut ovat yhtä suuret: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Sinun on löydettävä tämän kuvan pinta-ala.
Määritetään ensin pohjan pinta-ala. Kuvasta näkyy, että terävä kulma on 50o. Sitten sen alue on:
So=ha=sin(50o)ba
Laittapinnan alueen määrittämiseksi sinun tulee löytää varjostetun suorakulmion ympärysmitta. Tämän suorakulmion sivut ovat asin(45o) ja bsin(60o). Sitten tämän suorakulmion ympärysmitta on:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Tämän laatikon kokonaispinta-ala on:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Korvaamme tehtävän ehdon tiedoilla kuvion sivujen pituudet, saamme vastauksen:
S=458, 5496 cm3
Tämän ongelman ratkaisusta voidaan nähdä, että trigonometrisiä funktioita käytetään määrittämään vinojen kuvioiden pinta-alat.
